Respuesta de impulso infinita

Propiedad de muchos sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI)

La respuesta al impulso infinita ( IIR ) es una propiedad que se aplica a muchos sistemas lineales invariantes en el tiempo que se distinguen por tener una respuesta al impulso que no llega a ser exactamente cero después de cierto punto, sino que continúa indefinidamente. Esto contrasta con un sistema de respuesta al impulso finito (FIR), en el que la respuesta al impulso se vuelve exactamente cero en ocasiones durante algún tiempo finito , por lo que tiene una duración finita. Ejemplos comunes de sistemas lineales invariantes en el tiempo son la mayoría de los filtros electrónicos y digitales . Los sistemas con esta propiedad se conocen como sistemas IIR o filtros IIR . ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle t>T}$ ${\displaystyle T}$

En la práctica, la respuesta al impulso, incluso en los sistemas IIR, suele aproximarse a cero y puede despreciarse más allá de cierto punto. Sin embargo, los sistemas físicos que dan lugar a respuestas IIR o FIR son diferentes y ahí radica la importancia de la distinción. Por ejemplo, los filtros electrónicos analógicos compuestos de resistencias, condensadores y/o inductores (y quizás amplificadores lineales) son generalmente filtros IIR. Por otro lado, los filtros de tiempo discreto (normalmente filtros digitales) basados ​​en una línea de retardo derivada que no emplea retroalimentación son necesariamente filtros FIR. Los condensadores (o inductores) del filtro analógico tienen una "memoria" y su estado interno nunca se relaja completamente tras un impulso (asumiendo el modelo clásico de condensadores e inductores donde se ignoran los efectos cuánticos). Pero en el último caso, después de que un impulso ha llegado al final de la línea de retardo intervenida, el sistema ya no tiene memoria de ese impulso y ha regresado a su estado inicial; su respuesta al impulso más allá de ese punto es exactamente cero.

Implementación y diseño.

Aunque casi todos los filtros electrónicos analógicos son IIR, los filtros digitales pueden ser IIR o FIR. La presencia de retroalimentación en la topología de un filtro de tiempo discreto (como el diagrama de bloques que se muestra a continuación) generalmente crea una respuesta IIR. La función de transferencia del dominio z de un filtro IIR contiene un denominador no trivial que describe esos términos de retroalimentación. La función de transferencia de un filtro FIR, por otro lado, tiene sólo un numerador como se expresa en la forma general que se deduce a continuación. Todos los coeficientes con (términos de retroalimentación) son cero y el filtro no tiene polos finitos . ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i>0}$

Las funciones de transferencia pertenecientes a los filtros electrónicos analógicos IIR han sido ampliamente estudiadas y optimizadas por sus características de amplitud y fase. Estas funciones de filtro de tiempo continuo se describen en el dominio de Laplace . Las soluciones deseadas pueden trasladarse al caso de filtros de tiempo discreto cuyas funciones de transferencia se expresan en el dominio z, mediante el uso de ciertas técnicas matemáticas como la transformada bilineal , la invariancia de impulso o el método de coincidencia polo-cero . Así, los filtros IIR digitales pueden basarse en soluciones conocidas para filtros analógicos, como el filtro Chebyshev , el filtro Butterworth y el filtro elíptico , heredando las características de esas soluciones.

Derivación de la función de transferencia

Los filtros digitales a menudo se describen e implementan en términos de la ecuación en diferencias que define cómo se relaciona la señal de salida con la señal de entrada:

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]{}=&{\frac {1}{a_{0}}}(b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{P}x[n-P]\\&{}-a_{1}y[n-1]-a_{2}y[n-2]-\cdots -a_{Q}y[n-Q])\end{aligned}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \ P}$es el orden del filtro feedforward
• ${\displaystyle \ b_{i}}$son los coeficientes del filtro feedforward
• ${\displaystyle \ Q}$es el orden del filtro de retroalimentación
• ${\displaystyle \ a_{i}}$son los coeficientes del filtro de retroalimentación
• ${\displaystyle \ x[n]}$es la señal de entrada
• ${\displaystyle \ y[n]}$es la señal de salida.

Una forma más condensada de la ecuación en diferencias es:

${\displaystyle \ y[n]={\frac {1}{a_{0}}}\left(\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]-\sum _{j=1}^{Q}a_{j}y[n-j]\right)}$

que, cuando se reordena, se convierte en:

${\displaystyle \ \sum _{j=0}^{Q}a_{j}y[n-j]=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]}$

Para encontrar la función de transferencia del filtro, primero tomamos la transformada Z de cada lado de la ecuación anterior, donde usamos la propiedad de desplazamiento en el tiempo para obtener:

${\displaystyle \ \sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}Y(z)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}X(z)}$

Definimos la función de transferencia como:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&={\frac {Y(z)}{X(z)}}\\&={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{\sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}}}\end{aligned}}}$

Teniendo en cuenta que en la mayoría de los diseños de filtros IIR el coeficiente es 1, la función de transferencia del filtro IIR toma la forma más tradicional: ${\displaystyle \ a_{0}}$

