El método de volúmenes finitos ( FVM ) es un método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales en forma de ecuaciones algebraicas. [1] En el método de volumen finito, las integrales de volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de superficie , utilizando el teorema de divergencia . Luego, estos términos se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que entra en un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos son conservadores . Otra ventaja del método de volúmenes finitos es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas. El método se utiliza en muchos paquetes de dinámica de fluidos computacional . "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla. [2]
Los métodos de volúmenes finitos se pueden comparar y contrastar con los métodos de diferencias finitas , que aproximan derivadas utilizando valores nodales, o métodos de elementos finitos , que crean aproximaciones locales de una solución utilizando datos locales y construyen una aproximación global uniéndolas. Por el contrario, un método de volumen finito evalúa expresiones exactas para el valor promedio de la solución en un cierto volumen y utiliza estos datos para construir aproximaciones de la solución dentro de las celdas. [3] [4]
Considere un problema simple de advección 1D :
Aquí, representa la variable de estado y representa el flujo o flujo de . Convencionalmente, positivo representa flujo hacia la derecha mientras que negativo representa flujo hacia la izquierda. Si asumimos que la ecuación ( 1 ) representa un medio fluido de área constante, podemos subdividir el dominio espacial, en volúmenes finitos o celdas con centros de celda indexados como . Para una celda en particular, podemos definir el valor promedio de volumen de en el momento y , como
y en el momento como,
donde y representan ubicaciones de las caras o bordes aguas arriba y aguas abajo, respectivamente, de la celda.
Integrando la ecuación ( 1 ) en el tiempo, tenemos:
dónde .
Para obtener el promedio de volumen de at time , integramos el volumen de la celda y dividimos el resultado entre , es decir
Suponemos que se porta bien y que podemos invertir el orden de integración. Además, recuerde que el flujo es normal a la unidad de área de la celda. Ahora, dado que en una dimensión , podemos aplicar el teorema de la divergencia , es decir , y sustituir la integral de volumen de la divergencia con los valores de evaluados en la superficie de la celda (bordes y ) del volumen finito de la siguiente manera:
dónde .
Por lo tanto, podemos derivar un esquema numérico semidiscreto para el problema anterior con centros de celda indexados como , y con flujos de borde de celda indexados como , diferenciando ( 6 ) con respecto al tiempo para obtener:
donde los valores de los flujos de borde, , se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. La ecuación ( 7 ) es exacta para los promedios de volumen; es decir, no se han realizado aproximaciones durante su derivación.
Este método también se puede aplicar a una situación 2D considerando las caras norte y sur junto con las caras este y oeste alrededor de un nodo.
También podemos considerar el problema de la ley general de conservación , representado por el siguiente PDE ,
Aquí, representa un vector de estados y representa el tensor de flujo correspondiente . Nuevamente podemos subdividir el dominio espacial en volúmenes o celdas finitos. Para una celda en particular, tomamos la integral de volumen sobre el volumen total de la celda, lo que da,
Al integrar el primer término para obtener el promedio del volumen y aplicar el teorema de la divergencia al segundo, se obtiene
donde representa el área de superficie total de la celda y es un vector unitario normal a la superficie y que apunta hacia afuera. Entonces, finalmente, podemos presentar el resultado general equivalente a ( 8 ), es decir
Nuevamente, los valores de los flujos de borde se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. El esquema numérico real dependerá de la geometría del problema y de la construcción de la malla. La reconstrucción MUSCL se utiliza a menudo en esquemas de alta resolución donde hay shocks o discontinuidades en la solución.
Los esquemas de volumen finito son conservadores ya que los promedios de las celdas cambian a través de los flujos de borde. En otras palabras, ¡ la pérdida de una célula es siempre la ganancia de otra !
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