No hay almuerzo gratis con riesgo de desaparición

El concepto de " ningún almuerzo gratis con riesgo de desaparición " ( NFVR , por sus siglas en inglés) se utiliza en las finanzas matemáticas como un fortalecimiento de la condición de no arbitraje . En las finanzas de tiempo continuo, la existencia de una medida martingala equivalente (EMM, por sus siglas en inglés) ya no es equivalente a la condición de no arbitraje (a diferencia de lo que ocurre en las finanzas de tiempo discreto), sino que es equivalente a la condición NFLVR. Esto se conoce como el primer teorema fundamental de la fijación de precios de activos .

Hablando informalmente, un mercado permite un almuerzo gratis con riesgo de desaparición si hay estrategias admisibles , que pueden elegirse arbitrariamente cerca de una estrategia de arbitraje, es decir, estas estrategias comienzan sin riqueza, terminan con riqueza positiva con probabilidad mayor que cero (almuerzo gratis) y la probabilidad de terminar con riqueza negativa puede elegirse arbitrariamente pequeña (riesgo de desaparición). ^[1]

Definición matemática

Para una semimartingala , dejemos ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle K=\{(H\cdot S)_{\infty }:H{\text{ admissible}},(H\cdot S)_{\infty }=\lim _{t\to \infty }(H\cdot S)_{t}{\text{ exists a.s.}}\}}$donde una estrategia se considera admisible si es autofinanciable y su proceso de valor está acotado desde abajo. ${\displaystyle V_{t}=\int _{0}^{t}H_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}}$
• ${\displaystyle C=\{g\in L^{\infty }(P):\exists f\in K,~g\leq f~a.s.\}}$.

${\displaystyle S}$Se dice que satisface la condición de que no hay almuerzo gratis con riesgo de desaparición (NFLVR) si , donde es el cierre de C en la topología normal de . ^[2] ${\displaystyle {\bar {C}}\cap L_{+}^{\infty }(P)=\{0\}}$ ${\displaystyle {\bar {C}}}$ ${\displaystyle L_{+}^{\infty }(P)}$

Una consecuencia directa de esa definición es la siguiente:

Si un mercado no satisface NFLVR, entonces existen y secuencias , tales que y . Además, se cumple ${\displaystyle g\in {\bar {C}}\cap L_{+}^{\infty }(P)\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle (g_{n})_{n}\subset C}$ ${\displaystyle (V_{n})_{n}\subset K}$ ${\displaystyle g_{n}\xrightarrow {L^{\infty }} g}$ ${\displaystyle g_{n}\leq V_{n}\,\forall n\in \mathbb {N} }$

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }||\min(V_{n},0)||_{L^{\infty }}=0}$(riesgo de desaparición)
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(V_{n}>0)>0}$(almuerzo gratis)

En otras palabras, esto significa: existe una secuencia de estrategias admisibles que comienzan con riqueza cero, tales que la parte negativa de sus valores finales convergen uniformemente a cero y las probabilidades de los eventos convergen a un número positivo. ${\displaystyle (\theta _{n})_{n}}$ ${\displaystyle V^{\theta _{n}}}$ ${\displaystyle \{V^{\theta _{n}}>0\}}$

Teorema fundamental de la fijación de precios de activos

Si es una semimartingala con valores en entonces S no permite un almuerzo gratis con riesgo de desaparición si y solo si existe una medida de martingala equivalente tal que S sea una sigma-martingala bajo . ^[3] ${\displaystyle S=(S_{t})_{t=0}^{T}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Referencias

1. Delbaen, Schachermayer, Freddy, Walter (2008). Las matemáticas del arbitraje (corregida, 2.ª edición). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. pág. 78. ISBN 978-3-540-21992-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Delbaen, Freddy; Schachermayer, Walter (2006). Las matemáticas del arbitraje . Vol. 13. Birkhäuser. ISBN 978-3-540-21992-7.
3. Delbaen, Freddy; Schachermayer, Walter. "¿Qué es... un almuerzo gratis?" (PDF) . Avisos de la AMS . 51 (5): 526–528 . Consultado el 14 de octubre de 2011 .