${\displaystyle H(z)={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{1+\sum _{j=1}^{Q}a_{j}z^{-j}}}}$

Un ejemplo de un diagrama de bloques de un filtro IIR. El bloque es un retraso unitario. ${\displaystyle z^{-1}}$

Estabilidad

La función de transferencia permite juzgar si un sistema es estable de entradas y salidas limitadas (BIBO) . Para ser específico, el criterio de estabilidad BIBO requiere que la República de China del sistema incluya el círculo unitario. Por ejemplo, para un sistema causal, todos los polos de la función de transferencia deben tener un valor absoluto menor que uno. En otras palabras, todos los polos deben estar ubicados dentro de un círculo unitario en el plano. ${\displaystyle z}$

Los polos se definen como cuyos valores hacen que el denominador sea igual a 0: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle \ 0=\sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}}$

Claramente, si entonces los polos no están ubicados en el origen del plano. Esto contrasta con el filtro FIR , donde todos los polos están ubicados en el origen y, por lo tanto, siempre es estable. ${\displaystyle a_{j}\neq 0}$ ${\displaystyle z}$

A veces se prefieren los filtros IIR a los filtros FIR porque un filtro IIR puede lograr una atenuación de la región de transición mucho más nítida que un filtro FIR del mismo orden.

Ejemplo

Sea la función de transferencia de un filtro de tiempo discreto dada por: ${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {1}{1-az^{-1}}}}$

regido por el parámetro , un número real con . es estable y causal con un polo en . Se puede demostrar que la respuesta al impulso en el dominio del tiempo está dada por: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<|a|<1}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(n)=a^{n}u(n)}$

¿Dónde está la función de paso unitario ? Se puede ver que es distinto de cero para todos , por lo tanto, una respuesta de impulso que continúa infinitamente. ${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle h(n)}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Ejemplo de filtro IIR

Ventajas y desventajas

La principal ventaja que tienen los filtros IIR digitales sobre los filtros FIR es su eficiencia en la implementación, para cumplir con una especificación en términos de banda de paso, banda de parada, ondulación y/o atenuación. Este conjunto de especificaciones se puede lograr con un filtro IIR de orden inferior ( Q en las fórmulas anteriores) que el que se requeriría para un filtro FIR que cumpla los mismos requisitos. Si se implementa en un procesador de señales, esto implica un número correspondientemente menor de cálculos por paso de tiempo; el ahorro computacional es a menudo un factor bastante importante.

Por otro lado, los filtros FIR pueden ser más fáciles de diseñar, por ejemplo, para cumplir con un requisito de respuesta de frecuencia particular. Esto es especialmente cierto cuando el requisito no es uno de los casos habituales (paso alto, paso bajo, muesca, etc.) que han sido estudiados y optimizados para filtros analógicos. Además, los filtros FIR se pueden hacer fácilmente para que sean de fase lineal ( retraso de grupo constante frente a frecuencia), una propiedad que no se cumple fácilmente usando filtros IIR y luego solo como una aproximación (por ejemplo, con el filtro Bessel ). Otro problema relacionado con los filtros IIR digitales es la posibilidad de que se produzca un comportamiento de ciclo límite cuando están inactivos, debido al sistema de retroalimentación junto con la cuantificación.

Métodos de diseño

Invariancia de impulso

La invariancia de impulso es una técnica para diseñar filtros de respuesta de impulso infinito (IIR) de tiempo discreto a partir de filtros de tiempo continuo en los que se muestrea la respuesta de impulso del sistema de tiempo continuo para producir la respuesta de impulso del sistema de tiempo discreto. La invariancia de impulso es uno de los métodos comúnmente utilizados para cumplir con los dos requisitos básicos del mapeo del plano s al plano z. Esto se obtiene resolviendo la T(z) que tiene el mismo valor de salida en el mismo tiempo de muestreo que el filtro analógico, y solo es aplicable cuando las entradas están en pulso.
Tenga en cuenta que todas las entradas del filtro digital generado por este método son valores aproximados, excepto las entradas de pulsos que son muy precisas. Este es el método de diseño de filtros IIR más simple. Es el más preciso en bajas frecuencias, por lo que se suele utilizar en filtros de paso bajo.

Para la transformada de Laplace o la transformada z, la salida después de la transformación es solo la entrada multiplicada por la función de transformación correspondiente, T(s) o T(z). Y(s) e Y(z) son la salida convertida de la entrada X(s) y la entrada X(z), respectivamente.

${\displaystyle Y(s)=T(s)X(s)}$

${\displaystyle Y(z)=T(z)X(z)}$

Al aplicar la transformada de Laplace o la transformada z al impulso unitario, el resultado es 1. Por lo tanto, los resultados de salida después de la conversión son

${\displaystyle Y(s)=T(s)}$

${\displaystyle Y(z)=T(z)}$

Ahora la salida del filtro analógico es simplemente la transformada inversa de Laplace en el dominio del tiempo.

