Impulso cristalino

Propiedad vectorial mecánico-cuántica en física del estado sólido

Hay un número infinito de oscilaciones sinusoidales que se ajustan perfectamente a un conjunto de osciladores discretos, lo que hace imposible definir un vector k de manera inequívoca. Esta es una relación entre las distancias entre osciladores y la frecuencia espacial de Nyquist de las ondas en la red. ^[1] Véase también Aliasing § Muestreo de funciones sinusoidales para obtener más información sobre la equivalencia de k-vectores.

En física del estado sólido, el impulso cristalino o cuasimomento es un vector similar a un impulso asociado con electrones en una red cristalina . ^[2] Está definido por los vectores de onda asociados de esta red, según ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\mathbf {p} }_{\text{crystal}}\equiv \hbar {\mathbf {k} }}$

(donde está la constante de Planck reducida ). ^{[3] : 139} Con frecuencia ^{[ se necesita aclaración ]} , el momento del cristal se conserva como el momento mecánico, lo que lo hace útil para los físicos y científicos de materiales como herramienta analítica. ${\displaystyle \hbar }$

Orígenes de la simetría reticular

Un método común para modelar la estructura y el comportamiento cristalino es ver los electrones como partículas de mecánica cuántica que viajan a través de un potencial periódico infinito fijo tal que ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle V({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=V({\mathbf {x} }),}$

donde es un vector reticular arbitrario . Este modelo es sensato porque los iones cristalinos que forman la estructura reticular suelen ser del orden de decenas de miles de veces más masivos que los electrones, ^[4] lo que hace que sea seguro reemplazarlos con una estructura potencial fija, y las dimensiones macroscópicas de un Los cristales suelen ser mucho mayores que el espaciado de una sola red, lo que hace que los efectos de borde sean insignificantes. Una consecuencia de esta función de energía potencial es que es posible cambiar la posición inicial de un electrón en cualquier vector reticular sin cambiar ningún aspecto del problema, definiendo así una simetría discreta . Técnicamente, un potencial periódico infinito implica que el operador de traducción de red conmuta con el hamiltoniano , asumiendo una forma cinética más potencial simple. ^{[3] : 134} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle T(a)}$

Estas condiciones implican el teorema de Bloch , que establece

${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$,

o que un electrón en una red, que puede modelarse como una función de onda de una sola partícula , encuentra sus soluciones de estado estacionario en forma de una onda plana multiplicada por una función periódica . El teorema surge como consecuencia directa del hecho antes mencionado de que el operador de traducción de simetría reticular conmuta con el hamiltoniano del sistema. ^{[3] : 261–266  [5]} ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$

Uno de los aspectos notables del teorema de Bloch es que muestra directamente que las soluciones en estado estacionario pueden identificarse con un vector de onda , lo que significa que este número cuántico sigue siendo una constante de movimiento. El momento del cristal se define entonces convencionalmente multiplicando este vector de onda por la constante de Planck: ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\mathbf {p} }_{\text{crystal}}=\hbar {\mathbf {k} }.}$

Si bien esto es, de hecho, idéntico a la definición que uno podría dar para el momento regular (por ejemplo, tratando los efectos del operador de traducción por los efectos de una partícula en el espacio libre ^[6] ), existen importantes diferencias teóricas. Por ejemplo, mientras que el impulso regular se conserva completamente, el impulso cristalino sólo se conserva dentro de un vector reticular. Por ejemplo, un electrón puede describirse no sólo mediante el vector de onda , sino también con cualquier otro vector de onda tal que ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k'} }$

${\displaystyle \mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K} ,}$

donde es un vector reticular recíproco arbitrario . ^{[3] : 218} Esto es una consecuencia del hecho de que la simetría reticular es discreta en lugar de continua y, por lo tanto, su ley de conservación asociada no puede derivarse utilizando el teorema de Noether . ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Significado físico

La modulación de fase del estado de Bloch es la misma que la de una partícula libre con momento , es decir , da la periodicidad del estado, que no es la misma que la de la red. Esta modulación contribuye a la energía cinética de la partícula (mientras que la modulación es enteramente responsable de la energía cinética de una partícula libre). ${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$ ${\displaystyle \hbar k}$ ${\displaystyle k}$

En regiones donde la banda es aproximadamente parabólica, el momento del cristal es igual al momento de una partícula libre con momento si le asignamos a la partícula una masa efectiva que esté relacionada con la curvatura de la parábola. ${\displaystyle \hbar k}$

Relación con la velocidad

Un paquete de ondas con dispersión , lo que hace que la velocidad del grupo y la velocidad de fase sean diferentes. Esta imagen es una onda real unidimensional , pero los paquetes de ondas de electrones son ondas complejas tridimensionales .

