Índice de disimilitud

El índice de disimilitud es una medida demográfica de la uniformidad con la que dos grupos se distribuyen en áreas geográficas componentes que conforman un área más grande. Un grupo está distribuido uniformemente cuando cada unidad geográfica tiene el mismo porcentaje de miembros del grupo que la población total. La puntuación del índice también se puede interpretar como el porcentaje de uno de los dos grupos incluidos en el cálculo que tendría que trasladarse a diferentes áreas geográficas para producir una distribución que coincida con la del área más grande. El índice de disimilitud se puede utilizar como medida de segregación . Una puntuación de cero (0%) refleja un entorno totalmente integrado; una puntuación de 1 (100%) refleja segregación total. En términos de segregación entre blancos y negros, una puntuación de 0,60 significa que el 60 por ciento de los negros tendrían que intercambiar lugares con los blancos en otras unidades para lograr una distribución geográfica uniforme. ^{[1] [2]}

Fórmula básica

La fórmula básica para el índice de disimilitud es:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {a_{i}}{A}}-{\frac {b_{i}}{B}}\right|}$

donde (comparando una población blanca y negra, por ejemplo):

a _i = la población del grupo A en la i- ^ésima área, por ejemplo, zona censal

A = la población total del grupo A en la entidad geográfica grande para la cual se calcula el índice de disimilitud.

b _i = la población del grupo B en la i ^-ésima área

B = la población total del grupo B en la entidad geográfica grande para la cual se calcula el índice de disimilitud.

El índice de disimilitud es aplicable a cualquier variable categórica (ya sea demográfica o no) y, debido a sus propiedades simples, es útil para ingresar en programas de agrupamiento y escalamiento multidimensional. Se ha utilizado ampliamente en el estudio de la movilidad social para comparar distribuciones de categorías ocupacionales de origen (o destino).

Perspectiva del álgebra lineal

La fórmula para el índice de disimilitud se puede hacer mucho más compacta y significativa si se la considera desde la perspectiva del álgebra lineal . Supongamos que estamos estudiando la distribución de ricos y pobres en una ciudad (por ejemplo, Londres ). Supongamos que nuestra ciudad contiene bloques: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \{{\text{block 1}},{\text{block 2}},\ldots ,{\text{block N}}\}}$

Creemos un vector que muestre el número de ricos en cada cuadra de nuestra ciudad: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =[r_{1},r_{2},\cdots ,r_{N}]}$

De manera similar, creemos un vector que muestre el número de pobres en cada cuadra de nuestra ciudad: ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} =[p_{1},p_{2},\cdots ,p_{N}]}$

Ahora, la norma de un vector es simplemente la suma de (la magnitud de) cada entrada en ese vector. ^[3] Es decir, para un vector , tenemos la norma: ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{N}]}$ ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle |\mathbf {v} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|v_{i}|}$

Si lo denotamos como el número total de personas ricas en nuestra ciudad, una forma compacta de calcular sería usar la norma -: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle R=|\mathbf {r} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|r_{i}|}$

De manera similar, si denotamos como el número total de personas pobres en nuestra ciudad, entonces: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P=|\mathbf {p} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|p_{i}|}$

Cuando dividimos un vector por su norma, obtenemos lo que se llama vector normalizado o vector unitario : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |_{1}}}}$

Normalicemos el vector rico y el vector pobre : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |_{1}}}={\frac {\mathbf {r} }{R}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{|\mathbf {p} |_{1}}}={\frac {\mathbf {p} }{P}}}$

Finalmente volvemos a la fórmula del Índice de Disimilitud ( ); es simplemente igual a la mitad de la diferencia entre los vectores y : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$

Índice de disimilitud
(en notación algebraica lineal)

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}}$

Ejemplo numérico

Considere una ciudad que consta de cuatro bloques de 2 personas cada uno. Un bloque consta de 2 personas ricas. Un bloque consta de 2 personas pobres. Dos bloques constan de 1 persona rica y 1 pobre. ¿Cuál es el índice de disimilitud para esta ciudad?

