Media móvil autorregresiva fraccionariamente integrada

En estadística , los modelos autorregresivos de media móvil integrada fraccionalmente son modelos de series temporales que generalizan los modelos ARIMA ( media móvil autorregresiva integrada ) al permitir valores no enteros del parámetro de diferenciación . Estos modelos son útiles para modelar series temporales con memoria larga , es decir, en las que las desviaciones del decaimiento medio de largo plazo decaen más lentamente que un decaimiento exponencial. Las siglas "ARFIMA" o "FARIMA" se utilizan a menudo, aunque también es convencional simplemente extender la notación "ARIMA( p , d , q )" para los modelos, permitiendo simplemente que el orden de diferenciación, d , tome valores fraccionarios. . La diferenciación fraccional y el modelo ARFIMA fueron introducidos a principios de la década de 1980 por Clive Granger , Roselyne Joyeux y Jonathan Hosking. ^{[1] [2] [3]}

Lo esencial

En un modelo ARIMA , la parte integrada del modelo incluye el operador diferenciador (1 − B ) (donde B es el operador de retroceso ) elevado a una potencia entera. Por ejemplo,

${\displaystyle (1-B)^{2}=1-2B+B^{2}\,,}$

dónde

${\displaystyle B^{2}X_{t}=X_{t-2}\,,}$

de modo que

${\displaystyle (1-B)^{2}X_{t}=X_{t}-2X_{t-1}+X_{t-2}.}$

En un modelo fraccionario , se permite que la potencia sea fraccionaria, y el significado del término se identifica mediante la siguiente expansión formal de series binomiales

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-B)^{d}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{d \choose k}\;(-B)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {\prod _{a=0}^{k-1}(d-a)\ (-B)^{k}}{k!}}\\&=1-dB+{\frac {d(d-1)}{2!}}B^{2}-\cdots \,.\end{aligned}}}$

ARFIMA(0, d , 0)

El modelo autorregresivo fraccionariamente integrado más simple, ARFIMA(0, d , 0), es, en notación estándar,

${\displaystyle (1-B)^{d}X_{t}=\varepsilon _{t},}$

donde esto tiene la interpretación

${\displaystyle X_{t}-dX_{t-1}+{\frac {d(d-1)}{2!}}X_{t-2}-\cdots =\varepsilon _{t}.}$

ARFIMA(0, d , 0) es similar al ruido gaussiano fraccionario (fGn): con d = H − 1 ⁄ 2 , sus covarianzas tienen la misma decadencia de ley de potencia. La ventaja de fGn sobre ARFIMA(0, d ,0) es que muchas relaciones asintóticas se mantienen para muestras finitas. ^[4] La ventaja de ARFIMA(0, d ,0) sobre fGn es que tiene una densidad espectral especialmente simple :

$${\displaystyle f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left(2\sin \left({\frac {\lambda }{2}}\right)\right)^{-2d}}$$

—y es un caso particular de ARFIMA( p , d , q ), que es una familia de modelos versátil. ^[4]

Forma general: ARFIMA( p , d , q )

Un modelo ARFIMA comparte la misma forma de representación que el proceso ARIMA ( p , d , q ), específicamente:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\right)\left(1-B\right)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}B^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.}$

A diferencia del proceso ARIMA ordinario, el "parámetro de diferencia", d , puede tomar valores no enteros.

Mejora de los modelos ARMA normales

La mejora de los modelos ARMA normales es la siguiente:

1. Tome la serie de datos original y fíltrela con un filtro de paso alto con una diferenciación fraccionaria suficiente para que el resultado sea estacionario, y recuerde el orden d de esta diferencia fraccionaria, d generalmente entre 0 y 1... posiblemente hasta 2+ en casos más extremos. La diferencia fraccionaria de 2 es la segunda derivada o la segunda diferencia.
   • nota: la aplicación de diferenciación fraccionaria cambia las unidades del problema. Si comenzamos con Precios y luego tomamos diferencias fraccionarias, ya no estamos en unidades de Precio.
   • determinar el orden de diferenciación para hacer que una serie de tiempo sea estacionaria puede ser un proceso exploratorio iterativo.
2. Calcule términos ARMA simples mediante los métodos habituales para ajustarlos a este conjunto de datos temporales estacionarios que está en unidades sucedáneas.
3. Pronostique a partir de datos existentes (pronóstico estático) o "adelante" (pronóstico dinámico, avance en el tiempo) con estos términos ARMA.
4. Aplique la operación de filtro inverso ( integración fraccionaria al mismo nivel d que en el paso 1) a la serie pronosticada, para devolver el pronóstico a las unidades del problema original (por ejemplo, convertir las unidades sucedáneas nuevamente en Precio).
   • La diferenciación fraccionaria y la integración fraccionaria son la misma operación con valores opuestos de d: por ejemplo, la diferencia fraccionaria de una serie de tiempo hasta d = 0,5 se puede invertir (integrar) aplicando la misma operación de diferenciación fraccionaria (nuevamente) pero con la fracción d = -0,5 . Consulte la función fractura de GRETL.

