Velocidad de escape

Concepto en mecánica celeste

En mecánica celeste , la velocidad de escape o rapidez de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape del contacto con o de la órbita de un cuerpo primario , suponiendo:

• Trayectoria balística : no actúan otras fuerzas sobre el objeto, incluidas la propulsión y la fricción.
• No existen otros objetos que produzcan gravedad.

Aunque el término velocidad de escape es común, se describe con más precisión como una rapidez que como una velocidad porque es independiente de la dirección. Como la fuerza gravitacional entre dos objetos depende de su masa combinada, la velocidad de escape también depende de la masa. En el caso de los satélites artificiales y los objetos naturales pequeños, la masa del objeto hace una contribución insignificante a la masa combinada, por lo que a menudo se ignora.

La velocidad de escape varía con la distancia desde el centro del cuerpo primario, al igual que la velocidad de un objeto que viaja bajo la influencia gravitatoria del cuerpo primario. Si un objeto está en una órbita circular o elíptica, su velocidad siempre es menor que la velocidad de escape a su distancia actual. Por el contrario, si está en una trayectoria hiperbólica, su velocidad siempre será mayor que la velocidad de escape a su distancia actual. (Se desacelerará a medida que se acerque a una distancia mayor, pero lo hará asintóticamente a una velocidad positiva). Un objeto en una trayectoria parabólica siempre viajará exactamente a la velocidad de escape a su distancia actual. Tiene energía cinética positiva y energía potencial gravitatoria negativa equilibradas con precisión ; ^[a] siempre estará desacelerando, acercándose asintóticamente a la velocidad cero, pero nunca se detendrá por completo. ^[1]

Los cálculos de velocidad de escape se utilizan normalmente para determinar si un objeto permanecerá en la esfera de influencia gravitatoria de un cuerpo determinado. Por ejemplo, en la exploración del sistema solar es útil saber si una sonda seguirá orbitando la Tierra o escapará a una órbita heliocéntrica . También es útil saber cuánto tendrá que reducir la velocidad una sonda para que su cuerpo de destino la capture gravitacionalmente . Los cohetes no tienen que alcanzar la velocidad de escape en una sola maniobra, y los objetos también pueden utilizar una asistencia gravitatoria para extraer energía cinética de los cuerpos grandes.

Los cálculos precisos de la trayectoria requieren tener en cuenta fuerzas pequeñas como la resistencia atmosférica , la presión de radiación y el viento solar . Un cohete con empuje continuo o intermitente (o un objeto que sube por un ascensor espacial ) puede lograr escapar a cualquier velocidad distinta de cero, pero la cantidad mínima de energía necesaria para hacerlo es siempre la misma.

Cálculo

La velocidad de escape a una distancia d del centro de un cuerpo primario esféricamente simétrico (como una estrella o un planeta) con masa M viene dada por la fórmula ^{[2] [3]}

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd}}}$

dónde:

• G es la constante gravitacional universal ( G ≈ 6,67×10 ⁻¹¹ m ³ ·kg ⁻¹ ·s ⁻² )
• g = GM/d ² es la aceleración gravitacional local (o la gravedad superficial , cuando d = r ).

El valor GM se denomina parámetro gravitacional estándar , o μ , y a menudo se conoce con mayor precisión que G o M por separado.

Cuando se le da una velocidad inicial mayor que la velocidad de escape, el objeto se aproximará asintóticamente a la velocidad excesiva hiperbólica satisfaciendo la ecuación: ^[4] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{e},}$ ${\displaystyle v_{\infty },}$

${\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.}$

Por ejemplo, con el valor de definición para la gravedad estándar de 9,80665 m/s ² (32,1740 ft/s ² ), ^[5] la velocidad de escape es 11,186 km/s (40 270 km/h; 25 020 mph; 36 700 ft/s). ^[6]

