Vorticidad potencial

En mecánica de fluidos , la vorticidad potencial (PV) es una cantidad que es proporcional al producto escalar de la vorticidad y la estratificación . Esta cantidad, en función de una porción de aire o de agua, sólo puede modificarse mediante procesos diabáticos o de fricción. Es un concepto útil para comprender la generación de vorticidad en la ciclogénesis (el nacimiento y desarrollo de un ciclón), especialmente a lo largo del frente polar , y para analizar el flujo en el océano.

La vorticidad potencial (PV) se considera uno de los éxitos teóricos importantes de la meteorología moderna. Es un enfoque simplificado para comprender los movimientos de los fluidos en un sistema giratorio como la atmósfera y el océano de la Tierra. Su desarrollo se remonta al teorema de circulación de Bjerknes en 1898, ^[1] que es una forma especializada del teorema de circulación de Kelvin . A partir de Hoskins et al., 1985, ^[2] la fotovoltaica se ha utilizado más comúnmente en el diagnóstico meteorológico operativo, como el seguimiento de la dinámica de las parcelas de aire y la inversión para el campo de flujo completo. Incluso después de que los pronósticos meteorológicos numéricos detallados en escalas más finas fueran posibles gracias al aumento de la potencia computacional, la vista fotovoltaica todavía se utiliza en el mundo académico y en los pronósticos meteorológicos de rutina, arrojando luz sobre las características de la escala sinóptica para pronosticadores e investigadores. ^[3]

La inestabilidad baroclínica requiere la presencia de un gradiente de vorticidad potencial a lo largo del cual las ondas se amplifican durante la ciclogénesis.

Teorema de circulación de Bjerknes

Vilhelm Bjerknes generalizó la ecuación de vorticidad de Helmholtz (1858) y el teorema de circulación de Kelvin (1869) a fluidos no viscosos, geostróficos y baroclínicos, ^[1] es decir, fluidos de densidad variable en un sistema rotacional que tiene una velocidad angular constante. Si definimos la circulación como la integral de la componente tangente de la velocidad alrededor de un circuito cerrado de fluido y tomamos la integral de una cadena cerrada de parcelas de fluido, obtenemos

{\frac {DC}{Dt}}=-\oint {\frac {1}{\rho }}\nabla p\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},

(1)

donde es la derivada del tiempo en el marco rotacional (no el marco inercial), es la circulación relativa, es la proyección del área rodeada por el circuito de fluido en el plano ecuatorial, es la densidad, es la presión y es la velocidad angular del marco. Con el teorema de Stokes , el primer término del lado derecho se puede reescribir como ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}}$ $C$ $A_{e}$ $\rho$ $p$ $\Omega$

{\frac {DC}{Dt}}=\int _{A}{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho ^{2}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},

(2)

que establece que la tasa de cambio de la circulación se rige por la variación de la densidad en las coordenadas de presión y la proyección ecuatorial de su área, correspondiente al primer y segundo término del lado derecho. El primer término también se denomina " término de solenoide ". Bajo la condición de un fluido barotrópico con un área de proyección constante , el teorema de circulación de Bjerknes se reduce al teorema de Kelvin. Sin embargo, en el contexto de la dinámica atmosférica, tales condiciones no son una buena aproximación: si el circuito de fluido se mueve desde la región ecuatorial a las extratrópicas, no se conserva. Además, la compleja geometría del enfoque del circuito material no es ideal para argumentar sobre los movimientos de los fluidos. $A_{e}$ $A_{e}$

PV de aguas poco profundas de Rossby

Carl Rossby propuso en 1939 ^[4] que, en lugar del vector de vorticidad tridimensional completo, la componente vertical local de la vorticidad absoluta es la componente más importante para el flujo atmosférico a gran escala. Además, la estructura a gran escala de un flujo barotrópico bidimensional no divergente se puede modelar suponiendo que se conserva. Su artículo posterior de 1940 ^[5] relajó esta teoría del flujo 2D a ecuaciones de aguas poco profundas cuasi-2D en un plano beta . En este sistema, la atmósfera está separada en varias capas incompresibles apiladas unas sobre otras, y la velocidad vertical se puede deducir integrando la convergencia del flujo horizontal. Para un sistema de aguas poco profundas de una capa sin fuerzas externas ni calentamiento diabático, Rossby demostró que $\zeta _{a}$ $\zeta _{a}$

