En matemáticas y lógica , una prueba directa es una forma de mostrar la verdad o falsedad de una afirmación dada mediante una combinación sencilla de hechos establecidos, generalmente axiomas , lemas existentes y teoremas , sin hacer suposiciones adicionales. [1] Para probar directamente una afirmación condicional de la forma "Si p , entonces q ", basta con considerar las situaciones en las que la afirmación p es verdadera. La deducción lógica se emplea para razonar a partir de suposiciones hasta llegar a una conclusión. El tipo de lógica empleada es casi invariablemente la lógica de primer orden , que emplea los cuantificadores para todo y existe . Las reglas de prueba comunes que se utilizan son el modus ponens y la instanciación universal . [2]
Por el contrario, una prueba indirecta puede comenzar con ciertos escenarios hipotéticos y luego proceder a eliminar las incertidumbres en cada uno de estos escenarios hasta que se fuerza una conclusión ineludible. Por ejemplo, en lugar de mostrar directamente p ⇒ q , se prueba su contrapositivo ~ q ⇒ ~ p (se supone ~ q y se muestra que conduce a ~ p ). Dado que p ⇒ q y ~ q ⇒ ~ p son equivalentes por el principio de transposición (véase la ley del medio excluido ), p ⇒ q se prueba indirectamente. Los métodos de prueba que no son directos incluyen la prueba por contradicción , incluida la prueba por descenso infinito . Los métodos de prueba directa incluyen la prueba por agotamiento y la prueba por inducción .
Una prueba directa es la forma más simple de prueba que existe. La palabra "prueba" proviene de la palabra latina probare, [3] que significa "probar". El uso más temprano de las pruebas fue prominente en los procedimientos legales. Se decía que una persona con autoridad, como un noble, tenía probidad, lo que significa que la evidencia era por su autoridad relativa, que superaba el testimonio empírico. En tiempos pasados, las matemáticas y la prueba a menudo se entrelazaban con cuestiones prácticas, con poblaciones como los egipcios y los griegos mostrando interés en la topografía de la tierra. [4] Esto llevó a una curiosidad natural con respecto a la geometría y la trigonometría , particularmente triángulos y rectángulos . Estas eran las formas que proporcionaban la mayoría de las preguntas en términos de cosas prácticas, por lo que los primeros conceptos geométricos se centraron en estas formas, por ejemplo, los edificios y las pirámides usaban estas formas en abundancia. Otra forma que es crucial en la historia de la prueba directa es el círculo , que fue crucial para el diseño de arenas y tanques de agua. Esto significó que la geometría antigua (y la geometría euclidiana ) discutieron círculos.
La forma más temprana de las matemáticas fue la fenomenológica . Por ejemplo, si alguien podía dibujar una imagen razonable o dar una descripción convincente, eso cumplía todos los criterios para que algo pudiera describirse como un “hecho” matemático. En ocasiones, se daban argumentos analógicos o incluso “invocando a los dioses”. La idea de que las afirmaciones matemáticas podían demostrarse aún no se había desarrollado, por lo que estas fueron las primeras formas del concepto de prueba, a pesar de no ser una prueba real en absoluto.
La demostración tal como la conocemos surgió a partir de una pregunta específica: “¿qué es una demostración?”. Tradicionalmente, una demostración es una plataforma que convence a alguien más allá de toda duda razonable de que una afirmación es matemáticamente verdadera. Naturalmente, uno supondría que la mejor manera de demostrar la verdad de algo como esto (B) sería hacer una comparación con algo antiguo (A) que ya se ha demostrado como verdadero. Así nació el concepto de derivar un nuevo resultado de un resultado antiguo.
Consideremos dos números enteros pares x e y . Como son pares, se pueden escribir como
respectivamente para los números enteros a y b . Entonces la suma se puede escribir como
De ello se deduce que x + y tiene como factor 2 y por lo tanto es par, por lo que la suma de dos números enteros pares es par.
Observa que tenemos cuatro triángulos rectángulos y un cuadrado empaquetados dentro de un cuadrado más grande. Cada uno de los triángulos tiene lados a y b e hipotenusa c . El área de un cuadrado se define como el cuadrado de la longitud de sus lados. En este caso, el área del cuadrado grande es (a + b) 2 . Sin embargo, el área del cuadrado grande también se puede expresar como la suma de las áreas de sus componentes. En este caso, esa sería la suma de las áreas de los cuatro triángulos y el cuadrado pequeño en el medio. [5]
Sabemos que el área del cuadrado grande es igual a (a + b) 2 .
El área de un triángulo rectángulo es igual a
Sabemos que el área del cuadrado grande también es igual a la suma de las áreas de los triángulos, más el área del cuadrado pequeño, y por lo tanto el área del cuadrado grande es igual a
Estos son iguales, y por lo tanto
Después de simplificarlo un poco,
Quitando el 2ab que aparece en ambos lados se obtiene
lo que demuestra el teorema de Pitágoras. ∎
Por definición, si n es un entero impar, se puede expresar como
para algún entero k . Por lo tanto
Como 2 k 2 + 2 k es un número entero, n 2 también es impar. ∎
