Estría de placa delgada

Las splines de placa delgada ( TPS ) son una técnica basada en splines para la interpolación y el suavizado de datos . "Un spline es una función definida por polinomios por partes". ^{[1] [2]} Duchon les presentó el diseño geométrico . ^[3] Son un caso especial importante de un spline poliarmónico . Robust Point Matching (RPM) es una extensión común y se conoce brevemente como algoritmo TPS-RPM. ^[4]

Analogía física

El nombre spline de placa delgada se refiere a una analogía física que implica la flexión de una placa o lámina delgada de metal. Así como el metal tiene rigidez, el ajuste TPS también resiste la flexión, lo que implica una penalización en la suavidad de la superficie ajustada. En el entorno físico, la desviación es en la dirección ortogonal al plano. Para aplicar esta idea al problema de la transformación de coordenadas, se interpreta el levantamiento de la placa como un desplazamiento de las coordenadas o dentro del plano. En casos 2D, dado un conjunto de puntos de control correspondientes (nudos), la deformación del TPS se describe mediante parámetros que incluyen 6 parámetros de movimiento afín global y coeficientes para las correspondencias de los puntos de control. Estos parámetros se calculan resolviendo un sistema lineal; en otras palabras, TPS tiene una solución de forma cerrada . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2(K+3)}$ ${\displaystyle 2K}$

Medida de suavidad

El TPS surge de la consideración de la integral del cuadrado de la segunda derivada; esto forma su medida de suavidad. En el caso de que sea bidimensional, para la interpolación, el TPS ajusta una función de mapeo entre conjuntos de puntos correspondientes y eso minimiza la siguiente función de energía: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \{y_{i}\}}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

${\displaystyle E_{\mathrm {tps} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\|y_{i}-f(x_{i})\|^{2}}$

La variante de suavizado, correspondientemente, utiliza un parámetro de sintonización para controlar la rigidez de la deformación, equilibrando el criterio antes mencionado con la medida de bondad de ajuste, minimizando así: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle E_{\mathrm {tps} ,\mathrm {smooth} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\|y_{i}-f(x_{i})\|^{2}+\lambda \iint \left[\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}\right]{\textrm {d}}x_{1}\,{\textrm {d}}x_{2}}$

Para este problema variacional, se puede demostrar que existe un minimizador único . ^[5] La discretización de elementos finitos de este problema variacional, el método de mapas elásticos , se utiliza para la minería de datos y la reducción de dimensionalidad no lineal . En palabras simples, "el primer término se define como el término de medición del error y el segundo término de regularización es una penalización en la suavidad de ". ^{[1] [2]} En un caso general, es necesario para que el mapeo sea único. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Funcion de base radial

La placa delgada tiene una representación natural en términos de funciones de base radial. Dado un conjunto de puntos de control , una función de base radial define un mapeo espacial que mapea cualquier ubicación en el espacio a una nueva ubicación , representada por ${\displaystyle \{c_{i},i=1,2,\ldots ,K\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{K}w_{i}\varphi (\left\|x-c_{i}\right\|)}$

donde denota la norma euclidiana habitual y es un conjunto de coeficientes de mapeo. El TPS corresponde al núcleo de base radial . ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$ ${\displaystyle \{w_{i}\}}$ ${\displaystyle \varphi (r)=r^{2}\log r}$

Ranura

Supongamos que los puntos están en 2 dimensiones ( ). Se pueden utilizar coordenadas homogéneas para el conjunto de puntos donde un punto se representa como un vector . El minimizador único está parametrizado por el cual consta de dos matrices y ( ). ${\displaystyle D=2}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle (1,y_{ix},y_{iy})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha =\{d,c\}}$

${\displaystyle f_{tps}(z,\alpha )=f_{tps}(z,d,c)=z\cdot d+\phi (z)\cdot c=z\cdot d+\sum _{i=1}^{K}\phi _{i}(z)c_{i}}$

donde d es una matriz que representa la transformación afín (por lo tanto, es un vector) y c es una matriz de coeficientes de alabeo que representa la deformación no afín. La función del núcleo es un vector para cada punto , donde cada entrada . Tenga en cuenta que para TPS, los puntos de control se eligen para que sean los mismos que el conjunto de puntos que se van a deformar , por lo que ya usamos en lugar de los puntos de control. ${\displaystyle (D+1)\times (D+1)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 1\times (D+1)}$ ${\displaystyle K\times (D+1)}$ ${\displaystyle \phi (z)}$ ${\displaystyle 1\times K}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi _{i}(z)=\|z-x_{i}\|^{2}\log \|z-x_{i}\|}$ ${\displaystyle \{c_{i}\}}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

