Teoría de la plasticidad del flujo

Deformación plástica de una lámina metálica delgada.

La plasticidad de flujo es una teoría de mecánica de sólidos que se utiliza para describir el comportamiento plástico de los materiales. ^[1] Las teorías de plasticidad de flujo se caracterizan por el supuesto de que existe una regla de flujo que se puede utilizar para determinar la cantidad de deformación plástica en el material.

En las teorías de plasticidad de flujo se supone que la deformación total de un cuerpo se puede descomponer de forma aditiva (o multiplicativa) en una parte elástica y una parte plástica. La parte elástica de la deformación se puede calcular a partir de un modelo constitutivo lineal elástico o hiperelástico . Sin embargo, la determinación de la parte plástica de la deformación requiere una regla de flujo y un modelo de endurecimiento.

Teoría de las pequeñas deformaciones

Curva de esfuerzo-deformación que muestra el comportamiento plástico típico de los materiales en compresión uniaxial. La deformación se puede descomponer en una deformación elástica recuperable ( ) y una deformación inelástica ( ). La tensión en el límite elástico inicial es . Para materiales endurecidos por deformación (como se muestra en la figura), la tensión de fluencia aumenta con el aumento de la deformación plástica hasta un valor de . ${\displaystyle \varepsilon _{e}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Se desarrollan teorías típicas de plasticidad de flujo para carga unidireccional (para plasticidad perfecta de pequeña deformación o plasticidad de endurecimiento) sobre la base de los siguientes requisitos:

1. El material tiene un rango elástico lineal.
2. El material tiene un límite elástico definido como la tensión en la que se produce por primera vez la deformación plástica, es decir, . ${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}}$
3. Más allá del límite elástico, el estado de tensión permanece siempre en la superficie de fluencia, es decir, . ${\displaystyle \sigma =\sigma _{y}}$
4. La carga se define como la situación en la que los incrementos de tensión son mayores que cero, es decir, . Si la carga lleva el estado de tensión al dominio plástico, entonces el incremento de la deformación plástica siempre es mayor que cero, es decir, . ${\displaystyle d\sigma >0}$ ${\displaystyle d\varepsilon _{p}>0}$
5. La descarga se define como la situación en la que los incrementos de tensión son menores que cero, es decir, el material es elástico durante la descarga y no se acumula ninguna deformación plástica adicional. ${\displaystyle d\sigma <0}$
6. La deformación total es una combinación lineal de las partes elástica y plástica, es decir, la parte plástica no se puede recuperar mientras que la parte elástica es totalmente recuperable. ${\displaystyle d\varepsilon =d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p}}$
7. El trabajo realizado en un ciclo de carga y descarga es positivo o cero, es decir, . Esto también se denomina postulado de estabilidad de Drucker y elimina la posibilidad de un comportamiento de ablandamiento por deformación. ${\displaystyle d\sigma \,d\varepsilon =d\sigma \,(d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p})\geq 0}$

Los requisitos anteriores se pueden expresar en estados tridimensionales de tensión y carga multidireccional de la siguiente manera.

• Elasticidad ( Ley de Hooke ). En el régimen elástico lineal, las tensiones y deformaciones en el material están relacionadas por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {D}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

donde la matriz de rigidez es constante. ${\displaystyle {\mathsf {D}}}$

• Límite elástico ( Superficie de fluencia ). El límite elástico se define por una superficie de fluencia que no depende de la deformación plástica y tiene la forma

${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }})=0\,.}$

• Más allá del límite elástico . En el caso de los materiales endurecidos por deformación, la superficie de fluencia evoluciona con el aumento de la deformación plástica y el límite elástico cambia. La superficie de fluencia en evolución tiene la forma

${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0\,.}$

• Carga . Para estados generales de tensión, la carga plástica se indica si el estado de tensión está en la superficie de fluencia y el incremento de tensión se dirige hacia el exterior de la superficie de fluencia; esto ocurre si el producto interno del incremento de tensión y la normal externa de la superficie de fluencia es positivo, es decir,

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}\geq 0\,.}$

La ecuación anterior, cuando es igual a cero, indica un estado de carga neutra donde el estado de tensión se mueve a lo largo de la superficie de rendimiento.