Energía requerida

Para un objeto de masa, la energía necesaria para escapar del campo gravitacional de la Tierra es GMm / r , una función de la masa del objeto (donde r es el radio de la Tierra , nominalmente 6,371 kilómetros (3,959 mi), G es la constante gravitacional y M es la masa de la Tierra , M = 5,9736 × 10 ²⁴ kg ). Una cantidad relacionada es la energía orbital específica , que es esencialmente la suma de la energía cinética y potencial dividida por la masa. Un objeto ha alcanzado la velocidad de escape cuando la energía orbital específica es mayor o igual a cero. ${\displaystyle m}$

Conservación de energía

Luna 1 , lanzada en 1959, fue el primer objeto artificial en alcanzar la velocidad de escape de la Tierra. ^[7] (Ver la Lista de sondas del Sistema Solar para más información).

La existencia de la velocidad de escape puede considerarse una consecuencia de la conservación de la energía y de un campo de energía de profundidad finita. Para un objeto con una energía total dada, que se mueve sujeto a fuerzas conservativas (como un campo de gravedad estático), solo es posible que el objeto alcance combinaciones de lugares y velocidades que tengan esa energía total; los lugares que tienen una energía potencial mayor que esta no pueden alcanzarse en absoluto. Añadir velocidad (energía cinética) a un objeto amplía la región de lugares a los que puede llegar, hasta que, con suficiente energía, cualquier lugar hasta el infinito se vuelve accesible.

La fórmula para la velocidad de escape se puede derivar del principio de conservación de la energía. Por el bien de la simplicidad, a menos que se indique lo contrario, suponemos que un objeto escapará del campo gravitatorio de un planeta esférico uniforme alejándose de él y que la única fuerza significativa que actúa sobre el objeto en movimiento es la gravedad del planeta. Imaginemos que una nave espacial de masa m está inicialmente a una distancia r del centro de masa del planeta, cuya masa es M , y su velocidad inicial es igual a su velocidad de escape, . En su estado final, estará a una distancia infinita del planeta, y su velocidad será despreciablemente pequeña. La energía cinética K y la energía potencial gravitatoria U _g son los únicos tipos de energía con los que trataremos (ignoraremos la resistencia de la atmósfera), por lo que por la conservación de la energía, ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle (K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}$

Podemos establecer K _final = 0 porque la velocidad final es arbitrariamente pequeña, y U _{g  final} = 0 porque la energía potencial gravitatoria final se define como cero a una gran distancia de un planeta, por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}}$

Relativista

El mismo resultado se obtiene mediante un cálculo relativista , en cuyo caso la variable r representa la coordenada radial o circunferencia reducida de la métrica de Schwarzschild . ^{[8] [9]}

Escenarios

De la superficie de un cuerpo

Una expresión alternativa para la velocidad de escape particularmente útil en la superficie del cuerpo es: ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}$

donde r es la distancia entre el centro del cuerpo y el punto en el que se calcula la velocidad de escape y g es la aceleración gravitacional a esa distancia (es decir, la gravedad superficial ). ^[10]

Para un cuerpo con una distribución de masa esféricamente simétrica, la velocidad de escape de la superficie es proporcional al radio asumiendo una densidad constante, y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad promedio ρ. ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}$

dónde ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}$

Esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o la luna, como se explica a continuación.

De un cuerpo giratorio

La velocidad de escape relativa a la superficie de un cuerpo giratorio depende de la dirección en la que se desplaza el cuerpo que escapa. Por ejemplo, como la velocidad de rotación de la Tierra es de 465 m/s en el ecuador , un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el este requiere una velocidad inicial de unos 10,735 km/s en relación con la superficie en movimiento en el punto de lanzamiento para escapar, mientras que un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el oeste requiere una velocidad inicial de unos 11,665 km/s en relación con esa superficie en movimiento . La velocidad de la superficie disminuye con el coseno de la latitud geográfica, por lo que las instalaciones de lanzamiento espacial suelen estar situadas lo más cerca posible del ecuador, por ejemplo, el Cabo Cañaveral estadounidense (latitud 28°28′ N) y el Centro Espacial de la Guayana Francesa (latitud 5°14′ N).

