Función multivalor

En matemáticas , una función multivaluada (también conocida como función multivaluada) es una función que tiene dos o más valores en su rango para al menos un punto de su dominio. ^[1] Es una función con valores establecidos con propiedades adicionales según el contexto. A veces también se utilizan los términos multifunción y función polivalente .

Una función multivaluada de conjuntos f : X → Y es un subconjunto

\Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.

Escribe f(x) para el conjunto de aquellos y ∈ Y con ( x,y ) ∈ Γ _f . Si f es una función ordinaria, es una función multivaluada tomando su gráfica

\Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\ :\ x\in X\}.

Se denominan funciones de un solo valor para distinguirlas.

Motivación

El término función multivaluada se originó en el análisis complejo, a partir de la continuación analítica . A menudo ocurre que se conoce el valor de una función analítica compleja en alguna vecindad de un punto . Este es el caso de funciones definidas por el teorema de la función implícita o por una serie de Taylor alrededor de . En tal situación, se puede extender el dominio de la función de un solo valor a lo largo de curvas en el plano complejo comenzando en . Al hacerlo, se encuentra que el valor de la función extendida en un punto depende de la curva elegida desde hasta ; Como ninguno de los nuevos valores es más natural que los demás, todos ellos se incorporan a una función multivaluada. $f(z)$ $z=a$ $z=a$ $f(z)$ $a$ $z=b$ $a$ $b$

Por ejemplo, sea la función de raíz cuadrada habitual en números reales positivos. Se puede extender su dominio a una vecindad de en el plano complejo y luego a lo largo de curvas que comienzan en , de modo que los valores a lo largo de una curva dada varíen continuamente desde . Extendiendo a números reales negativos, se obtienen dos valores opuestos para la raíz cuadrada (por ejemplo, $\pm$ $i$ para $-1$ ), dependiendo de si el dominio se ha extendido a través de la mitad superior o inferior del plano complejo. Este fenómeno es muy frecuente y ocurre para raíces n -ésimas , logaritmos y funciones trigonométricas inversas . $f(z)={\sqrt {z}}\,$ $z=1$ $z=1$ ${\sqrt {1}}=1$

Para definir una función de un solo valor a partir de una función compleja de varios valores, se puede distinguir uno de los valores múltiples como el valor principal , produciendo una función de un solo valor en todo el plano que es discontinua a lo largo de ciertas curvas límite. Alternativamente, tratar con la función multivalor permite tener algo que es continuo en todas partes, a costa de posibles cambios de valor cuando se sigue un camino cerrado ( monodromía ). Estos problemas se resuelven en la teoría de las superficies de Riemann : para considerar una función multivaluada como una función ordinaria sin descartar ningún valor, se multiplica el dominio en un espacio de cobertura de muchas capas , una variedad a la que está asociada la superficie de Riemann . $f(z)$ $f(z)$

Inversas de funciones

Si f : X → Y es una función ordinaria, entonces su inversa es la función multivaluada

\Gamma _{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X

definido como Γ _f , visto como un subconjunto de X × Y . Cuando f es una función diferenciable entre variedades , el teorema de la función inversa da condiciones para que tenga un solo valor localmente en X.

Por ejemplo, el logaritmo complejo log(z) es el inverso multivaluado de la función exponencial e ^z : C → C ^× , con gráfica

\Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C } ^{\veces }.

No tiene un solo valor, dado un solo w con w = log(z) , tenemos

\log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z}.

Dada cualquier función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo C , su continuación analítica es siempre una función multivaluada.

Ejemplos concretos

Todo número real mayor que cero tiene dos raíces cuadradas reales , por lo que la raíz cuadrada puede considerarse una función multivaluada. Por ejemplo, podemos escribir ; aunque el cero tiene sólo una raíz cuadrada, . ${\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}$ ${\sqrt {0}}=\{0\}$
Cada número complejo distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas y, en general, raíces n n ésimas . La única raíz enésima de 0 es 0.
La función logaritmo compleja tiene varios valores. Los valores asumidos por para números reales y son para todos los números enteros . ${\displaystyle\log(a+bi)}$ $a$ $b$ $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$ $n$
Las funciones trigonométricas inversas tienen valores múltiples porque las funciones trigonométricas son periódicas. Tenemos $\tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({ \tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.$ Como consecuencia, arctan(1) está intuitivamente relacionado con varios valores: $π$ /4, 5 $π$ /4, −3 $π$ /4, etc. Podemos tratar a arctan como una función de un solo valor restringiendo el dominio de tan x a − $π$ /2 < x < $π$ /2 – un dominio sobre el cual tan x aumenta monótonamente. Por lo tanto, el rango de arctan( x ) se convierte en − $π$ /2 < y < $π$ /2 . Estos valores de un dominio restringido se denominan valores principales .
La antiderivada puede considerarse como una función multivaluada. La primitiva de una función es el conjunto de funciones cuya derivada es esa función. La constante de integración se deriva del hecho de que la derivada de una función constante es 0.
Las funciones hiperbólicas inversas en el dominio complejo tienen valores múltiples porque las funciones hiperbólicas son periódicas a lo largo del eje imaginario. Respecto a los reales, tienen un solo valor, excepto arcosh y arsech.

Todos estos son ejemplos de funciones multivaluadas que surgen de funciones no inyectivas . Dado que las funciones originales no conservan toda la información de sus entradas, no son reversibles. A menudo, la restricción de una función multivaluada es una inversa parcial de la función original.

Puntos de ramificación

Las funciones multivalor de una variable compleja tienen puntos de ramificación . Por ejemplo, para las funciones de raíz n- ésima y logaritmo, 0 es un punto de bifurcación; para la función arcotangente, las unidades imaginarias i y − i son puntos de ramificación. Usando los puntos de ramificación, estas funciones se pueden redefinir para que sean funciones de un solo valor, restringiendo el rango. Se puede encontrar un intervalo adecuado mediante el uso de un corte de rama , una especie de curva que conecta pares de puntos de rama, reduciendo así la superficie de Riemann de múltiples capas de la función a una sola capa. Como en el caso de las funciones reales, el rango restringido puede denominarse rama principal de la función.

Aplicaciones

En física, las funciones multivaluadas desempeñan un papel cada vez más importante. Forman la base matemática de los monopolos magnéticos de Dirac , de la teoría de los defectos en los cristales y la plasticidad resultante de los materiales, de los vórtices en superfluidos y superconductores , y de las transiciones de fase en estos sistemas, por ejemplo, la fusión y el confinamiento de quarks . Son el origen de las estructuras de campos de calibre en muchas ramas de la física. ^[^{cita necesaria}^]

Otras lecturas

H. Kleinert , Campos multivalor en materia condensada, electrodinámica y gravitación , World Scientific (Singapur, 2008) (también disponible en línea)
H. Kleinert , Campos de calibre en materia condensada , vol. I: Líneas de superflujo y vórtice, 1–742, vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapur, 1989 (también disponible en línea: Vol. I y Vol. II)

Referencias

^ "Función multivalor". Wolfram MathWorld . Consultado el 10 de febrero de 2024 .