Lente de Lüneburg

Lente de índice de gradiente esféricamente simétrica

Sección transversal de la lente de Luneburg estándar, con sombreado azul proporcional al índice de refracción

Una lente de Luneburg ( lente de Lüneburg original alemana ) es una lente de índice de gradiente esféricamente simétrica . El índice de refracción n de una lente de Luneburg típica disminuye radialmente desde el centro hacia la superficie exterior. Se pueden fabricar para su uso con radiación electromagnética, desde luz visible hasta ondas de radio .

Para ciertos perfiles de índice, la lente formará imágenes geométricas perfectas de dos esferas concéntricas dadas entre sí. Hay una infinidad de perfiles de índice de refracción que pueden producir este efecto. La solución más simple fue propuesta por Rudolf Luneburg en 1944. ^[1] La solución de Luneburg para el índice de refracción crea dos focos conjugados fuera de la lente. La solución toma una forma simple y explícita si un punto focal se encuentra en el infinito y el otro en la superficie opuesta de la lente. J. Brown y AS Gutman propusieron posteriormente soluciones que generan un punto focal interno y otro externo. ^{[2] [3]} Estas soluciones no son únicas; el conjunto de soluciones está definido por un conjunto de integrales definidas que deben evaluarse numéricamente. ^[4]

Diseños

La solución de Luneburg

Una lente de Luneburg convierte una fuente puntual en un haz colimado cuando la fuente se coloca en su borde.

Cada punto de la superficie de una lente de Luneburg ideal es el punto focal de la radiación paralela que incide en el lado opuesto. Idealmente, la constante dieléctrica del material que compone la lente cae de 2 en su centro a 1 en su superficie (o equivalentemente, el índice de refracción cae de a 1), según ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}}}={\sqrt {2-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}},}$

¿Dónde está el radio de la lente? Debido a que el índice de refracción en la superficie es el mismo que el del medio circundante, no se produce reflexión en la superficie. Dentro de la lente, los caminos de los rayos son arcos de elipses . ${\displaystyle R}$

Lente ojo de pez de Maxwell

Sección transversal de la lente ojo de pez de Maxwell, con un sombreado azul que representa un índice de refracción creciente

La lente ojo de pez de Maxwell es también un ejemplo de la lente de Luneburg generalizada. El ojo de pez, que fue descrito completamente por primera vez por Maxwell en 1854 ^[5] (y por lo tanto es anterior a la solución de Luneburg), tiene un índice de refracción que varía según

${\displaystyle n(r)={\sqrt {\epsilon _{r}}}={\frac {n_{0}}{1+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}},}$

donde es el índice de refracción en el centro de la lente y es el radio de la superficie esférica de la lente. ^[6] El índice de refracción en la superficie de la lente es . La lente visualiza cada punto de la superficie esférica hasta el punto opuesto de la superficie. Dentro de la lente, las trayectorias de los rayos son arcos de círculo. ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{0}/2}$

Publicación y atribución

Las propiedades de esta lente se describen en uno de varios problemas o acertijos publicados en el Cambridge and Dublin Mathematical Journal de 1853 . ^[7] El desafío es encontrar el índice de refracción en función del radio, dado que un rayo describe una trayectoria circular, y además probar las propiedades de enfoque de la lente. La solución se da en la edición de 1854 de la misma revista. ^[5] Los problemas y las soluciones se publicaron originalmente de forma anónima, pero la solución de este problema (y de otro más) se incluyó en The Scientific Papers of James Clerk Maxwell de Niven , ^[8] que se publicó 11 años después de la muerte de Maxwell.

Aplicaciones

En la práctica, las lentes de Luneburg son normalmente estructuras en capas de capas concéntricas discretas, cada una con un índice de refracción diferente. Estas capas forman un perfil de índice de refracción escalonado que difiere ligeramente de la solución de Luneburg. Este tipo de lente se emplea normalmente para frecuencias de microondas , especialmente para construir antenas de microondas eficientes y estándares de calibración de radar . Los análogos cilíndricos de la lente de Luneburg también se utilizan para colimar la luz de diodos láser .