Consideraciones prácticas

En la mayoría de las situaciones, es impráctico alcanzar la velocidad de escape casi instantáneamente, debido a la aceleración implícita, y también porque si hay una atmósfera, las velocidades hipersónicas involucradas (en la Tierra una velocidad de 11,2 km/s, o 40.320 km/h) harían que la mayoría de los objetos se quemaran debido al calentamiento aerodinámico o se desgarraran por la resistencia atmosférica . Para una órbita de escape real, una nave espacial acelerará constantemente fuera de la atmósfera hasta que alcance la velocidad de escape apropiada para su altitud (que será menor que en la superficie). En muchos casos, la nave espacial puede colocarse primero en una órbita de estacionamiento (por ejemplo, una órbita terrestre baja a 160–2.000 km) y luego acelerarse hasta la velocidad de escape a esa altitud, que será ligeramente inferior (unos 11,0 km/s en una órbita terrestre baja de 200 km). Sin embargo, el cambio adicional de velocidad requerido es mucho menor porque la nave espacial ya tiene una velocidad orbital significativa (en la órbita terrestre baja la velocidad es de aproximadamente 7,8 km/s, o 28.080 km/h).

De un cuerpo en órbita

La velocidad de escape a una altura dada es multiplicada por la velocidad en una órbita circular a la misma altura (compárese con la ecuación de velocidad en órbita circular ). Esto corresponde al hecho de que la energía potencial con respecto al infinito de un objeto en dicha órbita es menos dos veces su energía cinética, mientras que para escapar la suma de la energía potencial y cinética debe ser al menos cero. La velocidad correspondiente a la órbita circular a veces se denomina primera velocidad cósmica , mientras que en este contexto la velocidad de escape se denomina segunda velocidad cósmica . ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Para un cuerpo en una órbita elíptica que desee acelerar hasta una órbita de escape, la velocidad requerida variará y será máxima en el periapsis, cuando el cuerpo está más cerca del cuerpo central. Sin embargo, la velocidad orbital del cuerpo también será máxima en este punto y el cambio de velocidad requerido será mínimo, como lo explica el efecto Oberth .

Velocidad de escape baricéntrica

La velocidad de escape puede medirse en relación con el otro cuerpo central o en relación con el centro de masa o baricentro del sistema de cuerpos. Por lo tanto, para sistemas de dos cuerpos, el término velocidad de escape puede ser ambiguo, pero generalmente se pretende que signifique la velocidad de escape baricéntrica del cuerpo menos masivo. La velocidad de escape generalmente se refiere a la velocidad de escape de partículas de prueba de masa cero . Para partículas de prueba de masa cero tenemos que las velocidades de escape "relativas al otro" y "baricéntricas" son las mismas, es decir . Pero cuando no podemos descuidar la masa más pequeña (digamos ) llegamos a fórmulas ligeramente diferentes. Debido a que el sistema tiene que obedecer la ley de conservación del momento, vemos que tanto la masa más grande como la más pequeña deben acelerarse en el campo gravitatorio. En relación con el centro de masa, la velocidad de la masa más grande ( , para el planeta) se puede expresar en términos de la velocidad de la masa más pequeña ( , para el cohete). Obtenemos . La velocidad de escape "baricéntrica" ​​ahora se convierte en : mientras que la velocidad de escape "relativa a la otra" se convierte en : . ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$
${\displaystyle m}$
${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}}$
${\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$ ${\displaystyle v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$

Altura de las trayectorias de menor velocidad

Ignorando todos los factores distintos de la fuerza gravitacional entre el cuerpo y el objeto, un objeto proyectado verticalmente a velocidad desde la superficie de un cuerpo esférico con velocidad de escape y radio alcanzará una altura máxima que satisface la ecuación ^[14]. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{e}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}$

Lo cual, resolviendo h, da como resultado

${\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}$

¿Dónde está la relación entre la velocidad original y la velocidad de escape? ${\textstyle x=v/v_{e}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{e}.}$

A diferencia de la velocidad de escape, la dirección (verticalmente hacia arriba) es importante para alcanzar la altura máxima.