El impulso del cristal corresponde al concepto de velocidad físicamente mensurable según ^{[3] : 141}

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }).}$

Esta es la misma fórmula que la velocidad de grupo de una onda . Más específicamente, debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , un electrón en un cristal no puede tener una k exactamente definida y una posición exacta en el cristal. Sin embargo, puede formar un paquete de ondas centrado en el momento k (con una ligera incertidumbre) y centrado en una determinada posición (con una ligera incertidumbre). La posición central de este paquete de ondas cambia a medida que la onda se propaga, moviéndose a través del cristal a la velocidad v dada por la fórmula anterior. En un cristal real, un electrón se mueve de esta manera (viajando en una determinada dirección a una determinada velocidad) durante sólo un corto período de tiempo, antes de chocar con una imperfección en el cristal que hace que se mueva en una dirección diferente y aleatoria. Estas colisiones, llamadas dispersión de electrones , son causadas más comúnmente por defectos cristalográficos , la superficie del cristal y vibraciones térmicas aleatorias de los átomos en el cristal ( fonones ). ^{[3] : 216}

Respuesta a campos eléctricos y magnéticos.

El momento cristalino también juega un papel fundamental en el modelo semiclásico de la dinámica electrónica, donde se deduce del teorema de aceleración ^{[7] [8]} que obedece a las ecuaciones de movimiento (en unidades cgs): ^{[3] : 218}

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }),}$

${\displaystyle {\mathbf {\dot {p}} }_{\text{crystal}}=-e\left({\mathbf {E} }-{\frac {1}{c}}{\mathbf {v} }\times {\mathbf {H} }\right)}$

Aquí quizás la analogía entre el momento cristalino y el momento verdadero sea más poderosa, porque éstas son precisamente las ecuaciones que obedece un electrón del espacio libre en ausencia de cualquier estructura cristalina. El impulso cristalino también gana su oportunidad de brillar en este tipo de cálculos, ya que, para calcular la trayectoria de movimiento de un electrón utilizando las ecuaciones anteriores, sólo es necesario considerar los campos externos, mientras se intenta el cálculo a partir de un conjunto de ecuaciones de movimiento basadas en El verdadero impulso requeriría tener en cuenta las fuerzas individuales de Coulomb y Lorentz de cada ion de la red, además del campo externo.

Aplicaciones

Espectroscopia de fotoemisión con resolución de ángulo (ARPES)

En la espectroscopia de fotoemisión con resolución de ángulo (ARPES), la irradiación de luz sobre una muestra de cristal produce la expulsión de un electrón lejos del cristal. A lo largo del curso de la interacción, se permite combinar los dos conceptos de cristal y momento verdadero y así obtener conocimiento directo de la estructura de bandas de un cristal. Es decir, el impulso cristalino de un electrón dentro del cristal se convierte en su impulso verdadero después de salir, y el impulso verdadero se puede inferir posteriormente a partir de la ecuación

${\displaystyle {\mathbf {p_{\parallel }} }={\sqrt {2mE_{\text{kin}}}}\sin \theta }$

midiendo el ángulo y la energía cinética en la que el electrón sale del cristal, donde es la masa de un solo electrón. Debido a que la simetría del cristal en la dirección normal a la superficie del cristal se pierde en el límite del cristal, el momento del cristal en esta dirección no se conserva. En consecuencia, las únicas direcciones en las que se pueden obtener datos ARPES útiles son las direcciones paralelas a la superficie del cristal. ^[9] ${\displaystyle m}$

Referencias

1. "Tema 5-2: Frecuencia de Nyquist y velocidad de grupo" (PDF) . Física del estado sólido en pocas palabras . Escuela de Minas de Colorado . Archivado (PDF) desde el original el 27 de diciembre de 2015.
2. Gurevich VL; Thellung A. (octubre de 1990). "Cuasimomento en la teoría de la elasticidad y su conversión". Revisión física B. 42 (12): 7345–7349. Código bibliográfico : 1990PhRvB..42.7345G. doi : 10.1103/PhysRevB.42.7345. PMID  9994874.
3. Ashcroft ; David Mermín (1976). Física del Estado Sólido . Brooks/Cole Thomson Aprendizaje . ISBN 0-03-083993-9.
4. Peter J. Mohr; Barry N. Taylor (2004). "Los valores recomendados por CODATA de 2002 de las constantes físicas fundamentales".
5. JJ Sakurai (1994). Mecánica cuántica moderna . Addison-Wesley. pag. 139.ISBN _ 0-201-53929-2.
6. Robert Littlejohn (2012). "Notas de clase 4 de Física 221a: Grados espaciales de libertad".
7. Callaway, José (1976). Teoría cuántica del estado sólido. Prensa académica.
8. Grecchi, Vincenzo; Sacchetti, Andrea (2005). "Osciladores Bloch: movimiento de paquetes de ondas". arXiv : quant-ph/0506057 .
9. Damascelli, Andrea; Zahid Hussain; Zhi-Xun Shen (2003). "Estudios de fotoemisión con resolución de ángulo de los superconductores de cuprato". Reseñas de Física Moderna . 75 (2): 473. arXiv : cond-mat/0208504 . Código Bib : 2003RvMP...75..473D. doi :10.1103/RevModPhys.75.473. S2CID  118433150.