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta +f}{h}}\right)=0

, (3)

donde es la vorticidad relativa, es la profundidad de la capa y es el parámetro de Coriolis. La cantidad conservada en la ecuación (3) se denomina posteriormente vorticidad potencial de aguas poco profundas . Para una atmósfera con múltiples capas, donde cada capa tiene una temperatura potencial constante, la ecuación anterior toma la forma $\zeta$ $h$ $f$

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{\theta }+f}{\Delta }}\right)=0,

(4)

en la cual es la vorticidad relativa en una superficie isentrópica, una superficie de temperatura potencial constante , y es una medida del peso de la unidad de sección transversal de una columna de aire individual dentro de la capa. $\zeta _{\theta }$ $\Delta =-\delta p/g$

Interpretación

Convergencia y divergencia de una parcela de aire.

La ecuación (3) es el equivalente atmosférico al momento angular . Por ejemplo, una patinadora sobre hielo que gira con los brazos extendidos lateralmente puede acelerar su velocidad de giro contrayendo los brazos. De manera similar, cuando un vórtice de aire se ensancha, a su vez gira más lentamente. Cuando el aire converge horizontalmente, la velocidad del aire aumenta para mantener la vorticidad potencial y la extensión vertical aumenta para conservar la masa. Por otro lado, la divergencia hace que el vórtice se propague, lo que ralentiza la velocidad de giro.

La vorticidad potencial de Ertel

Hans Ertel generalizó el trabajo de Rossby a través de un artículo independiente publicado en 1942. ^[6]^[7] Al identificar una cantidad conservada después del movimiento de una parcela de aire, se puede demostrar que una cierta cantidad llamada vorticidad potencial de Ertel también se conserva para una fluido continuo idealizado. Observamos la ecuación de momento y la ecuación de continuidad de masa de un fluido compresible idealizado en coordenadas cartesianas:

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {v^{2}} -\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} =-\nabla \Phi -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,

(5)

{\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,

(6)

¿Dónde está la altura geopotencial? Escribiendo la vorticidad absoluta como , como y luego tomando el rizo de la ecuación de momento total (5), tenemos $\Phi$ ${\textstyle \mathbf {\zeta _{a}} =\nabla \times \mathbf {v} +2\mathbf {\Omega } }$ $1/\rho$ $\alpha$

{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} -\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )=\nabla p\times \nabla \alpha .

(7)

Considere que es una invariante hidrodinámica, es decir, igual a cero siguiendo el movimiento del fluido en cuestión. Multiplicación escalar de la ecuación (7) por y tenga en cuenta que tenemos $\psi =\psi (\mathbf {r} ,t)$ ${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}}$ $\nabla \psi$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} ={\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} }$

\nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} -\nabla \psi \cdot [\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]=\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).

(8)

El segundo término en el lado izquierdo de la ecuación (8) es igual a , en la cual el segundo término es cero. De la fórmula del producto del triple vector, tenemos ${\textstyle \nabla \cdot [\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]-(\mathbf {v} \times \zeta _{a})\cdot (\nabla \times \nabla \psi )}$

{\begin{aligned}\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )-\mathbf {\zeta _{a}} (\mathbf {v} \cdot \nabla \psi )\\&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+\mathbf {\zeta _{a}} {\frac {\partial \psi }{\partial t}},\end{aligned}}

(9)

donde la segunda fila se debe a que se conserva siguiendo el movimiento, . Sustituyendo la ecuación (9) en la ecuación (8) anterior, $\psi$ ${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}=0}$

\nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} +\mathbf {v} \cdot \nabla (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {\zeta _{a}} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi =\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).

