operador de Fourier

Un gráfico del operador de Fourier.

El operador de Fourier es el núcleo de la integral de Fredholm de primer tipo que define la transformada de Fourier continua , y es una función bidimensional cuando corresponde a la transformada de Fourier de funciones unidimensionales. Tiene valores complejos y tiene una magnitud constante (típicamente unidad) en todas partes. Cuando se representa, por ejemplo con fines didácticos, se puede visualizar por sus partes reales e imaginarias separadas, o como una imagen en color usando una rueda de colores para indicar la fase. ^{[1] [2]}

Generalmente se indica con una letra mayúscula "F" en fuente script ( ); por ejemplo, la transformada de Fourier de una función se escribiría usando el operador como . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}g(t)}$

Puede considerarse como un caso límite cuando el tamaño de la transformada discreta de Fourier aumenta sin límite mientras que su resolución espacial también aumenta sin límite, de modo que se vuelve continua y no necesariamente periódica.

Visualización

El operador de Fourier define una función bidimensional continua que se extiende a lo largo de los ejes de tiempo y frecuencia, hacia el infinito en las cuatro direcciones. Esto es análogo a la matriz DFT pero, en este caso, es continua y de extensión infinita. El valor de la función en cualquier punto es tal que tiene la misma magnitud en todos lados. A lo largo de cualquier valor fijo de tiempo, el valor de la función varía como una frecuencia exponencial compleja. Asimismo, a lo largo de cualquier valor fijo de frecuencia, el valor de la función varía como una exponencial compleja en el tiempo. En la siguiente ilustración se muestra una parte del operador infinito de Fourier.

Representación de cómo actúa el operador de Fourier sobre un pulso rectangular de entrada (en el extremo derecho) para generar su transformada de Fourier (en el lado izquierdo), una función sinc .

Cualquier corte paralelo a cualquiera de los ejes, a través del operador de Fourier, es un exponencial complejo, es decir, la parte real es una onda coseno y la parte imaginaria es una onda sinusoidal de la misma frecuencia que la parte real.

Los cortes diagonales a través del operador de Fourier dan lugar a chirridos. Así, la rotación del operador de Fourier da lugar a la transformada fraccionaria de Fourier , que está relacionada con la transformada chirplet . ^{[4] [5]}

Ver también

• Análisis espectral de mínimos cuadrados

Referencias

1. Avances en visión artificial: estrategias y aplicaciones, Colin Archibald y Emil Petriu, ed., vol. 32, científico mundial, . (Ver la portada del libro y las páginas 99-128, así como el Prefacio, página v.)
2. Mann, S. (agosto de 2018). Realidad aumentada fenomenológica con la máquina de impresión de ondas secuenciales (nadar). En 2018 IEEE Games, Entertainment, Media Conference (GEM) (págs. 1-9). IEEE.
3. Coëtmellec, S., Verrier, N., Brunel, M. y Lebrun, D. (2010). Formulación general de holografía digital en línea a partir de la correlación con una función chirplet. Revista de la Sociedad Óptica Europea: Publicaciones rápidas, 5, 10027.
4. Millioz, F. y Davies, M. (2012). Detección escasa en la transformada chirplet: aplicación a señales de radar FMCW. Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales, 60(6), 2800-2813.
5. Shi, J., Zheng, J., Liu, X., Xiang, W. y Zhang, Q. (2020). Nueva transformada fraccionaria de Fourier de corto tiempo: teoría, implementación y aplicaciones. Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales, 68, 3280-3295.