Operador de retardo

Operador para compensar elementos de series temporales

En el análisis de series temporales , el operador de retardo (L) o el operador de desplazamiento hacia atrás (B) actúa sobre un elemento de una serie temporal para producir el elemento anterior. Por ejemplo, dada una serie temporal

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

entonces

${\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}$a pesar de ${\displaystyle t>1}$

o de manera similar en términos del operador de retroceso B : para todo . De manera equivalente, esta definición se puede representar como ${\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}$ ${\displaystyle t>1}$

${\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}$a pesar de ${\displaystyle t\geq 1}$

El operador de rezago (así como el operador de retroceso) se puede elevar a potencias enteras arbitrarias de modo que

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$

y

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{t-k}.}$

Polinomios de retardo

Se pueden utilizar polinomios del operador de retardo, y esta es una notación común para los modelos ARMA (promedio móvil autorregresivo). Por ejemplo,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}}$

especifica un modelo AR( p ).

Un polinomio de operadores de rezago se denomina polinomio de rezago , de modo que, por ejemplo, el modelo ARMA se puede especificar de manera concisa como

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

donde y representan respectivamente los polinomios de rezago ${\displaystyle \varphi (L)}$ ${\displaystyle \theta (L)}$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}$

y

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Los polinomios de operadores de retardo siguen reglas de multiplicación y división similares a las de los números y polinomios de variables. Por ejemplo,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

significa lo mismo que

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

Al igual que con los polinomios de variables, un polinomio en el operador de retardo se puede dividir por otro utilizando la división larga de polinomios . En general, dividir un polinomio de este tipo por otro, cuando cada uno tiene un orden finito (el exponente más alto), da como resultado un polinomio de orden infinito.

Un operador aniquilador , denotado , elimina las entradas del polinomio con potencia negativa (valores futuros). ${\displaystyle [\ ]_{+}}$

Nótese que denota la suma de coeficientes: ${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

Operador de diferencia

En el análisis de series de tiempo, el operador de primera diferencia: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}$

De manera similar, el segundo operador de diferencia funciona de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

El enfoque anterior se generaliza al operador de diferencia i -ésimo ${\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

Expectativa condicional

En los procesos estocásticos es habitual preocuparse por el valor esperado de una variable dado un conjunto de información previa. Sea toda la información que es de conocimiento común en el momento t (esto suele estar subíndice debajo del operador de expectativa); entonces, el valor esperado de la realización de X , j pasos de tiempo en el futuro, se puede escribir de forma equivalente como: ${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

Con estas expectativas condicionales dependientes del tiempo, existe la necesidad de distinguir entre el operador de retroceso ( B ) que sólo ajusta la fecha de la variable pronosticada y el operador de rezago ( L ) que ajusta igualmente la fecha de la variable pronosticada y el conjunto de información:

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].}$

Véase también

• Modelo autorregresivo
• Modelo de media móvil autorregresiva
• Modelo de media móvil
• Operador de turno
• Transformada Z

Referencias

• Hamilton, James Douglas (1994). Análisis de series temporales . Princeton University Press. ISBN 0-691-04289-6.
• Verbeek, Marno (2008). Una guía para la econometría moderna . John Wiley and Sons. ISBN 0-470-51769-7.
• Weisstein, Eric. "Wolfram MathWorld". WolframMathworld: operador de diferencia . Wolfram Research . Consultado el 10 de noviembre de 2017 .
• Box, George EP; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Ljung, Greta M. (2016). Análisis de series temporales: pronóstico y control (5.ª ed.). Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1.