Grupo de renormalización

En física teórica , el término grupo de renormalización ( RG ) se refiere a un aparato formal que permite la investigación sistemática de los cambios de un sistema físico visto a diferentes escalas . En física de partículas , refleja los cambios en las leyes de fuerza subyacentes (codificadas en una teoría cuántica de campos ) a medida que varía la escala de energía en la que ocurren los procesos físicos, siendo efectivamente conjugadas las escalas de energía/momento y distancia de resolución bajo el principio de incertidumbre .

Un cambio de escala se llama transformación de escala . El grupo de renormalización está íntimamente relacionado con la invariancia de escala y la invariancia conforme , simetrías en las que un sistema aparece igual en todas las escalas (la llamada autosimilitud ). ^[a]

A medida que varía la escala, es como si uno estuviera cambiando el poder de aumento de un microscopio ficticio que observa el sistema. En las llamadas teorías renormalizables, el sistema en una escala generalmente consistirá en copias autosemejantes de sí mismo cuando se ve en una escala más pequeña, con diferentes parámetros que describen los componentes del sistema. Los componentes, o variables fundamentales, pueden estar relacionados con átomos, partículas elementales, espines atómicos, etc. Los parámetros de la teoría suelen describir las interacciones de los componentes. Pueden tratarse de acoplamientos variables que miden la intensidad de distintas fuerzas o de parámetros de masa propiamente dichos. Los componentes mismos pueden parecer estar compuestos por más componentes iguales a medida que uno recorre distancias más cortas.

Por ejemplo, en electrodinámica cuántica (QED), un electrón parece estar compuesto de pares de electrones, positrones y fotones, cuando se lo observa con mayor resolución, a distancias muy cortas. El electrón a distancias tan cortas tiene una carga eléctrica ligeramente diferente a la del electrón vestido visto a grandes distancias, y este cambio, o desplazamiento , en el valor de la carga eléctrica está determinado por la ecuación del grupo de renormalización.

Historia

La idea de transformaciones de escala e invariancia de escala es antigua en física: los argumentos de escala eran comunes para la escuela pitagórica , Euclides y hasta Galileo . ^[1] Volvieron a ser populares a finales del siglo XIX, siendo quizás el primer ejemplo la idea de la viscosidad mejorada de Osborne Reynolds , como una forma de explicar la turbulencia.

El grupo de renormalización se ideó inicialmente en la física de partículas, pero hoy en día sus aplicaciones se extienden a la física del estado sólido , la mecánica de fluidos , la cosmología física e incluso la nanotecnología . Un artículo temprano ^[2] de Ernst Stueckelberg y André Petermann en 1953 anticipa la idea de la teoría cuántica de campos . Stueckelberg y Petermann abrieron el campo conceptualmente. Observaron que la renormalización exhibe un grupo de transformaciones que transfieren cantidades de los términos simples a los términos contrarios. Introdujeron una función h ( e ) en electrodinámica cuántica (QED) , que ahora se llama función beta (ver más abajo).

Principios

Murray Gell-Mann y Francis E. Low restringieron la idea a las transformaciones de escala en QED en 1954, ^[3] que son las más significativas físicamente, y se centraron en formas asintóticas del propagador de fotones a altas energías. Determinaron la variación del acoplamiento electromagnético en QED, apreciando la simplicidad de la estructura de escala de esa teoría. Así descubrieron que el parámetro de acoplamiento g ( μ ) en la escala de energía μ está efectivamente dado por la ecuación de grupo (traducción unidimensional)

g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)

o de manera equivalente, para alguna función G (no especificada , hoy en día llamada función de escala de Wegner ) y una constante d , en términos del acoplamiento g(M) en una escala de referencia M. $G\left(g(\mu )\right)=G(g(M))\left({\mu }/{M}\right)^{d}$

Gell-Mann y Low se dieron cuenta de estos resultados de que la escala efectiva puede tomarse arbitrariamente como μ y puede variar para definir la teoría en cualquier otra escala:

g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)

La esencia del RG es esta propiedad del grupo: a medida que la escala μ varía, la teoría presenta una réplica autosemejante de sí misma, y se puede acceder a cualquier escala de manera similar desde cualquier otra escala, mediante acción grupal, una conjugación transitiva formal de acoplamientos ^{. 4]} en el sentido matemático ( ecuación de Schröder ).

Sobre la base de esta ecuación de grupo (finita) y su propiedad de escala, Gell-Mann y Low pudieron centrarse en transformaciones infinitesimales e inventaron un método computacional basado en una función de flujo matemática ψ ( g $) = G d / (\partial G / \partial g)$ del parámetro de acoplamiento g , que introdujeron. Al igual que la función h ( e ) de Stueckelberg y Petermann, su función determina el cambio diferencial del acoplamiento g ( μ ) con respecto a un pequeño cambio en la escala de energía μ a través de una ecuación diferencial, la ecuación del grupo de renormalización :

\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)

También se indica el nombre moderno, función beta , introducida por C. Callan y K. Symanzik en 1970. ^[5] Dado que es una mera función de g , la integración en g de una estimación perturbativa de la misma permite especificar la trayectoria de renormalización. del acoplamiento, es decir, su variación con la energía, efectivamente la función G en esta aproximación perturbativa. La predicción del grupo de renormalización (cf. trabajos de Stueckelberg-Petermann y Gell-Mann-Low) se confirmó 40 años después en los experimentos del acelerador LEP : se midió que la estructura fina "constante" de QED ^[6] era aproximadamente 1 ⁄ 127 en energías cerca de 200 GeV, a diferencia del valor estándar de la física de baja energía de 1 ⁄ 137 . ^[b]