Nuestra ciudad ficticia tiene 4 cuadras: una cuadra que contiene 2 personas ricas; otro que contiene 2 personas pobres; y dos bloques que contienen 1 rico y 1 pobre.

En primer lugar, encontremos el vector rico y el vector pobre : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =[2,0,1,1]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[0,2,1,1]}$

A continuación, calculemos el número total de ricos y pobres en nuestra ciudad:

${\displaystyle R=2+0+1+1=4}$

${\displaystyle P=0+2+1+1=4}$

A continuación, normalicemos los vectores ricos y pobres:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{R}}={\frac {1}{4}}[2,0,1,1]=[0.5,0,0.25,0.25]}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{P}}={\frac {1}{4}}[0,2,1,1]=[0,0.5,0.25,0.25]}$

Ahora podemos calcular la diferencia : ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}=[0.5,0,0.25,0.25]-[0,0.5,0.25,0.25]=[0.5,-0.5,0,0]}$

Finalmente, encontremos el índice de disimilitud ( ): ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}(|0.5|+|-0.5|)=0.5}$

Equivalencia entre fórmulas

Podemos demostrar que la fórmula algebraica lineal de es idéntica a la fórmula básica de . Comencemos con la fórmula algebraica lineal: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}}$

Reemplacemos los vectores normalizados y con: ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\mathbf {r} }{R}}-{\frac {\mathbf {p} }{P}}\right|_{1}}$

Finalmente, por la definición de la norma, sabemos que podemos reemplazarla con la suma: ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}$

Así demostramos que la fórmula de álgebra lineal para el índice de disimilitud es equivalente a la fórmula básica del mismo:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}$

Segregación cero

Cuando el Índice de Disimilitud es cero, esto significa que la comunidad que estamos estudiando tiene segregación cero. Por ejemplo, si estamos estudiando la segregación de ricos y pobres en una ciudad, entonces si , significa que: ${\displaystyle D=0}$

• No hay manzanas en la ciudad que sean "manzanas ricas" y no hay manzanas en la ciudad que sean "manzanas pobres"
• Hay una distribución homogénea de ricos y pobres en toda la ciudad.

Si establecemos la fórmula algebraica lineal, obtenemos la condición necesaria para tener segregación cero: ${\displaystyle D=0}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

Por ejemplo, supongamos que tienes una ciudad con 2 cuadras. Cada bloque tiene 4 ricos y 100 pobres:

${\displaystyle \mathbf {r} =[4,4]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[100,100]}$

Entonces, el número total de ricos es y el número total de pobres es . De este modo: ${\displaystyle R=4+4=8}$ ${\displaystyle P=100+100=200}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =[4/8,4/8]=[0.5,0.5]}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =[100/200,100/200]=[0.5,0.5]}$

Porque , por tanto, esta ciudad tiene cero segregación. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

Como otro ejemplo, supongamos que tienes una ciudad con 3 cuadras:

${\displaystyle \mathbf {r} =[1,2,3]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[100,200,300]}$

Entonces, tenemos gente rica en nuestra ciudad y gente pobre. De este modo: ${\displaystyle R=1+2+3=6}$ ${\displaystyle P=100+200+300=600}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =[1/6,2/6,3/6]}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =[100/600,200/600,300/600]=[1/6,2/6,3/6]}$

De nuevo, porque , por tanto, esta ciudad también tiene segregación cero. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

Ver también

• Divergencia Kullback-Leibler
• índice de aislamiento
• autodisimilaridad
• Índice de Hoover

Referencias

1. Oficina, censo de Estados Unidos. "Patrones de vivienda: Apéndice B: Medidas de segregación residencial". Censo.gov . Consultado el 28 de abril de 2022 .
2. Massey, Douglas S.; Rothwell, Jonathan; Domina, Thurston (26 de octubre de 2009). "Las bases cambiantes de la segregación en los Estados Unidos". Los Anales de la Academia Estadounidense de Ciencias Políticas y Sociales . 626 (1): 74–90. doi :10.1177/0002716209343558. ISSN  0002-7162. PMC 3844132 . PMID  24298193. 
3. Wolfram MathWorld: norma L1

enlaces externos

• http://enceladus.isr.umich.edu/race/calculate.html