Cardenal de Woodin

En la teoría de conjuntos , un cardinal de Woodin (llamado así por W. Hugh Woodin ) es un número cardinal tal que para todas las funciones , existe un cardinal con y una incrustación elemental del universo de Von Neumann en un modelo interno transitivo con punto crítico y . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f:\lambda \to \lambda }$ ${\displaystyle \kappa <\lambda }$ ${\displaystyle \{f(\beta )\mid \beta <\kappa \}\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{j(f)(\kappa )}\subseteq M}$

Una definición equivalente es ésta: es Woodin si y sólo si es fuertemente inaccesible y para todo existe un que es - -fuerte. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A\subseteq V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda _{A}<\lambda }$ ${\displaystyle <\lambda }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda _{A}}$ser - -fuerte significa que para todos los ordinales , existe un que es una incrustación elemental con punto crítico , , y . (Véase también cardinal fuerte .) ${\displaystyle <\lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \lambda _{A}}$ ${\displaystyle j(\lambda _{A})>\alpha }$ ${\displaystyle V_{\alpha }\subseteq M}$ ${\displaystyle j(A)\cap V_{\alpha }=A\cap V_{\alpha }}$

Un cardinal de Woodin está precedido por un conjunto estacionario de cardinales medibles y, por lo tanto, es un cardinal de Mahlo . Sin embargo, el primer cardinal de Woodin ni siquiera es débilmente compacto .

Explicación

La jerarquía (conocida como jerarquía de von Neumann) se define mediante recursión transfinita en : ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle V_{0}=\varnothing }$,
• ${\displaystyle V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$,
• ${\displaystyle V_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }V_{\beta }}$, cuando es un ordinal límite. ${\displaystyle \alpha }$

Para cualquier ordinal , es un conjunto. La unión de los conjuntos para todos los ordinales ya no es un conjunto, sino una clase propia. Algunos de los conjuntos tienen propiedades de teoría de conjuntos, por ejemplo, cuando es un cardinal inaccesible, satisface la ZFC de segundo orden ("satisface" aquí significa la noción de satisfacción de la lógica de primer orden). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$

Para una clase transitiva , se dice que una función es una incrustación elemental si para cualquier fórmula con variables libres en el lenguaje de la teoría de conjuntos, se da el caso de que si y solo si , donde es la noción de satisfacción de la lógica de primer orden como antes. Una incrustación elemental se llama no trivial si no es la identidad. Si es una incrustación elemental no trivial, existe un ordinal tal que , y el menor de ellos se llama punto crítico de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle V\vDash \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle M\vDash \phi (j(x_{1}),\ldots ,j(x_{n}))}$ ${\displaystyle \vDash }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j(\kappa )\neq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j}$

Muchas propiedades cardinales importantes pueden expresarse en términos de incrustaciones elementales. Para un ordinal , se dice que un cardinal es -fuerte si se puede encontrar una clase transitiva tal que existe una incrustación elemental no trivial cuyo punto crítico es , y además . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq M}$

Un fortalecimiento de la noción de cardinal -fuerte es la noción de -fuerza de un cardinal en un cardinal mayor : si y son cardinales con , y es un subconjunto de , entonces se dice que es -fuerte en si para todo , hay una incrustación elemental no trivial que atestigua que es -fuerte, y además . (Esto es un fortalecimiento, como cuando se deja que , siendo -fuerte en implica que es -fuerte para todo , como dado cualquier , debe ser igual a , debe ser un subconjunto de y por lo tanto un subconjunto del rango de .) Finalmente, un cardinal es Woodin si para cualquier elección de , existe un tal que es -fuerte en . ^[1] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \kappa <\delta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{\delta }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \beta <\delta }$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle j(A)\cap V_{\beta }=A\cap V_{\beta }}$ ${\displaystyle A=V_{\delta }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta <\delta }$ ${\displaystyle \beta <\delta }$ ${\displaystyle V_{\delta }\cap V_{\beta }=V_{\beta }}$ ${\displaystyle j(A)\cap V_{\beta }}$ ${\displaystyle V_{\delta }}$ ${\displaystyle j(A)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A\subseteq V_{\delta }}$ ${\displaystyle \kappa <\delta }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$

Consecuencias

Los cardinales de Woodin son importantes en la teoría descriptiva de conjuntos . Por un resultado ^[2] de Martin y Steel , la existencia de infinitos cardinales de Woodin implica determinación proyectiva , lo que a su vez implica que cada conjunto proyectivo es medible según Lebesgue , tiene la propiedad de Baire (se diferencia de un conjunto abierto por un conjunto exiguo , es decir, un conjunto que es una unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte ) y la propiedad del conjunto perfecto (es numerable o contiene un subconjunto perfecto ).