Comprensión más profunda

El grupo de renormalización surge de la renormalización de las variables de campo cuánticas, que normalmente tiene que abordar el problema de los infinitos en una teoría cuántica de campos. ^[c] Este problema de manejar sistemáticamente los infinitos de la teoría cuántica de campos para obtener cantidades físicas finitas fue resuelto para QED por Richard Feynman , Julian Schwinger y Shin'ichirō Tomonaga , quienes recibieron el premio Nobel en 1965 por estas contribuciones. Efectivamente idearon la teoría de la renormalización de masa y carga, en la que el infinito en la escala de momento está cortado por un regulador ultragrande , Λ. ^[d]

La dependencia de las cantidades físicas, como la carga eléctrica o la masa del electrón, en la escala Λ queda oculta, efectivamente cambiada por las escalas de mayor distancia en las que se miden las cantidades físicas y, como resultado, todas las cantidades observables terminan siendo finito en cambio, incluso para un Λ infinito. Gell-Mann y Low se dieron cuenta en estos resultados de que, de manera infinitesimal, si bien la ecuación RG anterior proporciona un pequeño cambio en g dada ψ( g ), la autosimilitud se expresa por el hecho de que ψ( g ) depende explícitamente sólo sobre el parámetro(s) de la teoría, y no sobre la escala μ . En consecuencia, la ecuación del grupo de renormalización anterior se puede resolver para ( G y por lo tanto) g ( μ ).

Una comprensión más profunda del significado físico y la generalización del proceso de renormalización, que va más allá del grupo de dilatación de las teorías renormalizables convencionales , considera métodos en los que aparecen simultáneamente escalas de longitudes muy diferentes. Proviene de la física de la materia condensada : el artículo de Leo P. Kadanoff de 1966 propuso el grupo de renormalización "bloque-espín". ^[8] La "idea de bloqueo" es una forma de definir los componentes de la teoría a grandes distancias como agregados de componentes a distancias más cortas.

Este enfoque cubrió el punto conceptual y recibió plena sustancia computacional en las extensas e importantes contribuciones de Kenneth Wilson . El poder de las ideas de Wilson quedó demostrado mediante una solución constructiva de renormalización iterativa de un problema de larga data, el problema de Kondo , en 1975, ^[9] así como los desarrollos fundamentales precedentes de su nuevo método en la teoría de las transiciones de fase de segundo orden. y fenómenos críticos en 1971. ^[10]^[11]^[12] Recibió el premio Nobel por estas decisivas contribuciones en 1982. ^[13]

Reformulación

Mientras tanto, Callan y Symanzik habían reformulado el RG en física de partículas en términos más prácticos en 1970. ^[5]^[14] También se descubrió que la función beta anterior, que describe el parámetro de "ejecución del acoplamiento" con escala, equivale a la "anomalía de la traza canónica", que representa la ruptura mecánico-cuántica de la simetría de escala (dilatación) en una teoría de campos. ^[e] Las aplicaciones del RG a la física de partículas se dispararon en número en la década de 1970 con el establecimiento del Modelo Estándar .

En 1973, ^[15]^[16] se descubrió que una teoría de la interacción de quarks coloreados, llamada cromodinámica cuántica , tenía una función beta negativa. Esto significa que un valor inicial de alta energía del acoplamiento generará un valor especial de $μ$ en el que el acoplamiento explota (diverge). Este valor especial es la escala de las interacciones fuertes , $μ$ = $Λ$ _QCD y ocurre a aproximadamente 200 MeV. Por el contrario, el acoplamiento se vuelve débil a energías muy altas ( libertad asintótica ) y los quarks se vuelven observables como partículas puntuales, en una dispersión inelástica profunda , como lo anticipó la escala de Feynman-Bjorken. De este modo, la QCD se estableció como la teoría cuántica de campos que controla las interacciones fuertes de las partículas.

El espacio de momento RG también se convirtió en una herramienta altamente desarrollada en la física del estado sólido, pero se vio obstaculizado por el uso extensivo de la teoría de la perturbación, lo que impidió que la teoría tuviera éxito en sistemas fuertemente correlacionados. ^[F]

simetría conforme

La simetría conforme está asociada con la desaparición de la función beta. Esto puede ocurrir naturalmente si una constante de acoplamiento es atraída, al correr, hacia un punto fijo en el cual β ( g ) = 0. En QCD, el punto fijo ocurre en distancias cortas donde g → 0 y se llama ultravioleta fijo ( trivial ) . punto . Para los quarks pesados, como el quark top , el acoplamiento con el bosón de Higgs , que da masa, se dirige hacia un punto fijo infrarrojo distinto de cero (no trivial) , predicho por primera vez por Pendleton y Ross (1981), ^[17] y CT. Colina . ^[18] El acoplamiento Yukawa del quark superior se encuentra ligeramente por debajo del punto fijo infrarrojo del modelo estándar, lo que sugiere la posibilidad de nueva física adicional, como los bosones de Higgs pesados secuenciales. ^{[ cita necesaria ]}

En teoría de cuerdas , la invariancia conforme de la hoja del mundo de cuerdas es una simetría fundamental: β = 0 es un requisito. Aquí, β es función de la geometría del espacio-tiempo en el que se mueve la cuerda. Esto determina la dimensionalidad espacio-temporal de la teoría de cuerdas y aplica las ecuaciones de relatividad general de Einstein en la geometría. El RG es de fundamental importancia para la teoría de cuerdas y las teorías de la gran unificación .