Trayectoria

Si un objeto alcanza exactamente la velocidad de escape, pero no se aleja directamente del planeta, seguirá una trayectoria o camino curvo. Aunque esta trayectoria no forma una forma cerrada, se puede denominar órbita. Suponiendo que la gravedad es la única fuerza significativa en el sistema, la velocidad de este objeto en cualquier punto de la trayectoria será igual a la velocidad de escape en ese punto debido a la conservación de la energía, su energía total siempre debe ser 0, lo que implica que siempre tiene velocidad de escape; vea la derivación anterior. La forma de la trayectoria será una parábola cuyo foco se encuentra en el centro de masa del planeta. Un escape real requiere un curso con una trayectoria que no se cruce con el planeta o su atmósfera, ya que esto haría que el objeto se estrellara. Cuando se aleja de la fuente, este camino se llama órbita de escape . Las órbitas de escape se conocen como órbitas C3 = 0. C3 es la energía característica , = − GM /2 a , donde a es el semieje mayor , que es infinito para trayectorias parabólicas.

Si el cuerpo tiene una velocidad mayor que la velocidad de escape, su trayectoria formará una trayectoria hiperbólica y tendrá un exceso de velocidad hiperbólica, equivalente a la energía adicional que tiene el cuerpo. Un delta- v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar hasta la velocidad de escape puede dar como resultado una velocidad relativamente grande en el infinito. Algunas maniobras orbitales hacen uso de este hecho. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2 km/s, la adición de 0,4 km/s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3,02 km/s:

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.}$

Si un cuerpo en órbita circular (o en el periápside de una órbita elíptica) acelera a lo largo de su dirección de desplazamiento hasta alcanzar la velocidad de escape, el punto de aceleración formará el periápside de la trayectoria de escape. La dirección final del desplazamiento será de 90 grados con respecto a la dirección en el punto de aceleración. Si el cuerpo acelera más allá de la velocidad de escape, la dirección final del desplazamiento será en un ángulo menor, y estará indicada por una de las asíntotas de la trayectoria hiperbólica que está siguiendo en ese momento. Esto significa que el momento de la aceleración es fundamental si la intención es escapar en una dirección particular.

Si la velocidad en el periapsis es v , entonces la excentricidad de la trayectoria viene dada por:

${\displaystyle e=2(v/v_{e})^{2}-1}$

Esto es válido para trayectorias elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Si la trayectoria es hiperbólica o parabólica, se aproximará asintóticamente a un ángulo desde la dirección en el periapsis, con ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta =1/e.}$

La velocidad se aproximará asintóticamente

${\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}$

Lista de velocidades de escape

En esta tabla, la mitad izquierda indica la velocidad de escape desde la superficie visible (que puede ser gaseosa, como en el caso de Júpiter, por ejemplo), en relación con el centro del planeta o la luna (es decir, no en relación con su superficie móvil). En la mitad derecha, V _e se refiere a la velocidad relativa al cuerpo central (por ejemplo, el Sol), mientras que V _te es la velocidad (en la superficie visible del cuerpo más pequeño) en relación con el cuerpo más pequeño (planeta o luna).

Las dos últimas columnas dependerán precisamente de dónde en la órbita se alcance la velocidad de escape, ya que las órbitas no son exactamente circulares (particularmente Mercurio y Plutón).

