Camino áspero

En el análisis estocástico , una trayectoria irregular es una generalización de la noción de trayectoria uniforme que permite construir una teoría de solución robusta para ecuaciones diferenciales controladas impulsadas por señales clásicamente irregulares, por ejemplo, un proceso de Wiener . La teoría fue desarrollada en la década de 1990 por Terry Lyons . ^{[1] [2] [3]} Hay varias descripciones de la teoría disponibles. ^{[4] [5] [6] [7]}

La teoría de trayectorias irregulares se centra en capturar y precisar las interacciones entre sistemas altamente oscilatorios y no lineales. Se basa en el análisis armónico de LC Young, el álgebra geométrica de KT Chen, la teoría de funciones de Lipschitz de H. Whitney y las ideas centrales del análisis estocástico. Los conceptos y las estimaciones uniformes tienen una amplia aplicación en matemáticas puras y aplicadas y más allá. Proporciona una caja de herramientas para recuperar con relativa facilidad muchos resultados clásicos en análisis estocástico (Wong-Zakai, teorema de soporte de Stroock-Varadhan, construcción de flujos estocásticos, etc.) sin usar propiedades probabilísticas específicas como la propiedad martingala o la predictibilidad. La teoría también extiende la teoría de las SDE de Itô mucho más allá del entorno de la semimartingala. En el corazón de las matemáticas está el desafío de describir una trayectoria suave pero potencialmente altamente oscilatoria y multidimensional de manera efectiva para predecir con precisión su efecto en un sistema dinámico no lineal . La firma es un homomorfismo del monoide de caminos (bajo concatenación) en los elementos similares a grupos del álgebra tensorial libre. Proporciona un resumen graduado del camino . Esta transformación no conmutativa es fiel para los caminos hasta las modificaciones nulas apropiadas. Estos resúmenes graduados o características de un camino están en el corazón de la definición de un camino aproximado; localmente eliminan la necesidad de observar la estructura fina del camino. El teorema de Taylor explica cómo cualquier función suave puede, localmente, expresarse como una combinación lineal de ciertas funciones especiales (monomios basados ​​en ese punto). Las integrales iteradas de coordenadas (términos de la firma) forman un álgebra más sutil de características que pueden describir una corriente o camino de una manera análoga; permiten una definición de camino aproximado y forman una "base" lineal natural para funciones continuas en caminos. ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} y_{t}=f(y_{t})\,\mathrm {d} x_{t},y_{0}=a}$ ${\displaystyle x}$

Martin Hairer utilizó trayectorias aproximadas para construir una teoría de solución robusta para la ecuación KPZ . ^[8] Luego propuso una generalización conocida como teoría de estructuras de regularidad ^[9] por la que recibió una medalla Fields en 2014.

Motivación

La teoría del camino aproximado tiene como objetivo dar sentido a la ecuación diferencial controlada

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

donde el control, el camino continuo que toma valores en un espacio de Banach , no necesita ser diferenciable ni de variación acotada. Un ejemplo frecuente del camino controlado es el camino de muestra de un proceso de Wiener . En este caso, la ecuación diferencial controlada antes mencionada puede interpretarse como una ecuación diferencial estocástica y la integración contra " " puede definirse en el sentido de Itô . Sin embargo, el cálculo de Itô se define en el sentido de y en particular no es una definición de caminos. Los caminos aproximados dan una definición de caminos casi segura de ecuaciones diferenciales estocásticas. La noción de camino aproximado de solución está bien planteada en el sentido de que si es una secuencia de caminos suaves que convergen a en la métrica de variación (descrita a continuación), y ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}^{j}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle X(n)_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j};}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j},}$

Luego converge a la métrica de variación. Esta propiedad de continuidad y la naturaleza determinista de las soluciones permiten simplificar y fortalecer muchos resultados del análisis estocástico, como la teoría de grandes desviaciones de Freidlin-Wentzell ^[10], así como los resultados sobre flujos estocásticos. ${\displaystyle Y(n)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$

De hecho, la teoría de trayectorias aproximadas puede ir mucho más allá del alcance del cálculo de Itô y Stratonovich y permite dar sentido a las ecuaciones diferenciales impulsadas por trayectorias no semimartingalas , como los procesos gaussianos y los procesos de Markov . ^[11]

