En ciencia , ingeniería y otras disciplinas cuantitativas, el orden de aproximación se refiere a expresiones formales o informales de cuán precisa es una aproximación .
En expresiones formales, el número ordinal usado antes del orden de las palabras se refiere a la potencia más alta en la expansión de la serie utilizada en la aproximación . Las expresiones: una aproximación de orden cero , una aproximación de primer orden , una aproximación de segundo orden , etc., se utilizan como frases fijas . También es común la expresión aproximación de orden cero . Los números cardinales se utilizan ocasionalmente en expresiones como una aproximación de orden cero , una aproximación de orden uno , etc.
La omisión del orden de las palabras da lugar a frases que tienen un significado menos formal. Frases como primera aproximación o a una primera aproximación pueden referirse a un valor aproximado de una cantidad . [1] [2] La frase con aproximación cero indica una conjetura descabellada . [3] La expresión orden de aproximación se utiliza a veces informalmente para referirse al número de cifras significativas , en orden creciente de precisión o al orden de magnitud . Sin embargo, esto puede resultar confuso, ya que estas expresiones formales no se refieren directamente al orden de las derivadas.
La elección de la expansión de la serie depende del método científico utilizado para investigar un fenómeno . Se espera que el orden de expresión de la aproximación indique aproximaciones progresivamente más refinadas de una función en un intervalo específico . La elección del orden de aproximación depende del propósito de la investigación . Es posible que deseemos simplificar una expresión analítica conocida para idear una nueva aplicación o, por el contrario, intentar ajustar una curva a puntos de datos . El orden superior de aproximación no siempre es más útil que el inferior. Por ejemplo, si una cantidad es constante dentro de todo el intervalo, aproximarla con una serie de Taylor de segundo orden no aumentará la precisión.
En el caso de una función suave , la aproximación de orden n es un polinomio de grado n , que se obtiene truncando la serie de Taylor a este grado. El uso formal de orden de aproximación corresponde a la omisión de algunos términos de la serie utilizada en la expansión (normalmente los términos superiores). Esto afecta la precisión . El error suele variar dentro del intervalo. Por lo tanto, los números cero , primero , segundo , etc. usados formalmente con el significado anterior no brindan información directa sobre el error porcentual o cifras significativas .
Aproximación de orden cero es el término que utilizan los científicos para una primera respuesta aproximada. Se hacen muchas suposiciones simplificadoras y, cuando se necesita un número, a menudo se da una respuesta de orden de magnitud (o cero cifras significativas ). Por ejemplo, se podría decir "la ciudad tiene unos pocos miles de residentes", cuando en realidad tiene 3.914 personas. A veces esto también se denomina aproximación de orden de magnitud . El cero de "orden cero" representa el hecho de que incluso el único número dado, "unos pocos", está vagamente definido.
Una aproximación de orden cero de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula que se ajuste a múltiples puntos de datos ) será constante , o una línea plana sin pendiente : un polinomio de grado 0. Por ejemplo,
podría ser, si se informara la precisión de los puntos de datos, un ajuste aproximado a los datos, obtenido simplemente promediando los valores de x y los valores de y . Sin embargo, los puntos de datos representan resultados de mediciones y difieren de los puntos de la geometría euclidiana . Por lo tanto, citar un valor promedio que contenga tres dígitos significativos en la salida con sólo un dígito significativo en los datos de entrada podría reconocerse como un ejemplo de precisión falsa . Con la precisión implícita de los puntos de datos de ±0,5, la aproximación de orden cero podría, en el mejor de los casos, producir un resultado para y de ~3,7 ± 2,0 en el intervalo de x de −0,5 a 2,5, considerando la desviación estándar .
Si los puntos de datos se informan como
la aproximación de orden cero da como resultado
La precisión del resultado justifica un intento de derivar una función multiplicativa para ese promedio, por ejemplo,
Sin embargo, hay que tener cuidado, porque la función multiplicativa se definirá para todo el intervalo. Si sólo se dispone de tres puntos de datos, no se tiene conocimiento sobre el resto del intervalo , que puede ser una gran parte del mismo. Esto significa que y podría tener otra componente que sea igual a 0 en los extremos y en el medio del intervalo. Se conocen varias funciones que tienen esta propiedad, por ejemplo y = sen π x . La serie de Taylor es útil y ayuda a predecir una solución analítica , pero la aproximación por sí sola no proporciona evidencia concluyente.