(10)

Combinando el primer, segundo y cuarto término de la ecuación (10) se puede obtener . Dividiendo por y usando una forma variante de la ecuación de continuidad de masa, la ecuación (10) da ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {D\alpha }{Dt}}}$

\alpha {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi ){\frac {D\alpha }{Dt}}=\alpha \nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha )

(11)

Si el invariante es sólo función de la presión y la densidad , entonces su gradiente es perpendicular al producto cruzado de y , lo que significa que el lado derecho de la ecuación (11) es igual a cero. Específicamente para la atmósfera, la temperatura potencial se elige como invariante para movimientos adiabáticos y sin fricción. Por lo tanto, la ley de conservación de la vorticidad potencial de Ertel viene dada por ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \nabla p}$ ${\textstyle \nabla \rho }$

{\frac {D}{Dt}}PV=0.

(12)

la vorticidad potencial se define como

PV={\frac {\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \theta }{\rho }},

(13)

donde es la densidad del fluido , es la vorticidad absoluta y es el gradiente de temperatura potencial . Se puede demostrar mediante una combinación de la primera ley de la termodinámica y la conservación del momento que la vorticidad potencial sólo puede cambiarse mediante calentamiento diabático (como el calor latente liberado por la condensación) o procesos de fricción. $\rho$ $\mathbf {\zeta _{a}}$ $\nabla \theta$

Si la atmósfera está estratificada de manera estable de modo que la temperatura potencial aumenta monótonamente con la altura, se puede utilizar como coordenada vertical en lugar de . En el sistema de coordenadas, la "densidad" se define como . Entonces, si comenzamos la derivación de la ecuación del momento horizontal en coordenadas isentrópicas, Ertel PV toma una forma mucho más simple ^[8] ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle (x,y,\theta )}$ ${\textstyle \sigma \equiv -g^{-1}\partial p/\partial \theta }$

PV_{\theta }={\frac {f+\mathbf {k} \cdot (\nabla _{\theta }\times \mathbf {v} )}{\sigma }}

(14)

donde es el vector vertical local de longitud unitaria y es el operador de gradiente tridimensional en coordenadas isentrópicas. Se puede ver que esta forma de vorticidad potencial es simplemente la forma continua del PV multicapa isentrópico de Rossby en la ecuación (4). ${\textstyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle \nabla _{\theta }}$

Interpretación

El teorema de conservación de Ertel PV, ecuación (12), establece que para una atmósfera seca, si una parcela de aire conserva su temperatura potencial, su vorticidad potencial también se conserva siguiendo sus movimientos tridimensionales completos. En otras palabras, en movimiento adiabático, las parcelas de aire conservan Ertel PV en una superficie isentrópica. Sorprendentemente, esta cantidad puede servir como trazador lagrangiano que vincula los campos de viento y temperatura. El uso del teorema de conservación de la energía fotovoltaica de Ertel ha dado lugar a varios avances en la comprensión de la circulación general. Uno de ellos fue el proceso de "plegamiento de la tropopausa" descrito por Reed et al., (1950). ^[9] Para la alta troposfera y la estratosfera, las parcelas de aire siguen movimientos adiabáticos durante un período de tiempo sinóptico. En la región extratropical, las superficies isentrópicas de la estratosfera pueden penetrar en la tropopausa y, por lo tanto, las parcelas de aire pueden moverse entre la estratosfera y la troposfera, aunque el fuerte gradiente de PV cerca de la tropopausa generalmente impide este movimiento. Sin embargo, en la región frontal cerca de las rayas en chorro, que es una región concentrada dentro de una corriente en chorro donde las velocidades del viento son más fuertes, el contorno PV puede extenderse sustancialmente hacia abajo en la troposfera, que es similar a las superficies isentrópicas. Por lo tanto, el aire estratosférico puede ser advectivo, siguiendo superficies PV constantes e isoentrópicas, hacia las profundidades de la troposfera. También se demostró que el uso de mapas PV es preciso para distinguir parcelas de aire de origen estratosférico reciente incluso bajo perturbaciones de escala subsinóptica. (Se puede encontrar una ilustración en Holton, 2004, figura 6.4)