Reflector de radar

Reflectores de Luneburg (la protuberancia marcada) en un F-35

Se puede fabricar un reflector de radar a partir de una lente de Luneburg metalizando partes de su superficie. La radiación de un transmisor de radar distante se enfoca en la parte inferior de la metalización en el lado opuesto de la lente; aquí se refleja y se vuelve a enfocar en la estación de radar. Una dificultad con este esquema es que las regiones metalizadas bloquean la entrada o salida de radiación en esa parte de la lente, pero las regiones no metalizadas dan como resultado un punto ciego en el lado opuesto.

A veces se colocan reflectores de radar tipo lente Luneburg extraíbles en aviones militares para hacer visibles los aviones furtivos durante las operaciones de entrenamiento o para ocultar su verdadera firma de radar. A diferencia de otros tipos de reflectores de radar, su forma no afecta al manejo del avión. ^{[9] [10]}

antena de microondas

Radar 3D tipo 984 en el HMS  Victorious , 1961, usando una lente Luneburg

Se puede utilizar una lente de Luneburg como base para una antena de radio de alta ganancia. Esta antena es comparable a una antena parabólica , pero utiliza la lente en lugar de un reflector parabólico como elemento de enfoque principal. Al igual que con la antena parabólica, se coloca en el foco una alimentación hacia el receptor o desde el transmisor, y la alimentación normalmente consiste en una antena de bocina . El centro de fase de la bocina de alimentación debe coincidir con el punto de enfoque, pero como el centro de fase está invariablemente algo dentro de la boca de la bocina, no se puede acercar directamente a la superficie de la lente. En consecuencia, es necesario utilizar una variedad de lentes de Luneburg que enfoquen un poco más allá de su superficie, ^[11] en lugar de las lentes clásicas con el enfoque en la superficie.

Una antena de lente Luneburg ofrece una serie de ventajas sobre un plato parabólico. Debido a que la lente es esféricamente simétrica, la antena se puede dirigir moviendo la alimentación alrededor de la lente, sin tener que girar físicamente toda la antena. Nuevamente, debido a que la lente es esféricamente simétrica, se puede usar una sola lente con varias alimentaciones mirando en direcciones muy diferentes. Por el contrario, si se utilizan múltiples alimentaciones con un reflector parabólico, todas deben estar dentro de un pequeño ángulo del eje óptico para evitar sufrir coma (una forma de desenfoque). Aparte de los sistemas desplazados , las antenas parabólicas sufren porque la alimentación y su estructura de soporte oscurecen parcialmente el elemento principal ( bloqueo de apertura ); Al igual que otros sistemas de refracción, la antena de lente de Luneburg evita este problema.

Una variación de la antena de lente de Luneburg es la antena de lente de Luneburg hemisférica o la antena reflectora de Luneburg . Esto utiliza solo un hemisferio de una lente de Luneburg, con la superficie cortada de la esfera descansando sobre un plano de tierra metálico reflectante . La disposición reduce a la mitad el peso de la lente y el plano de tierra proporciona un medio de soporte conveniente. Sin embargo, la alimentación oscurece parcialmente la lente cuando el ángulo de incidencia sobre el reflector es inferior a aproximadamente 45°.

Trayectoria de un rayo dentro de la lente.

Para cualquier lente esféricamente simétrica, cada rayo se encuentra completamente en un plano que pasa por el centro de la lente. La dirección inicial del rayo define una línea que junto con el punto central de la lente identifica un plano que biseca la lente. Al ser un plano de simetría de la lente, el gradiente del índice de refracción no tiene ninguna componente perpendicular a este plano que haga que el rayo se desvíe ni hacia un lado del mismo ni hacia el otro. En el plano, la simetría circular del sistema hace conveniente utilizar coordenadas polares para describir la trayectoria del rayo. ${\displaystyle (r,\theta )}$

Dados dos puntos cualesquiera de un rayo (como el punto de entrada y salida de la lente), el principio de Fermat afirma que el camino que sigue el rayo entre ellos es el que puede recorrer en el menor tiempo posible. Dado que la velocidad de la luz en cualquier punto de la lente es inversamente proporcional al índice de refracción, y según Pitágoras , el tiempo de tránsito entre dos puntos y es ${\displaystyle (r_{1},\theta _{1})}$ ${\displaystyle (r_{2},\theta _{2})}$