Definición de un camino irregular

Los caminos aproximados son caminos que toman valores en el álgebra tensorial libre truncada (más precisamente: en el grupo nilpotente libre incluido en el álgebra tensorial libre), que esta sección ahora recuerda brevemente. Las potencias tensoriales de , denotadas , están equipadas con la norma proyectiva (ver Producto tensorial topológico , note que la teoría de caminos aproximados de hecho funciona para una clase más general de normas). Sea el álgebra tensorial truncada ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$ ${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})=\bigoplus _{i=0}^{n}{\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes i},}$donde por convención . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d})^{\otimes 0}\cong \mathbb {R} }$

Sea el símplex . Sea . Sean y mapas continuos . Sea la proyección de sobre -tensores y lo mismo para . La métrica de variación se define como ${\displaystyle \triangle _{0,1}}$ ${\displaystyle \{(s,t):0\leq s\leq t\leq 1\}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \triangle _{0,1}\to T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle d_{p}\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right):=\max _{j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }\sup _{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1}\left(\sum _{i=0}^{n-1}\Vert \mathbf {X} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}-\mathbf {Y} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}\Vert ^{\frac {p}{j}}\right)^{\frac {j}{p}}}$

donde el supremo se toma sobre todas las particiones finitas de . ${\displaystyle \{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Una función continua es una trayectoria geométrica aproximada si existe una secuencia de trayectorias con variación total finita tal que ${\displaystyle \mathbf {X} :\triangle _{0,1}\rightarrow T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X(1),X(2),\ldots }$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$

converge en la métrica de variación a como . ^[12] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Teorema del límite universal

Un resultado central en la teoría de caminos aproximados es el teorema del límite universal de Lyons . ^[1] Una versión (débil) del resultado es la siguiente: Sea una secuencia de caminos con variación total finita y sea ${\displaystyle X(n)}$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$denota la trayectoria aproximada de elevación de . ${\displaystyle X(n)}$

Supóngase que converge en la métrica de variación a una trayectoria aproximada geométrica cuando . Sean funciones que tienen al menos derivadas acotadas y las derivadas -ésimas son continuas en el sentido de Hölder para algún . Sea la solución de la ecuación diferencial ${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (V_{j}^{i})_{j=1,\ldots ,d}^{i=1,\ldots ,n}}$ ${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >p-\lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle Y(n)}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y(n)_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j}}$

y se defina como ${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {Y} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} Y(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

Luego converge en la métrica de variación a una trayectoria aproximada geométrica . ${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Además, ¿la solución de la ecuación diferencial es ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}\qquad (\star )}$

impulsado por el camino geométrico rugoso . ${\displaystyle \mathbf {X} }$

El teorema puede interpretarse como que el mapa de solución (también conocido como el mapa de Itô-Lyons) de la RDE es continuo (y de hecho localmente Lipschitz) en la topología de variación. Por lo tanto, la teoría de caminos irregulares demuestra que al considerar las señales impulsoras como caminos irregulares, se tiene una teoría de solución robusta para ecuaciones diferenciales estocásticas clásicas y más allá. ${\displaystyle \Phi :G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{d})\to G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{e})}$ ${\displaystyle (\star )}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos de caminos difíciles

Movimiento browniano

Sea un movimiento browniano estándar multidimensional. Denotemos la integración de Stratonovich . Entonces ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}}\otimes \circ \mathrm {d} B_{s_{2}}\right)}$

es una trayectoria geométrica aproximada para cualquier . Esta trayectoria geométrica aproximada se denomina trayectoria browniana aproximada de Stratonovich . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2<p<3}$

Movimiento browniano fraccional

De manera más general, sea un movimiento browniano fraccionario multidimensional (un proceso cuyos componentes de coordenadas son movimientos brownianos fraccionarios independientes) con . Si es la interpolación lineal por partes diádica -ésima de , entonces ${\displaystyle B_{H}(t)}$ ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle B_{H}^{m}(t)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle B_{H}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{H}^{m}(s,t)=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\right.&\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1}),\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\,\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2}),\\&\left.\int _{s<s_{1}<s_{2}<s_{3}<t}\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{3})\right)\end{aligned}}}$

converge casi con seguridad en la métrica de variación a una trayectoria aproximada geométrica para . ^[13] Esta trayectoria aproximada geométrica limitante se puede utilizar para dar sentido a las ecuaciones diferenciales impulsadas por el movimiento browniano fraccionario con parámetro de Hurst . Cuando , resulta que el límite anterior a lo largo de aproximaciones diádicas no converge en la variación. Sin embargo, por supuesto, uno todavía puede dar sentido a las ecuaciones diferenciales siempre que uno exhiba una elevación de trayectoria aproximada, la existencia de tal elevación (no única) es una consecuencia del teorema de extensión de Lyons-Victoir . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\frac {1}{H}}<p}$ ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle 0<H\leq {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle p}$