También es la idea clave moderna que subyace a los fenómenos críticos de la física de la materia condensada. ^[19] De hecho, el RG se ha convertido en una de las herramientas más importantes de la física moderna. ^[20] A menudo se utiliza en combinación con el método de Monte Carlo . ^[21]

giro de bloque

Esta sección presenta pedagógicamente una imagen de RG que puede ser más fácil de comprender: el RG de espín en bloque, ideado por Leo P. Kadanoff en 1966. ^[8]

Considere un sólido 2D, un conjunto de átomos en una disposición cuadrada perfecta, como se muestra en la figura.

Supongamos que los átomos interactúan entre sí sólo con sus vecinos más cercanos y que el sistema está a una temperatura determinada $T$ . La fuerza de su interacción se cuantifica mediante un cierto acoplamiento $J.$ La física del sistema se describirá mediante una determinada fórmula, digamos el hamiltoniano $H (T, J)$ .

Ahora procede a dividir el sólido en bloques de cuadrados de 2×2; Intentamos describir el sistema en términos de variables de bloque , es decir, variables que describen el comportamiento promedio del bloque. Supongamos además que, por alguna afortunada coincidencia, la física de las variables de bloque se describe mediante una fórmula del mismo tipo , pero con valores diferentes para $T$ y $J$ : $H (T', J')$ . (Esto no es exactamente cierto, en general, pero suele ser una buena primera aproximación).

Quizás el problema inicial era demasiado difícil de resolver, ya que había demasiados átomos. Ahora, en el problema renormalizado tenemos sólo una cuarta parte de ellos. ¿Pero por qué detenerse ahora? Otra iteración del mismo tipo conduce a $H (T", J")$ , y sólo una decimosexta parte de los átomos. Estamos aumentando la escala de observación con cada paso de RG.

Por supuesto, la mejor idea es iterar hasta que solo quede un bloque muy grande. Dado que el número de átomos en cualquier muestra real de material es muy grande, esto es más o menos equivalente a encontrar el comportamiento de largo alcance de la transformación RG que tomó $(T, J) \to (T', J')$ y $(T', J') \to (T ", J ")$ . A menudo, cuando se itera muchas veces, esta transformación RG conduce a una cierta cantidad de puntos fijos .

Para ser más concreto, consideremos un sistema magnético (por ejemplo, el modelo de Ising ), en el que el acoplamiento $J$ denota la tendencia de los espines vecinos a ser paralelos. La configuración del sistema es el resultado del equilibrio entre el término $J$ de ordenamiento y el efecto desordenador de la temperatura.

Para muchos modelos de este tipo existen tres puntos fijos:

$T = 0$ y $J \to \infty$ . Esto significa que, en el tamaño más grande, la temperatura deja de ser importante, es decir, el factor de perturbación desaparece. Así, a gran escala, el sistema parece estar ordenado. Estamos en una fase ferromagnética .
$T \to \infty$ y $J \to 0$ . Exactamente lo contrario; aquí domina la temperatura y el sistema está desordenado a gran escala.
Un punto no trivial entre ellos, $T = T c$ y $J = J c$ . En este punto, cambiar la escala no cambia la física, porque el sistema está en un estado fractal . Corresponde a la transición de fase de Curie , y también se le llama punto crítico .

Entonces, si nos dan un determinado material con valores dados de $T$ y $J$ , todo lo que tenemos que hacer para descubrir el comportamiento a gran escala del sistema es iterar el par hasta encontrar el punto fijo correspondiente.

Teoría elemental

En términos más técnicos, supongamos que tenemos una teoría descrita por una determinada función de las variables de estado y un determinado conjunto de constantes de acoplamiento . Esta función puede ser una función de partición , una acción , un hamiltoniano , etc. Debe contener la descripción completa de la física del sistema. $Z$ $\{s_{i}\}$ $\{J_{k}\}$

Ahora consideramos una cierta transformación de bloqueo de las variables de estado , el número de debe ser menor que el número de . Ahora intentemos reescribir la función sólo en términos de . Si esto se puede lograr mediante un cierto cambio en los parámetros, entonces se dice que la teoría es renormalizable . $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$ ${\tilde {s}}_{i}$ $s_{i}$ $Z$ ${\tilde {s}}_{i}$ $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$

La mayoría de las teorías fundamentales de la física, como la electrodinámica cuántica , la cromodinámica cuántica y la interacción electrodébil , pero no la gravedad, son exactamente renormalizables. Además, la mayoría de las teorías de la física de la materia condensada son aproximadamente renormalizables, desde la superconductividad hasta la turbulencia de fluidos.