El Ertel PV también actúa como trazador de flujo en el océano y puede usarse para explicar cómo una cadena montañosa, como los Andes , puede hacer que los vientos superiores del oeste se desvíen hacia el ecuador y viceversa. Los mapas que representan Ertel PV se utilizan generalmente en análisis meteorológicos en los que la unidad de vorticidad potencial (PVU) se define como . ${\textstyle {10^{-6}\cdot \mathrm {K} \cdot \mathrm {m} ^{2} \over \mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} }\equiv 1\ \mathrm {PVU} }$

Fotovoltaica cuasigeostrófica

Una de las condiciones de equilibrio más simples pero reveladoras se presenta en forma de ecuaciones cuasigeostróficas . Esta aproximación básicamente establece que para los movimientos atmosféricos tridimensionales que son casi hidrostáticos y geostróficos , su parte geostrófica puede ser determinada aproximadamente por el campo de presión, mientras que la parte ageostrófica gobierna la evolución del flujo geostrófico. La vorticidad potencial en el límite cuasigeostrófico (QGPV) fue formulada por primera vez por Charney y Stern en 1960. ^[10] Al igual que en el Capítulo 6.3 de Holton 2004, ^[8] partimos del momento horizontal (15), la continuidad de la masa (16) , hidrostática (17) y termodinámica (18) en un plano beta , suponiendo que el flujo es no viscoso e hidrostático ,

{\frac {D_{g}\mathbf {u_{g}} }{Dt}}+f_{0}\mathbf {k} \times \mathbf {u_{a}} +\beta y\mathbf {k} \times \mathbf {u_{g}} =0

(15)

\nabla _{hp}\cdot \mathbf {u_{a}} +{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0

(dieciséis)

{\frac {\partial \Phi }{\partial p}}=-{\frac {R\pi }{p}}\theta

(17)

{\frac {D_{g}\theta }{Dt}}+\omega {\frac {d\theta _{0}}{dp}}={\frac {J}{c_{p}\pi }}

(18)

donde representa la evolución geostrófica, , es el término de calentamiento diabático en , es la altura geopotencial, es la componente geostrófica de la velocidad horizontal, es la velocidad ageostrófica, es el operador de gradiente horizontal en coordenadas (x, y, p). Con algo de manipulación (ver Ecuaciones cuasigeostróficas o Holton 2004, Capítulo 6 para más detalles), se puede llegar a una ley de conservación ${\textstyle {\frac {D_{g}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{g}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{g}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ ${\textstyle \pi =(p/ps)^{R/c_{p}}}$ ${\textstyle J}$ ${\textstyle Js^{-1}kg^{-1}}$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \mathbf {u_{g}} }$ ${\textstyle \mathbf {u_{a}} }$ ${\textstyle \nabla _{hp}}$

{\frac {D_{g}}{Dt}}q=-f_{0}{\frac {\partial }{\partial p}}\left(\sigma {\frac {\kappa J}{p}}\right),

(19)

¿Dónde está la estabilidad estática seca promediada espacialmente? Suponiendo que el flujo es adiabático, es decir , tenemos la conservación de QGPV. La cantidad conservada toma la forma ${\textstyle \sigma =-{\frac {R\pi }{p}}{\frac {d\theta _{0}}{dp}}}$ ${\textstyle J=0}$ ${\textstyle q}$

{q={{{1 \over f_{o}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{o} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}},

(20)

que es el QGPV, y también se conoce como pseudovorticidad potencial. Además del término de calentamiento diabático en el lado derecho de la ecuación (19), también se puede demostrar que las fuerzas de fricción pueden cambiar el QGPV.

El PV de Ertel se reduce al QGPV si se expande el PV de Ertel al orden principal y se supone que la ecuación de evolución es cuasigeostrófica, es decir, . ^[3] Debido a este factor, también se debe tener en cuenta que el Ertel PV conserva la siguiente parcela de aire en una superficie isentrópica y, por lo tanto, es un buen trazador lagrangiano, mientras que el QGPV se conserva después de un flujo geostrófico a gran escala. QGPV se ha utilizado ampliamente para representar estructuras de flujo atmosférico a gran escala, como se analiza en la sección Principio de invertibilidad fotovoltaica; ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}\approx {\frac {D_{g}}{Dt}}}$