• Descarga : Se presenta un argumento similar para la descarga , en cuya situación el material está en el dominio elástico y ${\displaystyle f<0}$

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}<0\,.}$

• Descomposición de la deformación : La descomposición aditiva de la deformación en partes elásticas y plásticas se puede escribir como

${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}=d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}+d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\,.}$

• Postulado de estabilidad : El postulado de estabilidad se expresa como

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}\geq 0\,.}$

Regla de flujo

En la plasticidad de los metales, la suposición de que el incremento de la deformación plástica y el tensor de tensión desviatorio tienen las mismas direcciones principales se resume en una relación llamada regla de flujo. Las teorías de plasticidad de las rocas también utilizan un concepto similar, excepto que el requisito de dependencia de la presión de la superficie de fluencia requiere una relajación de la suposición anterior. En cambio, se supone típicamente que el incremento de la deformación plástica y la normal a la superficie de fluencia dependiente de la presión tienen la misma dirección, es decir,

${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=d\lambda \,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}}$

donde es un parámetro de endurecimiento. Esta forma de la regla de flujo se denomina regla de flujo asociada y el supuesto de codireccionalidad se denomina condición de normalidad. La función también se denomina potencial plástico. ${\displaystyle d\lambda >0}$ ${\displaystyle f}$

La regla de flujo anterior se justifica fácilmente para deformaciones perfectamente plásticas para las cuales cuando , es decir, la superficie de fluencia permanece constante bajo una deformación plástica creciente. Esto implica que el incremento de la deformación elástica también es cero, , debido a la ley de Hooke. Por lo tanto, ${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}=0}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}>0}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}=0\quad {\text{and}}\quad d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.}$

Por lo tanto, tanto la normal a la superficie de fluencia como el tensor de deformación plástica son perpendiculares al tensor de tensión y deben tener la misma dirección.

En el caso de un material que se endurece por deformación , la superficie de fluencia puede expandirse con un aumento de la tensión. Suponemos el segundo postulado de estabilidad de Drucker, que establece que para un ciclo de tensión infinitesimal, este trabajo plástico es positivo, es decir,

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\geq 0\,.}$

La cantidad anterior es igual a cero para ciclos puramente elásticos. El examen del trabajo realizado durante un ciclo de carga-descarga plástica puede utilizarse para justificar la validez de la regla de flujo asociada. ^[2]

Condición de consistencia

La condición de consistencia de Prager es necesaria para cerrar el conjunto de ecuaciones constitutivas y eliminar el parámetro desconocido del sistema de ecuaciones. La condición de consistencia establece que en el rendimiento porque , y por lo tanto ${\displaystyle d\lambda }$ ${\displaystyle df=0}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0}$

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}:d{\boldsymbol {\sigma }}+{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}}}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.}$

Teoría de las grandes deformaciones

Las teorías de plasticidad de flujo de gran deformación generalmente comienzan con uno de los siguientes supuestos:

• El tensor de velocidad de deformación se puede descomponer de forma aditiva en una parte elástica y una parte plástica, o
• El tensor de gradiente de deformación se puede descomponer multiplicativamente en una parte elástica y una parte plástica.

El primer supuesto se utilizó ampliamente para simulaciones numéricas de metales, pero gradualmente fue reemplazado por la teoría multiplicativa.

Cinemática de la plasticidad multiplicativa

El concepto de descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en partes elásticas y plásticas fue propuesto por primera vez de forma independiente por BA Bilby , ^[3] E. Kröner, ^[4] en el contexto de la plasticidad cristalina y extendido a la plasticidad continua por Erasmus Lee. ^[5] La descomposición supone que el gradiente de deformación total ( F ) se puede descomponer como:

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\boldsymbol {F}}^{p}}$

donde F ^e es la parte elástica (recuperable) y F ^p es la parte plástica (irrecuperable) de la deformación. El gradiente de velocidad espacial está dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {l}}&={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}=\left({\dot {\boldsymbol {F}}}^{e}\cdot {\boldsymbol {F}}^{p}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\right)\cdot \left[({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\right]\\&={\dot {\boldsymbol {F}}}^{e}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot [{\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}]\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\,.\end{aligned}}}$

donde un punto superpuesto indica una derivada temporal. Podemos escribir lo anterior como

${\displaystyle {\boldsymbol {l}}={\boldsymbol {l}}^{e}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\boldsymbol {L}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\,.}$

La cantidad

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}^{p}:={\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}}$

Se denomina gradiente de velocidad plástica y se define en una configuración intermedia ( incompatible ) libre de tensiones. La parte simétrica ( D ^p ) de L ^p se denomina tasa plástica de deformación , mientras que la parte antisimétrica ( W ^p ) se denomina espín plástico :

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{p}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {L}}^{p}+({\boldsymbol {L}}^{p})^{T}]~,~~{\boldsymbol {W}}^{p}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {L}}^{p}-({\boldsymbol {L}}^{p})^{T}]\,.}$

Normalmente, el espín plástico se ignora en la mayoría de las descripciones de plasticidad finita.

Régimen elástico

El comportamiento elástico en el régimen de deformación finita se describe típicamente mediante un modelo de material hiperelástico . La deformación elástica se puede medir utilizando un tensor de deformación elástica de Cauchy-Green recto definido como:

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{e}:=({\boldsymbol {F}}^{e})^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{e}\,.}$

El tensor de deformación logarítmico o de Hencky puede entonces definirse como

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{e}:={\tfrac {1}{2}}\ln {\boldsymbol {C}}^{e}\,.}$

El tensor de tensión de Mandel simetrizado es una medida de tensión conveniente para la plasticidad finita y se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}:={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {C}}^{e}\cdot {\boldsymbol {S}}+{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {C}}^{e})}$

donde S es la segunda tensión de Piola-Kirchhoff . Un posible modelo hiperelástico en términos de la deformación logarítmica es ^[6]

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}^{e}}}=J\,{\frac {dU}{dJ}}+2\mu \,{\text{dev}}({\boldsymbol {E}}^{e})}$

donde W es una función de densidad de energía de deformación, J = det( F ), μ es un módulo y "dev" indica la parte desviadora de un tensor.

Regla de flujo

La aplicación de la desigualdad de Clausius-Duhem conduce, en ausencia de un espín plástico, a la regla de flujo de deformación finita

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{p}={\dot {\lambda }}\,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {M}}}}\,.}$

Condiciones de carga y descarga

Se puede demostrar que las condiciones de carga y descarga son equivalentes a las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

${\displaystyle {\dot {\lambda }}\geq 0~,~~f\leq 0~,~~{\dot {\lambda }}\,f=0\,.}$

Condición de consistencia

La condición de consistencia es idéntica a la del caso de pequeña deformación,

${\displaystyle {\dot {\lambda }}\,{\dot {f}}=0\,.}$

Referencias

1. Lubliner, Jacob (2008), Teoría de la plasticidad , Courier Dover Publications.
2. Anandarajah (2010).
3. Bilby, BA; Bullough, R.; Smith, E. (1955), "Distribuciones continuas de dislocaciones: una nueva aplicación de los métodos de geometría no riemanniana", Actas de la Royal Society A , 231 (1185): 263–273, Bibcode :1955RSPSA.231..263B, doi :10.1098/rspa.1955.0171
4. Kröner, E. (1958), "Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen", Erg. Angélica. Matemáticas. , 5 : 1–179
5. Lee, EH (1969), "Deformación elastoplástica en deformaciones finitas" (PDF) , Journal of Applied Mechanics , 36 (1): 1–6, Bibcode :1969JAM....36....1L, doi :10.1115/1.3564580^{[ enlace muerto permanente ]}
6. Anand, L. (1979), "Sobre la función de energía de deformación aproximada de H. Hencky para deformaciones moderadas", Journal of Applied Mechanics , 46 (1): 78–82, Bibcode :1979JAM....46...78A, doi :10.1115/1.3424532

Véase también

• Plasticidad (física)