${\displaystyle T=\int _{(r_{1},\theta _{1})}^{(r_{2},\theta _{2})}{\frac {n(r)}{c}}{\sqrt {(r\,d\theta )^{2}+dr^{2}}}={\frac {1}{c}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}n(r){\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta ,}$

¿Dónde está la velocidad de la luz en el vacío? Minimizar esto produce una ecuación diferencial de segundo orden que determina la dependencia de on a lo largo de la trayectoria del rayo. Este tipo de problema de minimización ha sido ampliamente estudiado en la mecánica lagrangiana y existe una solución preparada en la forma de la identidad de Beltrami , que proporciona inmediatamente la primera integral de esta ecuación de segundo orden. Sustituyendo (donde representa ), en esta identidad se obtiene ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle L(r,r')=n(r){\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle {\tfrac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle n(r){\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}-n(r){\frac {r'^{2}}{\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}}=h,}$

donde es una constante de integración . Esta ecuación diferencial de primer orden es separable , es decir, se puede reordenar de manera que solo aparezca en un lado, y solo en el otro: ^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {h}{r{\sqrt {{\big (}n(r){\big )}^{2}r^{2}-h^{2}}}}}\,dr.}$

El parámetro es una constante para cualquier rayo dado, pero difiere entre rayos que pasan a diferentes distancias del centro de la lente. Para los rayos que pasan por el centro, es cero. En algunos casos especiales, como el ojo de pez de Maxwell, esta ecuación de primer orden se puede integrar aún más para dar una fórmula para en función de . En general, proporciona las tasas de cambio relativas de y , que pueden integrarse numéricamente para seguir la trayectoria del rayo a través de la lente. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$

Ver también

• lente esférica
• Satélite BLITS (Ball Lens In The Space)
• Las lentes gravitacionales también tienen un índice de refracción que disminuye radialmente.

Referencias

1. Luneburg, RK (1944). Teoría Matemática de la Óptica . Providence, Rhode Island: Universidad de Brown. págs. 189-213.
2. Marrón, J. (1953). Ingeniero inalámbrico . 30 : 250. {{cite journal}}: Falta o está vacío |title=( ayuda )
3. Gutman, AS (1954). "Lente Luneberg modificada". J. Aplica. Física . 25 (7): 855–859. Código Bib : 1954JAP....25..855G. doi : 10.1063/1.1721757.
4. Morgan, SP (1958). "Solución general al problema de las lentes de Luneburg". J. Aplica. Física . 29 (9): 1358-1368. Código Bib : 1958JAP....29.1358M. doi :10.1063/1.1723441. S2CID  119949981.
5. "Soluciones de problemas (prob. 3, vol. VIII. p. 188)". Revista matemática de Cambridge y Dublín . 9 . Macmillan: 9-11. 1854.
6. Badri, S Hadi y Gilarlue, MM (2019). "La lente ojo de pez de Maxwell como acoplador de potencia eficiente entre guías de ondas de cristal fotónico diferentes". Optik . 185 . Elsevier: 566–570. arXiv : 1904.01242 . Código Bib : 2019Optik.185..566B. doi :10.1016/j.ijleo.2019.03.163. S2CID  91184610.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
7. "Problemas (3)". Revista matemática de Cambridge y Dublín . 8 . Macmillan: 188, 1853.
8. Niven, ed. (1890). Los artículos científicos de James Clerk Maxwell. Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 76.
9. "Mirando a través de una lente de Luneburg". www.eahison.com . 2019-08-08. Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2021 . Consultado el 5 de abril de 2021 .
10. Lockie, Alex (5 de mayo de 2017). "Esta extraña modificación del F-35 acaba con su sigilo cerca de las defensas rusas, y hay buenas razones para ello". Business Insider . Archivado desde el original el 25 de diciembre de 2023.
11. Mira, YouTube ; Lee, SW (1993). Manual de antenas: teoría de las antenas. Saltador. pag. 40.ISBN​ 9780442015930.

enlaces externos

• Animación de propagación a través de una lente Luneburg (antena dieléctrica) de YouTube
• Animación de la lente ojo de pez de Maxwell de YouTube
• Animación de una lente ojo de pez de Half Maxwell (antena dieléctrica) de YouTube