No unicidad de la mejora

En general, sea un proceso estocástico con valores . Si se pueden construir, casi con seguridad, funciones de modo que ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle (s,t)\rightarrow \mathbf {X} _{s,t}^{j}\in {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes j}}$

${\displaystyle \mathbf {X} :(s,t)\rightarrow (1,X_{t}-X_{s},\mathbf {X} _{s,t}^{2},\ldots ,\mathbf {X} _{s,t}^{\lfloor p\rfloor })}$

es una trayectoria aproximada geométrica, entonces es una mejora del proceso . Una vez que se ha elegido una mejora, la maquinaria de la teoría de trayectorias aproximadas permitirá dar sentido a la ecuación diferencial controlada. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{s,t}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

para campos vectoriales suficientemente regulares ${\displaystyle V_{j}^{i}.}$

Nótese que cada proceso estocástico (incluso si es una trayectoria determinista) puede tener más de una (de hecho, incontables) posibles mejoras. ^[14] Diferentes mejoras darán lugar a diferentes soluciones para las ecuaciones diferenciales controladas. En particular, es posible mejorar el movimiento browniano a una trayectoria geométrica aproximada de una manera distinta a la de la trayectoria aproximada browniana. ^[15] Esto implica que el cálculo de Stratonovich no es la única teoría del cálculo estocástico que satisface la regla del producto clásico.

${\displaystyle \mathrm {d} (X_{t}\cdot Y_{t})=X_{t}\,\mathrm {d} Y_{t}+Y_{t}\,\mathrm {d} X_{t}.}$

De hecho, cualquier mejora del movimiento browniano como una trayectoria geométrica aproximada dará lugar a un cálculo que satisface esta regla clásica del producto. El cálculo de Itô no proviene directamente de la mejora del movimiento browniano como una trayectoria geométrica aproximada, sino más bien como una trayectoria aproximada ramificada.

Aplicaciones en el análisis estocástico

Ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por no semimartingalas

La teoría de trayectorias aproximadas permite dar una noción de trayectoria de solución a ecuaciones diferenciales (estocásticas) de la forma

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}}$

siempre que el proceso estocástico multidimensional pueda mejorarse casi con seguridad como una trayectoria aproximada y que la deriva y la volatilidad sean suficientemente suaves (véase la sección sobre el Teorema del Límite Universal). ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$

Hay muchos ejemplos de procesos de Markov, procesos gaussianos y otros procesos que pueden mejorarse como trayectorias aproximadas. ^[16]

En particular, existen muchos resultados sobre la solución de ecuaciones diferenciales impulsadas por el movimiento browniano fraccionario que se han demostrado utilizando una combinación de cálculo de Malliavin y teoría de trayectorias aproximadas. De hecho, recientemente se ha demostrado que la solución de ecuaciones diferenciales controladas impulsadas por una clase de procesos gaussianos, que incluye el movimiento browniano fraccionario con parámetro de Hurst , tiene una densidad suave bajo la condición de Hörmander en los campos vectoriales. ^{[17] [18]} ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$

Teoría de las grandes desviaciones de Freidlin-Wentzell

Sea el espacio de aplicaciones lineales acotadas de un espacio de Banach a otro espacio de Banach . ${\displaystyle L(V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Sea un movimiento browniano estándar de dimensión 1. Sean y funciones dos veces diferenciables y cuyas segundas derivadas son -Hölder para algún . ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >0}$

Sea la única solución de la ecuación diferencial estocástica ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$

${\displaystyle \mathrm {d} X^{\varepsilon }=b(X_{t}^{\epsilon })\,\mathrm {d} t+{\sqrt {\varepsilon }}\sigma (X^{\varepsilon })\circ \mathrm {d} B_{t};\,X^{\varepsilon }=a,}$

donde denota la integración de Stratonovich. ${\displaystyle \circ }$

La teoría de grandes desviaciones de Freidlin Wentzell tiene como objetivo estudiar el comportamiento asintótico, como , de para conjuntos cerrados o abiertos con respecto a la topología uniforme. ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X^{\varepsilon }\in F]}$ ${\displaystyle F}$

El Teorema del Límite Universal garantiza que la función Itô que envía la ruta de control a la solución es una función continua desde la topología de variación a la topología de variación (y por lo tanto la topología uniforme). Por lo tanto, el principio de contracción en la teoría de grandes desviaciones reduce el problema de Freidlin-Wentzell a demostrar el principio de grandes desviaciones en la topología de variación. ^[10] ${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$ ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$ ${\displaystyle p}$

Esta estrategia se puede aplicar no sólo a las ecuaciones diferenciales impulsadas por el movimiento browniano, sino también a las ecuaciones diferenciales impulsadas por cualquier proceso estocástico que pueda mejorarse como trayectorias aproximadas, como el movimiento browniano fraccional.