El cambio en los parámetros se implementa mediante una determinada función beta: , que se dice que induce un flujo de grupo de renormalización (o flujo RG ) en el espacio. Los valores de bajo flujo se denominan acoplamientos en funcionamiento . $\{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})$ $J$ $J$

Como se indicó en el apartado anterior, la información más importante en el flujo de RG son sus puntos fijos . Los posibles estados macroscópicos del sistema, a gran escala, vienen dados por este conjunto de puntos fijos. Si estos puntos fijos corresponden a una teoría de campo libre, se dice que la teoría exhibe trivialidad cuántica , poseyendo lo que se llama un polo de Landau , como en la electrodinámica cuántica. Para una interacción $φ$ ^{4 ,}Michael Aizenman demostró que esta teoría es realmente trivial, para una dimensión espacio-temporal $D$ ≥ 5. ^[22] Para $D$ = 4, la trivialidad aún no se ha demostrado rigurosamente, pero los cálculos reticulares han proporcionado pruebas sólidas de este. Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para limitar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs en escenarios de seguridad asintóticos . Numerosos puntos fijos aparecen en el estudio de las teorías de la red de Higgs , pero la naturaleza de las teorías cuánticas de campos asociadas con ellos sigue siendo una cuestión abierta. ^[23]

Dado que las transformaciones RG en tales sistemas tienen pérdida (es decir, el número de variables disminuye; consulte como ejemplo en un contexto diferente, Compresión de datos con pérdida ), no es necesario que haya una inversa para una transformación RG determinada. Por lo tanto, en tales sistemas con pérdidas, el grupo de renormalización es, de hecho, un semigrupo , ya que la pérdida implica que no existe un inverso único para cada elemento.

Operadores relevantes e irrelevantes y clases de universalidad.

Considere un cierto A observable $de$ un sistema físico que sufre una transformación RG. La magnitud del observable a medida que la escala de longitud del sistema va de pequeña a grande determina la importancia de los observables para la ley de escala:

Se necesita un observable relevante para describir el comportamiento macroscópico del sistema; No se necesitan observables irrelevantes . Es posible que sea necesario tener en cuenta los observables marginales o no. Un hecho general notable es que la mayoría de los observables son irrelevantes , es decir, la física macroscópica está dominada por sólo unos pocos observables en la mayoría de los sistemas .

Por ejemplo, en física microscópica, para describir un sistema formado por un mol de átomos de carbono-12 necesitamos del orden de 10 ²³ (el número de Avogadro ) variables, mientras que para describirlo como un sistema macroscópico (12 gramos de átomos de carbono-12). 12) sólo necesitamos unos pocos.

Antes del enfoque RG de Wilson, había un hecho empírico sorprendente que explicar: la coincidencia de los exponentes críticos (es decir, los exponentes de la dependencia de la temperatura reducida de varias cantidades cercanas a una transición de fase de segundo orden ) en fenómenos muy dispares, como los sistemas magnéticos. , transición superfluida ( transición Lambda ), física de aleaciones, etc. Entonces, en general, las características termodinámicas de un sistema cerca de una transición de fase dependen solo de un pequeño número de variables , como la dimensionalidad y la simetría, pero son insensibles a los detalles de la fase subyacente. Propiedades microscópicas del sistema.

Esta coincidencia de exponentes críticos para sistemas físicos aparentemente bastante diferentes, llamada universalidad , se explica fácilmente utilizando el grupo de renormalización, al demostrar que las diferencias en los fenómenos entre los componentes individuales de escala fina están determinadas por observables irrelevantes , mientras que los observables relevantes se comparten en común. Por tanto, muchos fenómenos macroscópicos pueden agruparse en un pequeño conjunto de clases de universalidad , especificadas por los conjuntos compartidos de observables relevantes. ^[gramo]

Espacio de impulso

Los grupos de renormalización, en la práctica, se presentan en dos "sabores" principales. La imagen de Kadanoff explicada anteriormente se refiere principalmente al llamado RG del espacio real .

Momentum-space RG , por otro lado, tiene una historia más larga a pesar de su relativa sutileza. Puede usarse para sistemas donde los grados de libertad se pueden expresar en términos de los modos de Fourier de un campo determinado. La transformación RG procede integrando un cierto conjunto de modos de alto momento (gran número de ondas). Dado que los números de onda grandes están relacionados con escalas de longitud corta, la RG del espacio-momento da como resultado un efecto de grano grueso esencialmente análogo al de la RG del espacio real.

La RG de momento-espacio generalmente se realiza en una expansión de perturbación . La validez de tal expansión se basa en que la física real de un sistema sea cercana a la de un sistema de campo libre . En este caso, se pueden calcular los observables sumando los términos principales de la expansión. Este enfoque ha demostrado ser exitoso para muchas teorías, incluyendo la mayor parte de la física de partículas, pero falla para sistemas cuya física está muy lejos de cualquier sistema libre, es decir, sistemas con fuertes correlaciones.

Como ejemplo del significado físico de RG en física de partículas, considere una descripción general de la renormalización de carga en electrodinámica cuántica (QED). Supongamos que tenemos una carga puntual positiva de cierta magnitud verdadera (o desnuda ). El campo electromagnético que lo rodea tiene cierta energía y, por lo tanto, puede producir algunos pares virtuales electrón-positrón (por ejemplo). Aunque las partículas virtuales se aniquilan muy rápidamente, durante su corta vida el electrón será atraído por la carga y el positrón será repelido. Dado que esto ocurre uniformemente en todas partes cerca de la carga puntual, donde su campo eléctrico es suficientemente fuerte, estos pares crean efectivamente una pantalla alrededor de la carga cuando se ve desde lejos. La fuerza medida de la carga dependerá de qué tan cerca pueda acercarse nuestra sonda de medición a la carga puntual, evitando más la pantalla de partículas virtuales cuanto más se acerque. De ahí la dependencia de una determinada constante de acoplamiento (aquí, la carga eléctrica) con la escala de distancia .

