En geometría , los mosaicos de molinete son mosaicos no periódicos definidos por Charles Radin y basados en una construcción debida a John Conway . Son los primeros mosaicos no periódicos conocidos que tienen la propiedad de que sus mosaicos aparecen en infinitas orientaciones.
Sea el triángulo rectángulo con longitud de lado , y . Conway notó que se puede dividir en cinco copias isométricas de su imagen mediante la dilatación del factor .
Al reescalar y trasladar/rotar adecuadamente, esta operación se puede repetir para obtener una secuencia creciente infinita de triángulos en crecimiento, todos hechos de copias isométricas de . La unión de todos estos triángulos produce un mosaico de todo el plano mediante copias isométricas de .
En este mosaico, las copias isométricas de aparecen en infinitas orientaciones (esto se debe a que los ángulos y de cada uno son algebraicamente independientes de los reales ). A pesar de esto, todos los vértices tienen coordenadas racionales.
Radin se basó en la construcción anterior de Conway para definir los mosaicos de molinete. Formalmente, los mosaicos de molinete son mosaicos cuyos mosaicos son copias isométricas de , en los que un mosaico puede cruzar a otro mosaico solo en un lado completo o en la mitad del lado longitudinal, y de manera que se cumple la siguiente propiedad. Dado cualquier mosaico de molinete , existe un mosaico de molinete que, una vez que se divide cada mosaico en cinco siguiendo la construcción de Conway y se dilata el resultado en un factor , es igual a . En otras palabras, los mosaicos de cualquier mosaico de molinete se pueden agrupar en conjuntos de cinco en mosaicos homotéticos, de modo que estos mosaicos homotéticos formen (hasta reescalar) un nuevo mosaico de molinete.
El mosaico construido por Conway es un mosaico de molinete, pero hay innumerables mosaicos de molinete diferentes. Todos ellos son localmente indistinguibles ( es decir , tienen los mismos parches finitos). Todos comparten con el mosaico de Conway la propiedad de que los mosaicos aparecen en infinitas orientaciones (y los vértices tienen coordenadas racionales).
El principal resultado demostrado por Radin es que existe un conjunto finito (aunque muy grande) de los llamados prototiles, y cada uno de ellos se obtiene coloreando los lados de , de modo que los mosaicos del molinete son exactamente los mosaicos del plano mediante copias isométricas de estos prototiles, con la condición de que siempre que dos copias se crucen en un punto, tengan el mismo color en ese punto. [1] En términos de dinámica simbólica , esto significa que los mosaicos de molinete forman un subcambio sófico .
Radin y Conway propusieron un análogo tridimensional que se denominó mosaico quaquaversal . [2] Existen otras variantes y generalizaciones de la idea original. [3]
Se obtiene un fractal dividiendo iterativamente en cinco copias isométricas, siguiendo la construcción de Conway y descartando el triángulo del medio ( ad infinitum ). Este "fractal de molinete" tiene dimensión de Hausdorff .
Federation Square , un complejo de edificios en Melbourne, Australia, presenta el mosaico del molinete. En el proyecto, el patrón de mosaico se utiliza para crear la subestructura estructural de las fachadas, lo que permite que las fachadas se fabriquen fuera del sitio, en una fábrica y luego se erigieran para formar las fachadas. El sistema de mosaico en forma de molinete se basaba en un único elemento triangular, compuesto de zinc, zinc perforado, arenisca o vidrio (conocido como teja), que se unía a otras 4 tejas similares sobre un marco de aluminio, para formar un "panel". Se fijaron cinco paneles a un marco de acero galvanizado, formando un "megapanel", que luego se izaron sobre marcos de soporte para la fachada. La posición rotacional de las baldosas confiere a las fachadas una calidad compositiva más aleatoria e incierta, aunque el proceso de construcción se base en la prefabricación y la repetición. El mismo sistema de mosaico de molinete se utiliza en el desarrollo del marco estructural y el acristalamiento del "Atrio" en Federation Square, aunque en este caso, la rejilla de molinete se ha hecho "tridimensional" para formar una estructura de marco de portal.