La consistencia de la existencia de los cardinales de Woodin se puede demostrar utilizando hipótesis de determinación. Trabajando en ZF + AD + DC se puede demostrar que Woodin pertenece a la clase de conjuntos definibles por ordinales hereditarios. es el primer ordinal sobre el cual el continuo no puede ser mapeado por una sobreyección definible por ordinales (ver Θ (teoría de conjuntos) ). ${\displaystyle \Theta _{0}}$ ${\displaystyle \Theta _{0}}$

Mitchell y Steel demostraron que, suponiendo que existe un cardinal de Woodin, hay un modelo interno que contiene un cardinal de Woodin en el que hay un -buen ordenamiento de los reales, se cumple ◊ y se cumple la hipótesis del continuo generalizado . ^[3] ${\displaystyle \Delta _{4}^{1}}$

Shelah demostró que si la existencia de un cardinal de Woodin es consistente, entonces es consistente que el ideal no estacionario en esté -saturado. Woodin también demostró la equiconsistencia de la existencia de infinitos cardinales de Woodin y la existencia de un ideal -denso sobre . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Cardenales hiper-Woodin

Un cardinal se llama hiper-Woodin si existe una medida normal en tal que para cada conjunto , el conjunto ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{\lambda <\kappa \mid \lambda }$es - - fuerte ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \}}$

está en . ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \lambda }$es - -fuerte si y sólo si para cada uno hay una clase transitiva y una incrustación elemental ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta <\kappa }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle j:V\to N}$

con

${\displaystyle \lambda ={\text{crit}}(j),}$

${\displaystyle j(\lambda )\geq \delta }$, y

${\displaystyle j(S)\cap H_{\delta }=S\cap H_{\delta }}$.

El nombre alude al resultado clásico de que un cardinal es Woodin si y sólo si para cada conjunto , el conjunto ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{\lambda <\kappa \mid \lambda }$es - - fuerte ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \}}$

es un conjunto estacionario .

La medida contendrá el conjunto de todos los cardenales de Shelah a continuación . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa }$

Cardenales débilmente hiper-Woodin

Un cardinal se llama débilmente hiper-Woodin si para cada conjunto existe una medida normal en tal que el conjunto es - - fuerte está en . es - -fuerte si y solo si para cada uno hay una clase transitiva y una incrustación elemental con , , y ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \{\lambda <\kappa \mid \lambda }$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta <\kappa }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j:V\to N}$ ${\displaystyle \lambda ={\text{crit}}(j)}$ ${\displaystyle j(\lambda )\geq \delta }$ ${\displaystyle j(S)\cap H_{\delta }=S\cap H_{\delta }.}$

El nombre alude al resultado clásico de que un cardenal es Woodin si para cada conjunto , el conjunto es - - fuerte es estacionario. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{\lambda <\kappa \mid \lambda }$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \}}$

La diferencia entre los cardenales hiper-Woodin y los cardenales débilmente hiper-Woodin es que la elección de uno no depende de la elección del conjunto de cardenales hiper-Woodin. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

Cardenales admisibles en Woodin

Sea un cardinal y sea el ordinal menos admisible mayor que . Se dice que el cardinal es Woodin-en-el-próximo-admisible si para cualquier función tal que , existe tal que , y hay un extensor tal que y . Estos cardinales aparecen cuando se construyen modelos a partir de árboles de iteración. ^{[4] p.4} ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f:\delta \to \delta }$ ${\displaystyle f\in L_{\alpha }(V_{\delta })}$ ${\displaystyle \kappa <\delta }$ ${\displaystyle f[\kappa ]\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle E\in V_{\delta }}$ ${\displaystyle \mathrm {crit} (E)=\kappa }$ ${\displaystyle V_{i_{E}(f)(\kappa )}\subset \mathrm {Ult} (V,E)}$

Notas y referencias

1. Steel, John R. (octubre de 2007). "¿Qué es un cardenal Woodin?" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 54 (9): 1146–7 . Consultado el 4 de marzo de 2024 .
2. Una prueba de determinación proyectiva
3. W. Mitchell, Modelos internos para grandes cardinales (2012, p.32). Consultado el 8 de diciembre de 2022.
4. A. Andretta, "Cardinales grandes y árboles de iteración de altura ω", Annals of Pure and Applied Logic vol. 54 (1990), pp.1--15.

Lectura adicional

• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.
• Para las pruebas de los dos resultados enumerados en las consecuencias, véase Handbook of Set Theory (Eds. Foreman, Kanamori, Magidor) (próximamente). Hay borradores de algunos capítulos disponibles.
• Ernest Schimmerling, Cardenales de Woodin, cardenales de Shelah y el modelo de núcleo de Mitchell-Steel , Actas de la American Mathematical Society 130/11, págs. 3385–3391, 2002, en línea