Las escalas de momento y longitud están relacionadas inversamente, según la relación de De Broglie : cuanto mayor sea la escala de energía o de momento que podamos alcanzar, menor será la escala de longitud que podremos sondear y resolver. Por lo tanto, los practicantes de RG espacio-momento a veces afirman integrar momentos o energías elevados de sus teorías.

Ecuaciones exactas del grupo de renormalización.

Una ecuación de grupo de renormalización exacta ( ERGE ) es aquella que tiene en cuenta acoplamientos irrelevantes . Hay varias formulaciones.

El Wilson ERGE es conceptualmente el más simple, pero es prácticamente imposible de implementar. La transformación de Fourier en el espacio de impulso después de que Wick gire al espacio euclidiano . Insistir en un límite de impulso estricto , $p 2 \leq Λ 2$ , de modo que los únicos grados de libertad sean aquellos con momentos menores que $Λ$ . La función de partición es

Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].

Para cualquier $Λ'$ positivo menor que $Λ$ , defina $S Λ'$ (una configuración funcional sobre campo $φ$ cuya transformada de Fourier tiene soporte de impulso dentro de $p 2 \leq Λ' 2$ ) como

\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].

Si $S Λ$ depende sólo de $ϕ$ y no de derivadas de $ϕ$ , esto puede reescribirse como

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\phi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\phi (p)]\right],$

en el que queda claro que, dado que solo se integran las funciones $ϕ$ con soporte entre $Λ'$ y $Λ , el lado izquierdo aún puede depender de$ $ϕ$ con soporte fuera de ese rango. Obviamente,

Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].

De hecho, esta transformación es transitiva . Si calcula $S Λ'$ a partir de $S Λ$ y luego calcula $S Λ''$ a partir de $S Λ''$ , esto le da la misma acción wilsoniana que calcular S _Λ″ directamente a partir de S _Λ .

El Polchinski ERGE implica un corte suave del regulador UV . Básicamente, la idea es una mejora con respecto al Wilson ERGE. En lugar de un límite de impulso brusco, utiliza un límite suave. Esencialmente, suprimimos en gran medida las contribuciones de momentos mayores que $Λ$ . Sin embargo, la suavidad del corte nos permite derivar una ecuación diferencial funcional en la escala de corte $Λ$ . Como en el enfoque de Wilson, tenemos una acción funcional diferente para cada escala de energía de corte $Λ$ . Se supone que cada una de estas acciones describe exactamente el mismo modelo, lo que significa que sus funciones de partición deben coincidir exactamente.

En otras palabras (para un campo escalar real; las generalizaciones a otros campos son obvias),

Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)

y Z _Λ es realmente independiente de $Λ$ ! Aquí hemos utilizado la notación deWitt condensada . También hemos dividido la acción desnuda S _Λ en una parte cinética cuadrática y una parte interactiva S _{int Λ} . Esta división ciertamente no es limpia. La parte "interactuante" también puede contener términos cinéticos cuadráticos. De hecho, si hay alguna renormalización de la función de onda , seguramente ocurrirá. Esto se puede reducir un poco introduciendo cambios de escala en el campo. R _Λ es función del momento p y el segundo término del exponente es

{\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)

cuando se expande.

Cuando , $R$ $Λ$ $($ $p$ $)/$ $p$ $2$ es esencialmente 1. Cuando , $R$ $Λ$ $($ $p$ $)/$ $p$ $2$ se vuelve muy, muy grande y se acerca al infinito. $R$ $Λ$ $($ $p$ $)/$ $p$ $2$ es siempre mayor o igual a 1 y es suave. Básicamente, esto no afecta las fluctuaciones con momentos menores que el límite $Λ$ , pero suprime en gran medida las contribuciones de las fluctuaciones con momentos mayores que el límite. Obviamente, esta es una gran mejora con respecto a Wilson. $p\ll \Lambda$ $p\gg \Lambda$

La condición que

{\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0

puede ser satisfecho por (pero no sólo por)

{\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].

Jacques Distler afirmó sin pruebas que este ERGE no es correcto de manera no perturbativa . ^[24]

La acción promedio efectiva ERGE implica un corte suave del regulador IR. La idea es tener en cuenta todas las fluctuaciones hasta una escala IR $k$ . La acción promedio efectiva será precisa para fluctuaciones con momentos mayores que $k$ . A medida que se reduce el parámetro $k , la acción promedio efectiva se acerca a la$ acción efectiva que incluye todas las fluctuaciones cuánticas y clásicas. Por el contrario, para $k$ grande , la acción promedio efectiva está cerca de la "acción desnuda". Así, la acción media efectiva se interpola entre la “acción desnuda” y la acción efectiva .

Para un campo escalar real , se agrega un límite de IR

{\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)

a la acción $S$ , donde R _k es una función tanto de $k$ como $de p$ tal que para , R _k (p) es muy pequeño y se aproxima a 0 y para , . R _k es suave y no negativo. Su gran valor para momentos pequeños conduce a una supresión de su contribución a la función de partición, lo que en realidad es lo mismo que ignorar las fluctuaciones a gran escala. $p\gg k$ $p\ll k$ $R_{k}(p)\gtrsim k^{2}$

Se puede utilizar la notación deWitt condensada.

