Momento angular específico

Magnitud vectorial en mecánica celeste

En mecánica celeste , el momento angular relativo específico (a menudo denotado como ) de un cuerpo es el momento angular de ese cuerpo dividido por su masa. ^[1] En el caso de dos cuerpos en órbita, es el producto vectorial de su posición relativa y su momento lineal relativo , dividido por la masa del cuerpo en cuestión. ${\displaystyle {\vec {h}}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

El momento angular relativo específico desempeña un papel fundamental en el análisis del problema de los dos cuerpos , ya que permanece constante para una órbita dada en condiciones ideales. " Específico " en este contexto indica momento angular por unidad de masa. La unidad del SI para el momento angular relativo específico es el metro cuadrado por segundo.

Definición

El momento angular relativo específico se define como el producto vectorial del vector de posición relativa y el vector de velocidad relativa . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{m}}}$$

donde es el vector de momento angular, definido como . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

El vector es siempre perpendicular al plano orbital osculador instantáneo , que coincide con la órbita perturbada instantánea . No es necesariamente perpendicular al plano orbital promedio en el tiempo. ${\displaystyle \mathbf {h} }$

Prueba de constancia en el caso de los dos cuerpos

Vector de distancia , vector de velocidad , anomalía verdadera y ángulo de trayectoria de vuelo de en órbita alrededor de . También se representan las medidas más importantes de la elipse (entre las cuales, observe que la anomalía verdadera está etiquetada como ). ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \nu }$

En determinadas condiciones, se puede demostrar que el momento angular específico es constante. Las condiciones para esta demostración incluyen:

• La masa de un objeto es mucho mayor que la masa del otro. ( ) ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$
• El sistema de coordenadas es inercial .
• Cada objeto puede ser tratado como una masa puntual esféricamente simétrica .
• Ninguna otra fuerza actúa sobre el sistema aparte de la fuerza gravitacional que conecta los dos cuerpos.

Prueba

La prueba comienza con la ecuación de movimiento de dos cuerpos , derivada de la ley de gravitación universal de Newton :

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición de a con magnitud escalar . ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}}$es la segunda derivada temporal de . (la aceleración ) ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle G}$es la constante gravitacional .

El producto vectorial del vector de posición con la ecuación de movimiento es:

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

Porque el segundo término desaparece: ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {r} =0}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0}$$

También se puede deducir que: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}}$$

Combinando estas dos ecuaciones obtenemos: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$

Como la derivada respecto del tiempo es igual a cero, la cantidad es constante. Si se utiliza el vector de velocidad en lugar de la tasa de cambio de posición y para el momento angular específico: es constante. ${\displaystyle \mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$ $${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$$

Esto es diferente de la construcción normal del momento, porque no incluye la masa del objeto en cuestión. ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario

Las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario se pueden demostrar casi directamente con las relaciones anteriores.

Primera ley

La demostración comienza de nuevo con la ecuación del problema de los dos cuerpos. Esta vez, el producto vectorial se multiplica por el momento angular relativo específico. $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h} }$$

El lado izquierdo es igual a la derivada porque el momento angular es constante. ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$

Después de algunos pasos (que incluyen usar el producto triple vectorial y definir el escalar como la velocidad radial , en oposición a la norma del vector ), el lado derecho se convierte en: ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$ $${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}$$

Igualando estas dos expresiones e integrándolas en el tiempo obtenemos (con la constante de integración ) ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} }$$

Ahora esta ecuación se multiplica ( producto escalar ) por y se reorganiza. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$$

Finalmente se obtiene la ecuación de la órbita ^[1] $${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$$

cual es la ecuación de una sección cónica en coordenadas polares con semilato recto y excentricidad . ${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$ ${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$

Segunda ley

La segunda ley se desprende inmediatamente de la segunda de las tres ecuaciones para calcular el valor absoluto del momento angular relativo específico. ^[1]

Si se conecta esta forma de la ecuación con la relación para el área de un sector con un ángulo infinitesimalmente pequeño (triángulo con un lado muy pequeño), la ecuación ${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$ ${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A}$$

Tercera ley

La tercera ley de Kepler es una consecuencia directa de la segunda ley. Al integrarla a lo largo de una revolución se obtiene el período orbital ^[1] $${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$$

para el área de una elipse. Reemplazando el semieje menor por y el momento angular relativo específico por uno se obtiene ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$ ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$

Existe pues una relación entre el semieje mayor y el período orbital de un satélite que puede reducirse a una constante del cuerpo central.

Véase también

• Energía orbital específica , otra cantidad conservada en el problema de los dos cuerpos.
• Problema clásico de fuerza central § Momento angular específico

Referencias

1. Vallado, David A. (2001). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones (2.ª ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 20–30. ISBN 0-7923-6903-3.