Derivación de la velocidad de escape mediante cálculo

Sea G la constante gravitacional , M la masa de la Tierra (u otro cuerpo gravitacional) y m la masa del cuerpo o proyectil que escapa. A una distancia r del centro de gravedad, el cuerpo siente una fuerza de atracción .

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}$

Por lo tanto , el trabajo necesario para mover el cuerpo una pequeña distancia dr contra esta fuerza está dado por

${\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}$

El trabajo total necesario para mover el cuerpo desde la superficie r ₀ del cuerpo gravitacional hasta el infinito es entonces ^[19]

${\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}$

Para realizar este trabajo para llegar al infinito, la energía cinética mínima del cuerpo al partir debe coincidir con este trabajo, por lo que la velocidad de escape v ₀ satisface

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}$

Lo que resulta en

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}$

Véase también

• Agujero negro : un objeto con una velocidad de escape mayor que la velocidad de la luz.
• Energía característica (C ₃ )
• Presupuesto delta-v : velocidad necesaria para realizar maniobras.
• Tirachinas gravitacional : una técnica para cambiar la trayectoria
• Pozo de gravedad
• Lista de objetos artificiales en órbita heliocéntrica
• Lista de objetos artificiales que salen del Sistema Solar
• La bala de cañón de Newton
• Efecto Oberth : la quema de propulsor en las profundidades de un campo gravitatorio produce un cambio mayor en la energía cinética.
• Problema de dos cuerpos

Notas

1. La energía potencial gravitacional se define como cero a una distancia infinita.

Referencias

1. Giancoli, Douglas C. (2008). Física para científicos e ingenieros con Física moderna. Addison-Wesley . p. 199. ISBN 978-0-13-149508-1.
2. Jim Breithaupt (2000). Nueva comprensión de la física para el nivel avanzado (edición ilustrada). Nelson Thornes. pág. 231. ISBN 978-0-7487-4314-8.Extracto de la página 231
3. Katherine Blundell (2015). Agujeros negros: una introducción muy breve (edición ilustrada). Oxford University Press. pág. 4. ISBN 978-0-19-960266-7.Extracto de la página 4
4. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (edición ilustrada). Courier Corporation . pág. 39. ISBN 978-0-486-60061-1.
5. Oficina Internacional de Poids et Mesures (1901). "Declaración relativa a la unidad de masa y a la definición de pesos; valor convencional de g _n ". Comptes Rendus des Séances de la Troisième Conférence · Générale des Poids et Mesures (en francés). París: Gauthier-Villars. pag. 68. El nombre adoptado en el Servicio Internacional de Pesos y Medidas para el valor de aceleración normal del pesanteur es 980,665 cm/seg², nombre sancionado déjà por algunas legislaciones. Declaración relativa a la unidad de masa y a la definición de pesos; valor convencional de g _n .
6. Lai, Shu T. (2011). Fundamentos de la carga de naves espaciales: interacciones de naves espaciales con plasmas espaciales. Princeton University Press . p. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4.
7. «NASA – NSSDC – Nave espacial – Detalles». Archivado desde el original el 2 de junio de 2019. Consultado el 21 de agosto de 2019 .
8. Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald; Bertschinger, Edmund (2010). Explorando agujeros negros: Introducción a la relatividad general (2.ª edición revisada). Addison-Wesley. págs. 2–22. ISBN 978-0-321-51286-4.Capítulo de muestra, página 2-22 Archivado el 21 de julio de 2017 en Wayback Machine.
9. Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introducción a la relatividad general, los agujeros negros y la cosmología (edición ilustrada). Oxford University Press . pp. 116–117. ISBN 978-0-19-966646-1.
10. Bate, Mueller y White, pág. 35
11. Teodorescu, PP (2007). Sistemas mecánicos, modelos clásicos. Springer, Japón. p. 580. ISBN 978-1-4020-5441-9., Sección 2.2.2, pág. 580
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Enlaces externos

• Calculadora de velocidad de escape
• Calculadora numérica de velocidad de escape basada en la web