{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi

para este regulador IR.

Entonces,

\exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)

donde $J$ es el campo fuente . La transformada de Legendre de Wk _normalmente proporciona la acción efectiva . Sin embargo, la acción con la que comenzamos es en realidad S[φ]+1/2 φ⋅R _k ⋅φ y, por lo tanto, para obtener la acción promedio efectiva, restamos 1/2 φ⋅R _k ⋅φ. En otras palabras,

\phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]

se puede invertir para dar J _k [φ] y definimos la acción promedio efectiva Γ _k como

\Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .

Por eso,

{\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}

de este modo

{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]

es el ERGE, que también se conoce como ecuación de Wetterich . Como lo muestra Morris, la acción efectiva Γ _k está, de hecho, simplemente relacionada con la acción efectiva S _int de Polchinski a través de una relación de transformación de Legendre. ^[25]

Como hay infinitas opciones de $R$ _k , también hay infinitas ERGE de interpolación diferentes. La generalización a otros campos como los campos espinoriales es sencilla.

Aunque el ERGE de Polchinski y el ERGE de acción media efectiva parecen similares, se basan en filosofías muy diferentes. En el ERGE de acción promedio efectiva, la acción básica se deja sin cambios (y la escala de corte de UV, si existe, también se deja sin cambios), pero las contribuciones de IR a la acción efectiva se suprimen, mientras que en el ERGE de Polchinski, el QFT es fijo. de una vez por todas, pero la "acción básica" se varía en diferentes escalas de energía para reproducir el modelo preespecificado. La versión de Polchinski está ciertamente mucho más cerca en espíritu de la idea de Wilson. Tenga en cuenta que uno utiliza "acciones básicas", mientras que el otro utiliza acciones efectivas (promedio).

Grupo de renormalización mejora del potencial efectivo.

El grupo de renormalización también se puede utilizar para calcular potenciales efectivos en órdenes superiores a 1 bucle. Este tipo de enfoque es particularmente interesante para calcular correcciones al mecanismo de Coleman-Weinberg ^[26] . Para hacerlo, se debe escribir la ecuación del grupo de renormalización en términos del potencial efectivo. Para el caso del modelo: $\phi ^{4}$

\left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)V_{\text{eff}}=0.

Para determinar el potencial efectivo, es útil escribir como $V_{\text{eff}}$

V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )},

¿ Dónde está una serie de potencias en : $S_{\text{eff}}$ $L(\phi )=\log {\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}$

S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\dots .

Usando el ansatz anterior , es posible resolver perturbativamente la ecuación del grupo de renormalización y encontrar el potencial efectivo hasta el orden deseado. En la referencia se muestra una explicación pedagógica de esta técnica. ^[27]

Ver también

Observaciones

^ Tenga en cuenta que las transformaciones de escala son un subconjunto estricto de transformaciones conformes ; en general, estas últimas incluyen generadores de simetría adicionales asociados con transformaciones conformes especiales .
↑ Las primeras aplicaciones de la electrodinámica cuántica se analizan en el influyente libro de 1959 The Theory of Quantized Fields de Nikolay Bogolyubov y Dmitry Shirkov . ^[7]
^ Aunque tenga en cuenta que el RG existe independientemente de los infinitos.
^ En última instancia, el parámetro regulador Λ podría considerarse infinito: los infinitos reflejan la acumulación de contribuciones de una infinidad de grados de libertad en escalas de energía infinitamente altas.
^ Sorprendentemente, la anomalía de la traza y los procedimientos de mecánica cuántica de acoplamiento en ejecución pueden por sí mismos inducir masa.
^ Para sistemas fuertemente correlacionados, las técnicas variacionales son una mejor alternativa.
^ Una magnífica exposición técnica de J. Zinn-Justin (2010) es el artículo clásico Zinn-Justin, Jean (2010). "Fenómenos críticos: enfoque teórico de campo". Scholarpedia . 5 (5): 8346. Código bibliográfico : 2010SchpJ...5.8346Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8346 .. Por ejemplo, para sistemas tipo Ising con simetría o, más generalmente, para modelos con simetría O(N), el punto fijo gaussiano (libre) es estable a larga distancia por encima de la dimensión espacial cuatro, marginalmente estable en la dimensión cuatro, y inestable por debajo de la dimensión cuatro. Véase Trivialidad cuántica . $\mathbb {Z} _{2}$

