Operador de Fourier

Un gráfico del operador de Fourier

El operador de Fourier es el núcleo de la integral de Fredholm de primera especie que define la transformada de Fourier continua , y es una función bidimensional cuando corresponde a la transformada de Fourier de funciones unidimensionales. Tiene un valor complejo y una magnitud constante (normalmente la unidad) en todas partes. Cuando se representa, por ejemplo con fines didácticos, se puede visualizar por sus partes reales e imaginarias separadas, o como una imagen en color utilizando una rueda de colores para denotar la fase. ^{[1] [2]}

Generalmente se denota con una letra mayúscula "F" en fuente de escritura ( ), por ejemplo, la transformada de Fourier de una función se escribiría usando el operador como . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}g(t)}$

Puede considerarse como un caso límite en el que el tamaño de la transformada de Fourier discreta aumenta sin límite mientras que su resolución espacial también aumenta sin límite, de modo que se vuelve continua y no necesariamente periódica.

Visualización

El operador de Fourier define una función bidimensional continua que se extiende a lo largo de los ejes de tiempo y frecuencia, hacia el infinito en las cuatro direcciones. Esto es análogo a la matriz DFT pero, en este caso, es continua e infinita en extensión. El valor de la función en cualquier punto es tal que tiene la misma magnitud en todas partes. A lo largo de cualquier valor fijo de tiempo, el valor de la función varía como un exponente complejo en frecuencia. Del mismo modo, a lo largo de cualquier valor fijo de frecuencia, el valor de la función varía como un exponente complejo en el tiempo. Una parte del operador de Fourier infinito se muestra en la siguiente ilustración.

Representación de cómo actúa el operador de Fourier sobre un pulso rectangular de entrada (en el extremo derecho) para generar su transformada de Fourier (en el lado izquierdo), una función sinc .

Cualquier corte paralelo a cualquiera de los ejes, a través del operador de Fourier, es una exponencial compleja, es decir, la parte real es una onda coseno y la parte imaginaria es una onda seno de la misma frecuencia que la parte real.

Los cortes diagonales a través del operador de Fourier dan lugar a chirridos. Por lo tanto, la rotación del operador de Fourier da lugar a la transformada de Fourier fraccionaria , que está relacionada con la transformada de chirplet . ^{[4] [5]}

Véase también

• Análisis espectral de mínimos cuadrados

Referencias

1. Avances en visión artificial: estrategias y aplicaciones, Colin Archibald y Emil Petriu, ed., vol. 32, World scientific, . (Véase la portada del libro y las páginas 99-128, así como el prefacio, página v.)
2. Mann, S. (agosto de 2018). Realidad aumentada fenomenológica con la máquina de impresión de ondas secuenciales (swim). En la IEEE Games, Entertainment, Media Conference (GEM) de 2018 (págs. 1-9). IEEE.
3. Coëtmellec, S., Verrier, N., Brunel, M. y Lebrun, D. (2010). Formulación general de la holografía digital en línea a partir de la correlación con una función chirplet. Journal of the European Optical Society: Rapid publications, 5, 10027.
4. Millioz, F., y Davies, M. (2012). Detección dispersa en la transformada chirplet: aplicación a señales de radar FMCW. IEEE Transactions on Signal Processing, 60(6), 2800-2813.
5. Shi, J., Zheng, J., Liu, X., Xiang, W. y Zhang, Q. (2020). Nueva transformada de Fourier fraccionaria de tiempo corto: teoría, implementación y aplicaciones. Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales, 68, 3280-3295.