Aproximación de primer orden es el término que utilizan los científicos para dar una respuesta ligeramente mejor. [3] Se hacen algunas suposiciones simplificadoras, y cuando se necesita un número, a menudo se da una respuesta con sólo una cifra significativa ("la ciudad tiene4 × 10 3 , o cuatro mil , residentes"). En el caso de una aproximación de primer orden, al menos un número dado es exacto. En el ejemplo de orden cero anterior, se dio la cantidad "unos pocos", pero en En el ejemplo de primer orden, se da el número "4".
Una aproximación de primer orden de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula que se ajuste a múltiples puntos de datos) será una aproximación lineal, una línea recta con pendiente: un polinomio de grado 1. Por ejemplo:
es un ajuste aproximado a los datos. En este ejemplo hay una aproximación de orden cero que es igual a la de primer orden, pero el método para llegar a ella es diferente; es decir, una puñalada salvaje en la oscuridad de una relación resultó ser tan buena como una "suposición fundamentada".
Aproximación de segundo orden es el término que utilizan los científicos para una respuesta de calidad decente. Se hacen pocas suposiciones simplificadoras y cuando se necesita un número, se responde con dos o más cifras significativas ("el pueblo tiene3,9 × 10 3 , o tres novecientos residentes") generalmente se da. En finanzas matemáticas , las aproximaciones de segundo orden se conocen como correcciones de convexidad . Como en los ejemplos anteriores, el término "segundo orden" se refiere al número de residentes exactos. números dados para la cantidad imprecisa. En este caso, "3" y "9" se dan como los dos niveles sucesivos de precisión, en lugar de simplemente el "4" de primer orden, o "unos pocos" de orden cero encontrados. en los ejemplos anteriores.
Una aproximación de segundo orden de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula que se ajuste a múltiples puntos de datos) será un polinomio cuadrático , geométricamente, una parábola : un polinomio de grado 2. Por ejemplo:
es un ajuste aproximado a los datos. En este caso, con solo tres puntos de datos, una parábola es un ajuste exacto según los datos proporcionados. Sin embargo, los puntos de datos para la mayor parte del intervalo no están disponibles, lo que recomienda precaución (ver "orden cero").
Si bien existen aproximaciones de orden superior y son cruciales para una mejor comprensión y descripción de la realidad, normalmente no se hace referencia a ellas por números.
Continuando con lo anterior, se requeriría una aproximación de tercer orden para ajustar perfectamente cuatro puntos de datos, y así sucesivamente. Ver interpolación polinomial .
Estos términos también son utilizados coloquialmente por científicos e ingenieros para describir fenómenos que pueden despreciarse por no ser significativos (por ejemplo, "Por supuesto, la rotación de la Tierra afecta nuestro experimento, pero es un efecto de tan alto orden que no podríamos medirlo." o "A estas velocidades, la relatividad es un efecto de cuarto orden del que sólo nos preocupamos en la calibración anual"). En este uso, la ordinalidad de la aproximación no es exacta, pero se utiliza para enfatizar su insignificancia; cuanto mayor sea el número utilizado, menos importante será el efecto. La terminología, en este contexto, representa un alto nivel de precisión necesario para dar cuenta de un efecto que se infiere que es muy pequeño en comparación con el tema general. Cuanto mayor sea el orden, más precisión se requiere para medir el efecto y, por tanto, la pequeñez del efecto en comparación con la medición general.
![{\displaystyle x=[0,1,2],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772dac285229995430ec70eecdd3f4aa914ae601)
![{\displaystyle y=[3,3,5],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c07cfac788dfa94a5d50c8161eadf9826263bd)
![{\displaystyle x=[0,00,1,00,2,00],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32145730a0801b92b6f76eac2515890f7be6567)
![{\displaystyle y=[3.00,3.00,5.00],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6029bd23e5b2bc702ab7cc77f00554fa2727346d)