Flujo estocástico

Una vez más, supongamos que se trata de un movimiento browniano de dimensión 1. Supongamos que el término de deriva y el término de volatilidad tienen suficiente regularidad para que la ecuación diferencial estocástica ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathrm {d} \phi _{s,t}(x)=b(\phi _{s,t}(x))\,\mathrm {d} t+\sigma {(\phi _{s,t}(x))}\,\mathrm {d} B_{t};X_{s}=x}$

tiene una solución única en el sentido de trayectoria aproximada. Una pregunta básica en la teoría del flujo estocástico es si el mapa de flujo existe y satisface la propiedad cocíclica de que para todos , ${\displaystyle \phi _{s,t}(x)}$ ${\displaystyle s\leq u\leq t}$

${\displaystyle \phi _{u,t}(\phi _{s,u}(x))=\phi _{s,t}(x)}$

fuera de un conjunto nulo independiente de . ${\displaystyle s,u,t}$

El Teorema del Límite Universal reduce una vez más este problema a si existe el camino aproximado browniano y satisface la propiedad multiplicativa de que para todo , ${\displaystyle \mathbf {B_{s,t}} }$ ${\displaystyle s\leq u\leq t}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,u}\otimes \mathbf {B} _{u,t}=\mathbf {B} _{s,t}}$

fuera de un conjunto nulo independiente de , y . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t}$

De hecho, la teoría de trayectorias aproximadas establece la existencia y unicidad no sólo de fuera de un conjunto nulo independiente de , y sino también de la deriva y la volatilidad . ${\displaystyle \phi _{s,t}(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$

Como en el caso de la teoría de Freidlin-Wentzell, esta estrategia es válida no sólo para ecuaciones diferenciales impulsadas por el movimiento browniano, sino para cualquier proceso estocástico que pueda mejorarse como trayectorias aproximadas.

Camino irregular controlado

Las trayectorias rugosas controladas, introducidas por M. Gubinelli, ^[5] son ​​trayectorias para las cuales la integral rugosa ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

se puede definir para una trayectoria geométrica aproximada dada . ${\displaystyle X}$

Más precisamente, denotemos el espacio de aplicaciones lineales acotadas de un espacio de Banach a otro espacio de Banach . ${\displaystyle L(V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Dado un camino aproximado geométrico ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$

en , una ruta controlada es una función tal que y que existe tal que para todos y , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} _{s}=(\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma \rfloor })}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}:[0,1]\rightarrow L((\mathbb {R} ^{d})^{\otimes j+1},\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,\lfloor \gamma \rfloor }$

${\displaystyle \Vert \mathbf {Y} _{s}^{j}\Vert \leq M}$

y

${\displaystyle \left\|\mathbf {Y} _{t}^{j}-\sum _{i=0}^{\lfloor \gamma \rfloor -j}\mathbf {Y} _{s}^{j+i}\mathbf {X} _{s,t}^{i}\right\|\leq M|t-s|^{\frac {\gamma -j}{p}}.}$

Ejemplo: Labio(gamma) función

Sea un camino aproximado geométrico que satisface la condición de Hölder de que existe , para todos y para todos , ${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle j=1,,2,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$

${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert \leq M(t-s)^{\frac {j}{p}},}$

donde denota el componente tensorial -ésimo de . Sea . Sea una función -veces diferenciable y la derivada -ésima es Hölder, entonces ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \gamma \geq 1}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \gamma -\lfloor \gamma \rfloor }$

${\displaystyle (f(\mathbf {X} _{s}^{1}),Df(\mathbf {X} _{s}^{1}),\ldots ,D^{\lfloor \gamma \rfloor }f(\mathbf {X} _{s}^{1}))}$

es una ruta controlada. ${\displaystyle \gamma }$

La integral de una trayectoria controlada es una trayectoria controlada

Si es una ruta controlada por , entonces ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma >p-1}$

