Suma

Conjunto de sumas por pares de elementos de dos conjuntos

En combinatoria aditiva , el conjunto sumatorio (también llamado suma de Minkowski ) de dos subconjuntos y de un grupo abeliano (escrito de forma aditiva) se define como el conjunto de todas las sumas de un elemento de con un elemento de . Es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.}$

El conjunto sumatorio iterado de es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle nA=A+\cdots +A,}$

donde hay sumandos. ${\displaystyle n}$

Muchas de las preguntas y resultados de la combinatoria aditiva y la teoría aditiva de números pueden formularse en términos de conjuntos sumatorios. Por ejemplo, el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange puede escribirse sucintamente en la forma

${\displaystyle 4\,\Box =\mathbb {N} ,}$

donde es el conjunto de números cuadrados . Un tema que ha recibido bastante estudio es el de los conjuntos con duplicación pequeña , donde el tamaño del conjunto es pequeño (comparado con el tamaño de ); véase por ejemplo el teorema de Freiman . ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle A+A}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Suma restringida
• Conjunto de Sidón
• Conjunto sin suma
• Densidad de Schnirelmann
• Lema de Shapley-Folkman
• Ordenación X + Y

Referencias

• Henry Mann (1976). Teoremas de adición: Teoremas de adición de la teoría de grupos y la teoría de números (reimpresión corregida de la edición de Wiley de 1965). Huntington, Nueva York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. (1990). "Los mejores resultados posibles en la densidad de conjuntos sumatorios". En Berndt, Bruce C. ; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini ; et al. (eds.). Teoría analítica de números. Actas de una conferencia en honor de Paul T. Bateman, celebrada del 25 al 27 de abril de 1989 en la Universidad de Illinois, Urbana, IL (EE. UU.) . Progress in Mathematics. Vol. 85. Boston: Birkhäuser. págs. 395–403. ISBN . 0-8176-3481-9.Zbl 0722.11007  .
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de conjuntos sumatorios . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 165. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94655-1.Zbl 0859.11003  .
• Terence Tao y Van Vu, Combinatoria aditiva , Cambridge University Press 2006.

Enlaces externos

• Sloman, Leila (6 de diciembre de 2022). "A partir de sistemas en movimiento, aparecen patrones infinitos". Revista Quanta .