En matemáticas , la discusión de campos vectoriales en esferas fue un problema clásico de topología diferencial , que comenzó con el teorema de la bola peluda y los primeros trabajos sobre la clasificación de las álgebras de división .
En concreto, la pregunta es cuántos campos vectoriales linealmente independientes suaves sin cero en ninguna parte se pueden construir en una esfera en un espacio euclidiano de dimensión - . Frank Adams proporcionó una respuesta definitiva en 1962. Ya se sabía, [1] mediante construcción directa utilizando álgebras de Clifford , que existían al menos tales campos (véase la definición a continuación). Adams aplicó la teoría de homotopía y la teoría K topológica [2] para demostrar que no se podían encontrar más campos vectoriales independientes. Por lo tanto, es el número exacto de campos vectoriales linealmente independientes puntuales que existen en una esfera de dimensión ( ).
En detalle, la pregunta se aplica a las 'esferas redondas' y a sus fibrados tangentes : de hecho, dado que todas las esferas exóticas tienen fibrados tangentes isomorfos, los números de Radon-Hurwitz determinan el número máximo de secciones linealmente independientes del fibrado tangente de cualquier esfera de homotopía. El caso de impar se resuelve mediante el teorema del índice de Poincaré-Hopf (véase el teorema de la bola peluda ), por lo que el caso par es una extensión de éste. Adams demostró que el número máximo de campos vectoriales continuos ( suaves no sería diferente aquí) linealmente independientes puntualmente en la ( )-esfera es exactamente .
La construcción de los campos está relacionada con las álgebras reales de Clifford , que es una teoría con una periodicidad módulo 8 que también aparece aquí. Por el proceso de Gram-Schmidt , es lo mismo pedir independencia lineal (puntual) o campos que den una base ortonormal en cada punto.
Los números de Radon-Hurwitz aparecen en trabajos anteriores de Johann Radon (1922) y Adolf Hurwitz (1923) sobre el problema de Hurwitz en formas cuadráticas . [3] Para escribir como el producto de un número impar y una potencia de dos , escriba
Entonces [3]
Los primeros valores de son (de la (secuencia A053381 en la OEIS )):
Para impar , el valor de la función es uno.
Estos números también aparecen en otras áreas relacionadas. En teoría de matrices , el número de Radon-Hurwitz cuenta el tamaño máximo de un subespacio lineal de las matrices reales, para el cual cada matriz distinta de cero es una transformación de semejanza , es decir, un producto de una matriz ortogonal y una matriz escalar . En formas cuadráticas , el problema de Hurwitz solicita identidades multiplicativas entre formas cuadráticas. Los resultados clásicos fueron revisados en 1952 por Beno Eckmann . Ahora se aplican en áreas que incluyen la teoría de la codificación y la física teórica .