Si se sustituye la solución por , queda: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E_{tps}}$

${\displaystyle E_{tps}(d,c)=\|Y-Xd-\Phi c\|^{2}+\lambda c^{T}\Phi c}$

donde y son solo versiones concatenadas de las coordenadas del punto y , y es una matriz formada a partir de . Cada fila de cada matriz recién formada proviene de uno de los vectores originales. La matriz representa el núcleo TPS. En términos generales, el núcleo TPS contiene información sobre las relaciones estructurales internas del conjunto de puntos. Cuando se combina con los coeficientes de alabeo , se genera un alabeo no rígido. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (K\times K)}$ ${\displaystyle \phi (\|x_{i}-x_{j}\|)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle c}$

Una buena propiedad del TPS es que siempre se puede descomponer en un componente afín global y un componente no afín local. En consecuencia, el término de suavidad del TPS depende únicamente de los componentes no afines. Esta es una propiedad deseable, especialmente en comparación con otros splines, ya que los parámetros de pose globales incluidos en la transformación afín no se ven penalizados.

Aplicaciones

TPS se ha utilizado ampliamente como modelo de transformación no rígido en la alineación de imágenes y la coincidencia de formas. ^[6] Una aplicación adicional es el análisis y comparaciones de hallazgos arqueológicos en 3D ^[7] y fue implementada para mallas triangulares en el marco de software GigaMesh . ^[8]

La placa delgada tiene una serie de propiedades que han contribuido a su popularidad:

1. Produce superficies lisas, que son infinitamente diferenciables.
2. No hay parámetros libres que necesiten ajuste manual.
3. Tiene soluciones de forma cerrada tanto para deformación como para estimación de parámetros.
4. Existe una explicación física para su función energética.

Sin embargo, tenga en cuenta que las splines que ya están en una dimensión pueden provocar graves "sobrepasos". En 2D, estos efectos pueden ser mucho más críticos porque los TPS no son objetivos. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Mapa elástico (una versión discreta de la aproximación de placa delgada para aprendizaje múltiple )
• Ponderación de distancia inversa
• Spline poliarmónico (el spline de placa delgada es un caso especial de spline poliarmónico)
• Funcion de base radial
• Spline suavizado
• Ranura
• Superficie de subdivisión (alternativa emergente a las superficies basadas en splines)

Referencias

1. Tahir, Anam (2023). Control de formaciones de enjambres de vehículos aéreos no tripulados (PDF) . Finlandia: Universidad de Turku. ISBN 978-951-29-9411-3.
2. Tahir, Anam; Haghbayan, Hashem; Boling, Jari M.; Plosila, Juha (2023). "Reconfiguración posterior a una falla energéticamente eficiente de enjambres de vehículos aéreos no tripulados". Acceso IEEE . 11 : 24768–24779. doi : 10.1109/ACCESS.2022.3181244 .
3. J. Duchon, 1976, Splines que minimizan las seminormas invariantes de rotación en espacios de Sobolev. 85-100, en: Teoría constructiva de funciones de varias variables, Oberwolfach 1976, W. Schempp y K. Zeller , eds., Lecture Notes in Math., Vol. 1, núm. 571, Springer, Berlín, 1977. doi :10.1007/BFb0086566
4. Chui, Haili (2001), Coincidencia de puntos no rígidos: algoritmos, extensiones y aplicaciones , Universidad de Yale, New Haven, CT, EE. UU., CiteSeerX 10.1.1.109.6855 {{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
5. Wahba , Grace (1990), Modelos spline para datos observacionales , Filadelfia, PA, EE. UU.: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), CiteSeerX 10.1.1.470.5213 , doi :10.1137/1.9781611970128, ISBN  978-0-89871-244-5
6. Bookstein, FL (junio de 1989). "Principales deformaciones: estrías de placas delgadas y descomposición de deformaciones". Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia artificial . 11 (6): 567–585. doi :10.1109/34.24792.
7. Bogacz, Bartosz; Papadimitriou, Nikolas; Panagiotopoulos , Diamantis; Mara , Hubert (2019), "Recuperación y visualización de deformaciones en sellados 3D del Egeo", Proc. de la 14.ª Conferencia Internacional sobre Teoría y Aplicación de la Visión por Computador (VISAPP) , Praga, República Checa , consultado el 28 de marzo de 2019
8. "Tutorial nº 13: Aplicar la transformación TPS-RPM". Marco de software GigaMesh . Consultado el 3 de marzo de 2019 .

enlaces externos

• Explicación de un problema de variación simplificado.
• TPS en MathWorld
• TPS en C++
• TPS en C++ con plantilla
• Demostración interactiva de transformación de TPS
• TPS en R
• TPS en JS