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

se define y la ruta

${\displaystyle \left(\int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u},\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma -1\rfloor }\right)}$

es una ruta controlada. ${\displaystyle \gamma }$

La solución a una ecuación diferencial controlada es una ruta controlada

Sea funciones que tienen al menos derivadas y las derivadas -ésimas son continuas en el sentido de Hölder para algún . Sea la solución de la ecuación diferencial ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \gamma -\lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \gamma >p}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=V(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}.}$

Definir

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(\cdot )=V(\cdot );}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{r+1}Y}{\mathrm {d} ^{r+1}X}}(\cdot )=D\left({\frac {\mathrm {d} ^{r}Y}{\mathrm {d} ^{r}X}}\right)(\cdot )V(\cdot ),}$

donde denota el operador derivado, entonces ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \left(Y_{t},{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(Y_{t}),{\frac {\mathrm {d} ^{2}Y}{\mathrm {d} ^{2}X}}(Y_{t}),\ldots ,{\frac {\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }Y}{\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }X}}(Y_{t})\right)}$

es una ruta controlada. ${\displaystyle \gamma }$

Firma

Sea una función continua con variación total finita. Definir ${\displaystyle X:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle S(X)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \mathrm {d} X_{s_{2}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{n}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X_{s_{n}},\ldots \right).}$

La firma de una ruta se define como . ${\displaystyle S(X)_{0,1}}$

La firma también se puede definir para trayectorias geométricas aproximadas. Sea una trayectoria geométrica aproximada y sea una secuencia de trayectorias con variación total finita tal que ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

converge en la métrica de variación a . Entonces ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \int _{s<s_{1}<\cdots <s_{N}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{N}}}$

converge como para cada . La firma de la trayectoria geométrica aproximada se puede definir como el límite de como . ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle S(X(n))_{s,t}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

La firma satisface la identidad de Chen, ^[19] que

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{s,u}\otimes S(\mathbf {X} )_{u,t}=S(\mathbf {X} )_{s,t}}$

Para todos . ${\displaystyle s\leq u\leq t}$

Núcleo de la transformación de firma

El conjunto de caminos cuya firma es la secuencia trivial, o más precisamente,

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,0,\ldots )}$

Puede caracterizarse completamente utilizando la idea de camino en forma de árbol.

Un camino aproximado geométrico es similar a un árbol si existe una función continua tal que y para todos y todos , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle h:[0,1]\rightarrow [0,\infty )}$ ${\displaystyle h(0)=h(1)=0}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$

${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert ^{p}\leq h(t)+h(s)-2\inf _{u\in [s,t]}h(u)}$

donde denota el -ésimo componente tensor de . ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Una trayectoria geométrica aproximada satisface si y sólo si es similar a un árbol. ^{[20] [21]} ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Dada la firma de una ruta, es posible reconstruir la ruta única que no tiene partes similares a árboles. ^{[22] [23]}

Dimensiones infinitas

También es posible extender los resultados básicos de la teoría de trayectorias aproximadas a dimensiones infinitas, siempre que la norma del álgebra tensorial satisfaga cierta condición de admisibilidad. ^[24]

Referencias

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2. Lyons, Terry ; Qian, Zhongmin (2002). Control de sistemas y caminos irregulares . Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. doi :10.1093/acprof:oso/9780198506485.001.0001. ISBN 9780198506485.Zbl 1029.93001  .
3. Lyons, Terry; Caruana, Michael; Levy, Thierry (2007). Ecuaciones diferenciales impulsadas por trayectorias irregulares, vol. 1908 de Lecture Notes in Mathematics . Springer.
4. Lejay, A. (2003). "Una introducción a los caminos difíciles". Seminario de Probabilidades XXXVII . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1832, págs. 1–59. doi :10.1007/978-3-540-40004-2_1. ISBN 978-3-540-20520-3. Número de identificación del sujeto  12401468.
5. Gubinelli, Massimiliano (noviembre de 2004). "Controlar caminos difíciles". Revista de análisis funcional . 216 (1): 86-140. doi :10.1016/J.JFA.2004.01.002. ISSN  0022-1236. S2CID  119717942. Zbl  1058.60037. Wikidata  Q56689330.
6. Friz, Peter K. ; Victoir, Nicolas (2010). Procesos estocásticos multidimensionales como caminos irregulares: teoría y aplicaciones . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press.
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