${\displaystyle y(t)=L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[T(s)]}$

Si usamos nT en lugar de t, podemos obtener la salida y(nT) derivada del pulso en el momento del muestreo. También se puede expresar como y(n)

${\displaystyle y(n)=y(nT)=y(t)|_{t=sT}}$

A esta señal de tiempo discreto se le puede aplicar la transformada z para obtener T(z)

${\displaystyle T(z)=Y(z)=Z[y(n)]}$

${\displaystyle T(z)=Z[y(n)]=Z[y(nT)]}$

${\displaystyle T(z)=Z\left\{L^{-1}[T(s)]_{t=nT}\right\}}$

La última ecuación describe matemáticamente que un filtro IIR digital debe realizar una transformación z en la señal analógica que Laplace ha muestreado y convertido a T(s), que generalmente se simplifica a

${\displaystyle T(z)=Z[T(s)]*T}$

Preste atención al hecho de que aparece un multiplicador T en la fórmula. Esto se debe a que incluso si la transformada de Laplace y la transformada z para el pulso unitario son 1, el pulso en sí no es necesariamente el mismo. Para señales analógicas, el pulso tiene un valor infinito pero el área es 1 en t=0, pero es 1 en el pulso de tiempo discreto t=0, por lo que se requiere la existencia de un multiplicador T.

Invariancia de paso

La invariancia de paso es un mejor método de diseño que la invariante de impulso. El filtro digital tiene varios segmentos de entrada con diferentes constantes al muestrear, que se compone de pasos discretos. El filtro IIR invariante en pasos es menos preciso que la misma señal de paso de entrada al ADC. Sin embargo, es una mejor aproximación para cualquier entrada que la invariante de impulso.
El invariante escalonado resuelve el problema de los mismos valores muestrales cuando T(z) y T(s) son entradas escalonadas. La entrada al filtro digital es u(n) y la entrada al filtro analógico es u(t). Aplique la transformada z y la transformada de Laplace en estas dos entradas para obtener la señal de salida convertida.
Realizar transformada z en entrada escalonada Salida convertida después de transformada z Realizar transformada de Laplace en entrada escalonada Salida convertida después de transformada de Laplace La salida del filtro analógico es y(t), que es la transformada de Laplace inversa de Y(s). Si se muestrea cada T segundos, es y(n), que es la conversión inversa de Y(z). Estas señales se utilizan para resolver el filtro digital y el filtro analógico y tienen la misma salida en el momento del muestreo. La siguiente ecuación señala la solución de T(z), que es la fórmula aproximada para el filtro analógico. ${\displaystyle Z[u(n)]={\dfrac {z}{z-1}}}$
${\displaystyle Y(z)=T(z)U(z)=T(z){\dfrac {z}{z-1}}}$
${\displaystyle L[u(t)]={\dfrac {1}{s}}}$
${\displaystyle Y(s)=T(s)U(s)={\dfrac {T(s)}{s}}}$

${\displaystyle T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Y(z)}$

${\displaystyle T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[y(n)]}$

${\displaystyle T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[Y(s)]}$

${\displaystyle T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[{\dfrac {T(s)}{s}}]}$

Transformada bilineal

La transformada bilineal es un caso especial de mapeo conforme, a menudo utilizado para convertir una función de transferencia de un filtro lineal invariante en el tiempo (LTI) en el dominio del tiempo continuo (a menudo llamado filtro analógico) en una función de transferencia de un filtro lineal . , filtro invariante de desplazamiento en el dominio del tiempo discreto. La transformada bilineal es una aproximación de primer orden de la función de logaritmo natural que es un mapeo exacto del plano z al plano s . Cuando la transformada de Laplace se realiza en una señal de tiempo discreto (con cada elemento de la secuencia de tiempo discreto adjunto a un impulso unitario correspondientemente retardado), el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia de tiempo discreto con la sustitución de ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}$

¿Dónde está el tamaño del paso de integración numérica de la regla trapezoidal utilizada en la derivación de la transformada bilineal? o, en otras palabras, el período de muestreo. La aproximación bilineal anterior se puede resolver o se puede realizar una aproximación similar . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)}$

La inversa de este mapeo (y su aproximación bilineal de primer orden) es

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}$

Esta relación se utiliza en la función de transferencia de Laplace de cualquier filtro analógico o en el filtro digital de respuesta al impulso infinito (IIR) T(z) del filtro analógico.
La transformada bilineal esencialmente utiliza esta aproximación de primer orden y la sustituye en la función de transferencia de tiempo continuo, ${\displaystyle H_{a}(s)}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

Eso es

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }$

que se utiliza para calcular el filtro digital IIR, a partir de la función de transferencia de Laplace del filtro analógico.

Ver también

• Modelo autorregresivo
• filtro electrónico
• Respuesta de impulso finito
• Relación de recurrencia , formalización matemática
• Análisis del sistema

enlaces externos

• El quinto módulo del curso DSP de procesamiento de señales BORES - Introducción a DSP] ​​en ​​Wayback Machine (archivado el 2 de julio de 2016)
• Applet de diseño de filtro digital IIR en Wayback Machine (archivado el 13 de febrero de 2010)
• Herramienta de diseño de filtro digital IIR: produce coeficientes, gráficos, polos, ceros y código C
• Herramienta de diseño IIR en línea EngineerJS: no requiere Java