Principio de invertibilidad fotovoltaica

Además de ser un trazador lagrangiano, la vorticidad potencial también tiene implicaciones dinámicas a través del principio de invertibilidad. Para un fluido ideal bidimensional, la distribución de vorticidad controla la función de la corriente mediante un operador de Laplace,

{\zeta ={\nabla ^{2}\Psi }},

(21)

donde es la vorticidad relativa y es la función de corriente. Por lo tanto, a partir del conocimiento del campo de vorticidad, se puede invertir el operador y calcular la función de la corriente. En este caso particular (ecuación 21), la vorticidad proporciona toda la información necesaria para deducir movimientos o funciones de la corriente, por lo que se puede pensar en términos de vorticidad para comprender la dinámica del fluido. Kleinschmit introdujo originalmente un principio similar para la vorticidad potencial en fluidos tridimensionales en la década de 1940, y fue desarrollado por Charney y Stern en su teoría cuasigeostrófica. ^[11] $\zeta$ $\Psi$

A pesar de la elegancia teórica de la vorticidad potencial de Ertel, las primeras aplicaciones de Ertel PV se limitan a estudios de trazadores que utilizan mapas isentrópicos especiales. Generalmente es insuficiente deducir otras variables a partir del conocimiento de los campos fotovoltaicos de Ertel únicamente, ya que es un producto de los campos de viento ( ) y temperatura ( y ). Sin embargo, los movimientos atmosféricos a gran escala son inherentemente cuasiestáticos; los campos de viento y masa se ajustan y equilibran entre sí (por ejemplo, equilibrio de gradiente, equilibrio geostrófico). Por lo tanto, se pueden hacer otras suposiciones para formar un cierre y deducir la estructura completa del flujo en cuestión: ^[2] ${\textstyle \zeta _{a}}$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \rho }$

(1) introducir condiciones de equilibrio de cierta forma. Estas condiciones deben ser físicamente realizables y estables sin inestabilidades como la inestabilidad estática. Además, las escalas espaciales y temporales del movimiento deben ser compatibles con el equilibrio supuesto;

(2) especificar un determinado estado de referencia, como la distribución de temperatura, la temperatura potencial o la altura geopotencial;

(3) afirmar condiciones límite adecuadas e invertir el campo fotovoltaico globalmente.

Los supuestos primero y segundo se expresan explícitamente en la derivación de la energía fotovoltaica cuasigeostrófica. Como condición de equilibrio se utiliza el equilibrio geostrófico de orden principal. Los términos de segundo orden, como vientos ageostróficos, perturbaciones de la temperatura potencial y perturbaciones de la altura geostrófica, deberían tener una magnitud constante, es decir, del orden del número de Rossby . El estado de referencia es la temperatura potencial y la altura geopotencial promediadas zonalmente. El tercer supuesto es evidente incluso para la inversión de vorticidad bidimensional porque invertir el operador de Laplace en la ecuación (21), que es un operador elíptico de segundo orden , requiere conocimiento de las condiciones de contorno .

Por ejemplo, en la ecuación (20), la invertibilidad implica que, dado el conocimiento de , el operador tipo Laplace se puede invertir para producir la altura geopotencial . también es proporcional a la función de flujo QG bajo el supuesto cuasigeostrófico. El campo de viento geostrófico se puede deducir fácilmente de . Por último, el campo de temperatura viene dado sustituyendo en la ecuación hidrostática (17). ${\textstyle q}$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \Psi }$ ${\textstyle \Psi }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \Phi }$

Ver también

Referencias

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^ Thorpe, AJ; Volkert, H. (1997). "Vorticidad potencial: una breve historia de sus definiciones y usos". Meteorol. Z. 6 (6): 275–280. Código Bib : 1997MetZe...6..275T. doi :10.1127/metz/6/1997/275.

Otras lecturas

Roulstone, Ian; Norbury, Juan (2013). Invisible en la tormenta: el papel de las matemáticas en la comprensión del clima . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-15272-1.

enlaces externos

Entrada del glosario de AMS
Artículo de enciclopedia sobre vorticidad potencial de Michael E. McIntyre