El objetivo del prefiltrado es reducir las bajas frecuencias en el conjunto de datos que pueden causar no estacionariedades en los datos, que los modelos ARMA no estacionarios no pueden manejar bien (o en absoluto)... pero solo lo suficiente para que las reducciones se puede recuperar después de construir el modelo.

La diferenciación fraccionaria y la integración fraccionaria de operación inversa (ambas direcciones se utilizan en el proceso de modelado y pronóstico de ARFIMA) pueden considerarse operaciones de filtrado y "desfiltrado" digitales. Como tal, es útil estudiar la respuesta de frecuencia de dichos filtros para saber qué frecuencias se mantienen y cuáles se atenúan o descartan. ^[5]

Tenga en cuenta que cualquier filtrado que sustituya la diferenciación e integración fraccionarias en este modelo AR(FI)MA debería ser igualmente invertible como la diferenciación y la integración (suma) para evitar la pérdida de información. Por ejemplo, un filtro de paso alto que descarta por completo muchas frecuencias bajas (a diferencia del filtro de paso alto de diferenciación fraccionaria que solo descarta por completo la frecuencia 0 [comportamiento constante en la señal de entrada] y simplemente atenúa otras frecuencias bajas, consulte el PDF anterior) puede no funcionar tan bien. porque después de ajustar los términos ARMA a la serie filtrada, la operación inversa para devolver el pronóstico ARMA a sus unidades originales no lograría volver a impulsar esas bajas frecuencias atenuadas, ya que las bajas frecuencias se cortaron a cero.

Dichos estudios de respuesta de frecuencia pueden sugerir otras familias similares de filtros (reversibles) que podrían ser reemplazos útiles para la parte "FI" del flujo de modelado ARFIMA, como el conocido filtro Butterworth de paso alto de distorsión mínima y fácil de implementar. o similar. ^[6]

Ver también

• Cálculo fraccionario : diferenciación fraccionaria
• Differintegral : integración y diferenciación fraccionada
• Movimiento browniano fraccional : un proceso estocástico de tiempo continuo con una base similar
• Dependencia a largo plazo

Referencias

1. Granger, CWJ; Joyeux, Roselyne (1980). "Una introducción a los modelos de series temporales de memoria larga y la diferenciación fraccionaria". Revista de análisis de series temporales . 1 (1): 15–29. doi :10.1111/j.1467-9892.1980.tb00297.x. ISSN  0143-9782.
2. Hosking, JRM (1981). "Diferenciación fraccionaria". Biometrika . 68 (1): 165-176. doi :10.2307/2335817. ISSN  0006-3444.
3. Robinson, Peter M., ed. (2011). Serie temporal con larga memoria . Textos avanzados en econometría (Repr ed.). Oxford: Universidad de Oxford. Prensa. ISBN 978-0-19-925730-0.
4. Taqqu, MS; Teverovsky, V.; Willinger, W. (1995). "Estimadores de la dependencia a largo plazo: un estudio empírico". Fractales . 3 (4): 785–798. arXiv : 0901.0762 . doi :10.1142/S0218348X95000692.
5. "fracdiff/freqrespfracdiff.pdf en master · diffent/fracdiff" (PDF) . GitHub . Consultado el 30 de octubre de 2023 .
6. Fenga, Livio (2017). Rojas, Ignacio; Pomares, Héctor; Valenzuela, Olga (eds.). "Predicción de series temporales ruidosas de ARIMA a través del filtro digital Butterworth". Avances en análisis y previsión de series temporales . Contribuciones a la Estadística. Cham: Springer International Publishing: 173–196. doi :10.1007/978-3-319-55789-2_13. ISBN 978-3-319-55789-2.