Giro de Dehn

Un giro Dehn positivo aplicado al cilindro modifica la curva verde como se muestra.

En topología geométrica , una rama de las matemáticas , un giro de Dehn es un cierto tipo de autohomeomorfismo de una superficie ( variedad bidimensional ).

Definición

Giro general Dehn sobre una superficie compacta representada por un n -gono.

Supóngase que c es una curva cerrada simple en una superficie cerrada y orientable S . Sea A un entorno tubular de c . Entonces A es un anillo , homeomorfo al producto cartesiano de un círculo por un intervalo unitario I :

${\displaystyle c\subset A\cong S^{1}\times I.}$

Da las coordenadas de A ( s , t ) donde s es un número complejo de la forma con y t ∈ [0, 1] . ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

Sea f la función de S sobre sí misma que es la identidad fuera de A y dentro de A tenemos

${\displaystyle f(s,t)=\left(se^{i2\pi t},t\right).}$

Entonces f es un giro de Dehn alrededor de la curva c .

Los giros de Dehn también se pueden definir en una superficie no orientable S , siempre que se comience con una curva cerrada simple de dos lados c en S .

Ejemplo

Un ejemplo de un giro de Dehn en el toro, a lo largo de la curva cerrada a , en azul, donde a es un borde del polígono fundamental que representa el toro.

El automorfismo en el grupo fundamental del toro inducido por el autohomeomorfismo del giro de Dehn a lo largo de una de las generadoras del toro.

Consideremos el toro representado por un polígono fundamental con aristas a y b

${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$

Sea una curva cerrada la línea que recorre el borde a llamado . ${\displaystyle \gamma _{a}}$

Dada la opción de pegar el homeomorfismo en la figura, un vecindario tubular de la curva se verá como una banda unida alrededor de una rosquilla. Este vecindario es homeomorfo a un anillo , digamos ${\displaystyle \gamma _{a}}$

${\displaystyle a(0;0,1)=\{z\in \mathbb {C} :0<|z|<1\}}$

en el plano complejo.

Extendiendo al toro el mapa de torsión del anillo, a través de los homeomorfismos del anillo a un cilindro abierto en la vecindad de , se obtiene un giro de Dehn del toro por un . ${\displaystyle \left(e^{i\theta },t\right)\mapsto \left(e^{i\left(\theta +2\pi t\right)},t\right)}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$

${\displaystyle T_{a}:\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}$

Este homeomorfismo propio actúa sobre la curva cerrada a lo largo de b . En el entorno tubular, toma la curva de b una vez a lo largo de la curva de  a .

Un homeomorfismo entre espacios topológicos induce un isomorfismo natural entre sus grupos fundamentales . Por lo tanto, se tiene un automorfismo.

${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }:\pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right)\to \pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right):[x]\mapsto \left[T_{a}(x)\right]}$

donde [ x ] son ​​las clases de homotopía de la curva cerrada x en el toro. Observe y , donde es el camino recorrido alrededor de b entonces a . ${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }([a])=[a]}$ ${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }([b])=[b*a]}$ ${\displaystyle b*a}$

Grupo de clases de mapeo

Las 3 g − 1 curvas del teorema de torsión, se muestran aquí para g = 3.

Un teorema de Max Dehn sostiene que las aplicaciones de esta forma generan el grupo de clases de aplicación de las clases de isotopía de homeomorfismos que preservan la orientación de cualquier género cerrado y orientado : superficie. WBR Lickorish redescubrió más tarde este resultado con una prueba más simple y además demostró que las torsiones de Dehn a lo largo de curvas explícitas generan el grupo de clases de aplicación (esto se denomina con el nombre de juego de palabras "teorema de la torsión de Lickorish"); este número fue mejorado más tarde por Stephen P. Humphries a , para , que demostró que era el número mínimo. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 3g-1}$ ${\displaystyle 2g+1}$ ${\displaystyle g>1}$

Lickorish también obtuvo un resultado análogo para superficies no orientables, que requieren no sólo giros de Dehn, sino también " Y-homeomorfismos ".

Véase también

• Coordenadas de Fenchel-Nielsen
• Relación de la linterna

Referencias

• Andrew J. Casson , Steven A Bleiler, Automorfismos de superficies según Nielsen y Thurston , Cambridge University Press , 1988. ISBN  0-521-34985-0 .
• Stephen P. Humphries, "Generadores para el grupo de clases de mapeo", en: Topología de variedades de baja dimensión ( Proc. Second Sussex Conf. , Chelwood Gate, 1977), págs. 44-47, Lecture Notes in Math., 722, Springer , Berlín, 1979. MR 0547453
• WBR Lickorish , "Una representación de variedades 3-combinatorias orientables". Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540. MR 0151948
• WBR Lickorish, "Un conjunto finito de generadores para el grupo de homotopía de una variedad de dos elementos", Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. MR 0171269