En geometría esférica , una luna esférica (o biangle ) es un área de una esfera delimitada por dos semicírculos máximos que se encuentran en puntos antípodas . [1] Es un ejemplo de digon , {2} θ , con ángulo diédrico θ. [2] La palabra "lune" deriva de luna , la palabra latina para Luna.
Los círculos máximos son los círculos (circunferencias) más grandes posibles de una esfera ; cada uno divide la superficie de la esfera en dos mitades iguales. Dos círculos máximos siempre se cruzan en dos puntos polares opuestos.
Ejemplos comunes de círculos máximos son las líneas de longitud ( meridianos ) en una esfera, que se encuentran en los polos norte y sur .
Una luna esférica tiene dos planos de simetría. Se puede dividir en dos lunes de la mitad del ángulo, o se puede dividir en dos triángulos esféricos rectángulos por una línea ecuatorial.
El área de superficie de una luna esférica es 2θ R 2 , donde R es el radio de la esfera y θ es el ángulo diédrico en radianes entre los dos semicírculos máximos.
Cuando este ángulo es igual a 2π radianes (360°), es decir, cuando la segunda mitad del gran círculo se ha movido un círculo completo y la luna intermedia cubre la esfera como un monógono esférico , la fórmula del área para la luna esférica da 4π R 2 , el área de la superficie de la esfera .
Un hosoedro es un mosaico de la esfera de lunes. Un hosoedro regular n-gonal, {2,n} tiene n lunas iguales de π/ n radianes. Un n -hosoedro tiene simetría diédrica D n h , [ n ,2], (*22 n ) de orden 4 n . Cada luna individualmente tiene simetría cíclica C 2v , [2], (*22) de orden 4.
Cada hosoedro puede dividirse por una bisectriz ecuatorial en dos triángulos esféricos iguales .
La porción visiblemente iluminada de la Luna visible desde la Tierra es una luna esférica. El primero de los dos grandes círculos que se cruzan es el terminador entre la mitad iluminada por el sol de la Luna y la mitad oscura. El segundo gran círculo es un terminador terrestre que separa la mitad visible desde la Tierra de la mitad invisible. La luna esférica tiene forma de media luna iluminada vista desde la Tierra.
Las lunas también se pueden definir en esferas de dimensiones superiores.
En 4 dimensiones, una 3 esfera es una esfera generalizada. Puede contener digon lunes regular como {2} θ,φ , donde θ y φ son dos ángulos diédricos.
Por ejemplo, un hosótopo regular {2,p,q} tiene caras de digón, {2} 2π/p,2π/q , donde su figura de vértice es un sólido platónico esférico , {p,q}. Cada vértice de {p,q} define un borde en el hosótopo y los pares adyacentes de esos bordes definen las caras de las lunas. O más específicamente, el hosótopo regular {2,4,3}, tiene 2 vértices, 8 aristas de arco de 180° en un cubo , {4,3}, figura de vértice entre los dos vértices, 12 caras lunares, {2} π/ 4,π/3 , entre pares de aristas adyacentes, y 6 celdas hosoédricas, {2,p} π/3 .