Citas

^ "Introducción a las leyes de escala". av8n.com .
^ Stueckelberg, ECG ; Petermann, A. (1953). "La renormalización de las constantes en la teoría de cuantos". Helv. Física. Acta (en francés). 26 : 499–520.
^ Gell-Mann, M .; Bajo, FE (1954). "Electrodinámica cuántica a pequeñas distancias" (PDF) . Revisión física . 95 (5): 1300-1312. Código bibliográfico : 1954PhRv...95.1300G. doi : 10.1103/PhysRev.95.1300.
^ Curtright, TL ; Zachos, CK (marzo de 2011). "Ecuaciones funcionales del grupo de renormalización". Revisión física D. 83 (6): 065019. arXiv : 1010.5174 . Código bibliográfico : 2011PhRvD..83f5019C. doi : 10.1103/PhysRevD.83.065019. S2CID 119302913.
^ ab Callan, CG (1970). "Invariancia de escala rota en la teoría de campos escalares". Revisión física D. 2 (8): 1541-1547. Código bibliográfico : 1970PhRvD...2.1541C. doi : 10.1103/PhysRevD.2.1541.
^ Fritzsch, Harald (2002). "Constantes fundamentales de alta energía". Fortschritte der Physik . 50 (5–7): 518–524. arXiv : hep-ph/0201198 . Código Bib : 2002ParaPh..50..518F. doi :10.1002/1521-3978(200205)50:5/7<518::AID-PROP518>3.0.CO;2-F. S2CID 18481179.
^ Bogoliubov, NN ; Shirkov, DV (1959). La teoría de los campos cuantificados . Nueva York, NY: Interscience.
^ ab Kadanoff, Leo P. (1966). "Leyes de escala para modelos de Ising cerca de T c {\displaystyle T_{c}}". Física Física Fizika . 2 (6): 263. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 .
^ Wilson, KG (1975). "El grupo de renormalización: fenómenos críticos y el problema de Kondo". Mod. Rev. Física . 47 (4): 773. Código bibliográfico : 1975RvMP...47..773W. doi :10.1103/RevModPhys.47.773.
^ Wilson, KG (1971). "Grupo de renormalización y fenómenos críticos. I. Grupo de renormalización y panorama de escala de Kadanoff". Revisión física B. 4 (9): 3174–3183. Código bibliográfico : 1971PhRvB...4.3174W. doi : 10.1103/PhysRevB.4.3174 .
^ Wilson, K. (1971). "Grupo de renormalización y fenómenos críticos. II. Análisis de células espacio-fase del comportamiento crítico". Revisión física B. 4 (9): 3184–3205. Código bibliográfico : 1971PhRvB...4.3184W. doi : 10.1103/PhysRevB.4.3184 .
^ Wilson, KG ; Pescador, M. (1972). "Exponentes críticos en 3,99 dimensiones". Cartas de revisión física . 28 (4): 240. Código bibliográfico : 1972PhRvL..28..240W. doi :10.1103/physrevlett.28.240.
^ Wilson, Kenneth G. "Discurso de Wilson sobre el Premio Nobel" (PDF) . Premio Nobel.org .
^ Symanzik, K. (1970). "Comportamiento a pequeñas distancias en teoría de campos y conteo de potencias". Comunicaciones en Física Matemática . 18 (3): 227–246. Código bibliográfico : 1970CMaPh..18..227S. doi :10.1007/BF01649434. S2CID 76654566.
^ Bruto, DJ; Wilczek, F. (1973). "Comportamiento ultravioleta de las teorías de calibre no abelianos". Cartas de revisión física . 30 (26): 1343-1346. Código bibliográfico : 1973PhRvL..30.1343G. doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1343 .
^ Politzer, HD (1973). "Resultados perturbativos confiables para interacciones fuertes". Cartas de revisión física . 30 (26): 1346-1349. Código bibliográfico : 1973PhRvL..30.1346P. doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1346 .
^ Pendleton, Brian; Ross, Graham (1981). "Predicciones de masa y ángulos de mezcla a partir de puntos fijos infrarrojos". Letras de Física B. 98 (4): 291–294. Código bibliográfico : 1981PhLB...98..291P. doi :10.1016/0370-2693(81)90017-4.
^ Colina, Christopher T. (1981). "Masas de quarks y leptones de puntos fijos del grupo de renormalización". Revisión física D. 24 (3): 691–703. Código bibliográfico : 1981PhRvD..24..691H. doi : 10.1103/PhysRevD.24.691.
^ Shankar, R. (1994). "Enfoque de grupo de renormalización para fermiones que interactúan". Reseñas de Física Moderna . 66 (1): 129-192. arXiv : cond-mat/9307009 . Código Bib : 1994RvMP...66..129S. doi :10.1103/RevModPhys.66.129.(Para los no suscriptores, consulte Shankar, R. (1993). "Enfoque de grupo de renormalización para interactuar con fermiones". Reviews of Modern Physics . 66 (1): 129–192. arXiv : cond-mat/9307009 . Bibcode : 1994RvMP... 66..129S.doi : 10.1103 /RevModPhys.66.129..)
^ Adzhemyan, LTs; Kim, TL; Kompaniets, MV; Sazonov, VK (agosto de 2015). "Grupo de renormalización en la turbulencia de dimensión infinita: determinación de las funciones RG sin constantes de renormalización". Nanosistemas: Física, Química, Matemáticas . 6 (4): 461. doi : 10.17586/2220-8054-2015-6-4-461-469 .
^ Callaway, David JE; Petronzio, Roberto (1984). "Determinación de puntos críticos y diagramas de flujo mediante métodos de grupo de renormalización de Monte Carlo". Letras de Física B. 139 (3): 189-194. Código bibliográfico : 1984PhLB..139..189C. doi :10.1016/0370-2693(84)91242-5. ISSN 0370-2693.
^ Aizenman, M. (1981). "Prueba de la trivialidad de Φ⁴
_díasteoría de campo y algunas características de campo medio de los modelos de Ising para d > 4". Physical Review Letters . 47 (1): 1–4. Bibcode :1981PhRvL..47....1A. doi :10.1103/PhysRevLett.47.1.
^ Callaway, David JE (1988). "Búsqueda de trivialidad: ¿Pueden existir partículas escalares elementales?". Informes de Física . 167 (5): 241–320. Código bibliográfico : 1988PhR...167..241C. doi :10.1016/0370-1573(88)90008-7.
^ Distler, Jacques . "000648.html". golem.ph.utexas.edu .
^ Morris, Tim R. (1994). "El grupo de renormalización exacta y soluciones aproximadas". En t. J.Mod. Física. A . 9 (14): 2411. arXiv : hep-ph/9308265 . Código bibliográfico : 1994IJMPA...9.2411M. doi :10.1142/S0217751X94000972. S2CID 15749927.
^ Coleman, Sidney; Weinberg, Erick (15 de marzo de 1973). "Correcciones radiativas como origen de la ruptura espontánea de la simetría". Revisión física D. 7 (6): 1888-1910. arXiv : hep-th/0507214 . Código bibliográfico : 1973PhRvD...7.1888C. doi : 10.1103/PhysRevD.7.1888. ISSN 0556-2821. S2CID 6898114.
^ Souza, Huan; Bevilaqua, L. Ibiapina; Lehum, AC (5 de agosto de 2020). "Grupo de renormalización mejora del potencial efectivo en seis dimensiones". Revisión física D. 102 (4): 045004. arXiv : 2005.03973 . Código Bib : 2020PhRvD.102d5004S. doi : 10.1103/PhysRevD.102.045004 .

Referencias

Referencias históricas

Pescador, Michael (1974). "El grupo de renormalización en la teoría del comportamiento crítico". Mod. Rev. Física . 46 (4): 597. Código bibliográfico : 1974RvMP...46..597F. doi :10.1103/RevModPhys.46.597.

Reseñas pedagógicas e históricas.

Blanco, SR (1992). "Formulación de matriz de densidad para grupos de renormalización cuántica". Física. Rev. Lett . 69 (19): 2863–2866. Código bibliográfico : 1992PhRvL..69.2863W. doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2863. PMID 10046608.El método RG variacional más exitoso.
Goldenfeld, N. (1993). Conferencias sobre transiciones de fase y el grupo de renormalización . Addison-Wesley.
Shirkov, Dmitry V. (1999). "Evolución del Grupo de Renormalización de Bogoliubov". arXiv : hep-th/9909024 . Código Bib : 1999hep.th....9024S. {{cite journal}}: Cite Journal requiere |journal=( ayuda ) Una introducción matemática y una descripción histórica con énfasis en la teoría de grupos y su aplicación en la física de altas energías.
Delamotte, B. (febrero de 2004). "Un indicio de renormalización". Revista Estadounidense de Física . 72 (2): 170–184. arXiv : hep-th/0212049 . Código Bib : 2004AmJPh..72..170D. doi :10.1119/1.1624112. S2CID 2506712.Una introducción peatonal a la renormalización y al grupo de renormalización.
Maris, HJ; Kadanoff, LP (junio de 1978). "Enseñanza del grupo de renormalización". Revista Estadounidense de Física . 46 (6): 652–657. Código bibliográfico : 1978AmJPh..46..652M. doi :10.1119/1.11224. S2CID 123119591.Una introducción pedestre al grupo de renormalización aplicado en la física de la materia condensada.
Huang, K. (2013). "Una historia crítica de la renormalización". Revista Internacional de Física Moderna A. 28 (29): 1330050. arXiv : 1310.5533 . Código Bib : 2013IJMPA..2830050H. doi :10.1142/S0217751X13300500.
Shirkov, DV (31 de agosto de 2001). "Cincuenta años del grupo de renormalización". Correo del CERN . Consultado el 12 de noviembre de 2008 .
Bagnuls, C.; Bervillier, C. (2001). "Ecuaciones exactas de grupos de renormalización: una revisión introductoria". Informes de Física . 348 (1–2): 91–157. arXiv : hep-th/0002034 . Código bibliográfico : 2001PhR...348...91B. doi :10.1016/S0370-1573(00)00137-X. S2CID 18274894.

Libros

TD Lee ; Física de partículas e introducción a la teoría de campos , editoriales académicas de Harwood, 1981, ISBN 3-7186-0033-1 . Contiene un resumen conciso, sencillo y mordaz de la estructura del grupo, en cuyo descubrimiento también participó, como reconocen en el artículo de Gell-Mann y Low.
L. Ts. Adzhemyan, NV Antonov y AN Vasiliev; El grupo de renormalización teórica de campo en turbulencia totalmente desarrollada ; Gordon y Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0 .
Vasil'ev, AN; El grupo de renormalización de la teoría de campo en la teoría crítica del comportamiento y la dinámica estocástica ; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 9780415310024 (Tratamiento autónomo de aplicaciones de grupos de renormalización con cálculos completos);
Zinn-Justin, Jean (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (un tratado excepcionalmente sólido y completo sobre ambos temas);
Zinn-Justin, Jean : Renormalización y grupo de renormalización: del descubrimiento de las divergencias UV al concepto de teorías de campos efectivas , en: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Actas de la OTAN ASI sobre teoría cuántica de campos: perspectiva y perspectiva , 15 al 26 de junio de 1998, Les Houches, Francia, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN]. Texto completo disponible en PostScript.
Kleinert, H. y Schulte Frohlinde, V; Propiedades críticas de las teorías $φ$ ⁴ , World Scientific (Singapur, 2001); Tapa blanda ISBN 981-02-4658-7 . Texto completo disponible en PDF.