colector lento

En matemáticas , la variedad lenta de un punto de equilibrio de un sistema dinámico ocurre como el ejemplo más común de variedad central . Uno de los principales métodos para simplificar sistemas dinámicos es reducir la dimensión del sistema a la de la variedad lenta; la teoría de la variedad central justifica rigurosamente el modelado. ^{[1] [2]} Por ejemplo, algunos modelos globales y regionales de la atmósfera o los océanos resuelven la llamada dinámica de flujo cuasi-geostrófica en la lenta variedad de la dinámica atmósfera/oceánica, ^[3] y, por lo tanto, es crucial para pronosticar con un modelo climático .

En algunos casos, una variedad lenta se define como la variedad invariante en la que la dinámica es lenta en comparación con la dinámica fuera de la variedad. La variedad lenta en un problema particular sería una subvariedad de la variedad estable, inestable o central, exclusivamente, que tiene la misma dimensión y es tangente al espacio propio con un valor propio asociado (o par de valores propios) que tiene la parte real más pequeña en magnitud. Esto generaliza la definición descrita en el primer párrafo. Además, se podría definir la variedad lenta como tangente a más de un espacio propio eligiendo un punto de corte en una ordenación de los valores propios de la parte real en magnitud de menor a mayor. En la práctica, hay que tener cuidado de ver qué definición sugiere la literatura.

Definición

Considere el sistema dinámico.

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {f}}({\vec {x}})}$

para un vector de estado en evolución y con punto de equilibrio . Entonces la linealización del sistema en el punto de equilibrio es ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}^{*}}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=A{\vec {x}}\quad {\text{where }}A={\frac {d{\vec {f}}}{d{\vec {x}}}}({\vec {x}}^{*}).}$

La matriz define cuatro subespacios invariantes caracterizados por los valores propios de la matriz: como se describe en la entrada para la variedad central, tres de los subespacios son los subespacios estable, inestable y central correspondientes al lapso de los vectores propios con valores propios que tienen parte real negativa. positivo y cero, respectivamente; el cuarto subespacio es el subespacio lento dado por la extensión de los vectores propios y los vectores propios generalizados , que corresponden precisamente al valor propio (más generalmente, ^[4] correspondiente a todos los valores propios separados por un espacio de todos los demás valores propios, aquellos con ). El subespacio lento es un subespacio del subespacio central, o idéntico a él, o posiblemente vacío. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle |\lambda |\leq \alpha }$ ${\displaystyle |\lambda |\geq \beta >r\alpha }$

En consecuencia, el sistema no lineal tiene variedades invariantes , formadas por trayectorias del sistema no lineal, correspondientes a cada uno de estos subespacios invariantes. Existe una variedad invariante tangente al subespacio lento y de la misma dimensión; esta variedad es la variedad lenta .

También existen variedades estocásticas lentas para sistemas dinámicos ruidosos ( ecuación diferencial estocástica ), al igual que variedades estocásticas centrales, estables e inestables. ^[5] Estas variedades estocásticas lentas son igualmente útiles para modelar dinámicas estocásticas emergentes, pero hay muchas cuestiones fascinantes que resolver, como la historia y las futuras integrales dependientes del ruido. ^{[6] [7]}

Ejemplos

Caso simple con dos variables.

El sistema acoplado en dos variables y ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-xy\quad {\text{ and }}\quad {\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}}$

tiene la variedad lenta exacta en la que se encuentra la evolución . Aparte de los transitorios que decaen exponencialmente, esta variedad lenta y su evolución captura todas las soluciones que se encuentran en las proximidades del origen. ^[8] La vecindad de atracción es, aproximadamente, al menos el medio espacio . ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle dx/dt=-x^{3}}$ ${\displaystyle y>-1/2}$

Dinámica lenta entre ondas rápidas

Edward Norton Lorenz introdujo el siguiente sistema dinámico de cinco ecuaciones en cinco variables para explorar la noción de una variedad lenta de flujo cuasigeostrófico ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dt}}&=-VW+bVZ,\\[6pt]{\frac {dV}{dt}}&=UW-bUZ,\\[6pt]{\frac {dW}{dt}}&=-UV,\\[6pt]{\frac {dX}{dt}}&=-Z,\\[6pt]{\frac {dZ}{dt}}&=X+bUV.\end{aligned}}}$

Linealizado con respecto al origen, el valor propio cero tiene multiplicidad tres, y hay un par conjugado complejo de valores propios ,. Por tanto, existe una variedad lenta tridimensional (rodeada de ondas "rápidas" en las variables y ). ¡Lorenz argumentó más tarde que no existía una variedad lenta! ^[10] Pero los argumentos de la forma normal ^[11] sugieren que existe un sistema dinámico que está exponencialmente cerca del sistema de Lorenz para el cual existe una buena variedad lenta. ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

Eliminar una infinidad de variables

En el modelado pretendemos simplificar enormemente. Este ejemplo utiliza una variedad lenta para simplificar la dinámica de 'dimensión infinita' de una ecuación diferencial parcial a un modelo de una ecuación diferencial ordinaria . Considere un campo sometido a difusión no lineal. ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\quad {\text{on the domain }}-1<x<1}$

con condiciones de contorno de Robin

${\displaystyle 2bu\pm (1-b){\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad {\text{on }}x=\pm 1.}$

Parametrizar las condiciones de contorno nos permite cubrir el caso de la condición de contorno de Neumann aislante , el caso de la condición de contorno de Dirichlet y todos los casos intermedios. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle b=1}$

Ahora, un truco maravilloso, muy utilizado para explorar la dinámica con la teoría de la bifurcación . Dado que el parámetro es constante, agregue la ecuación diferencial trivialmente verdadera ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {\partial b}{\partial t}}=0}$

Entonces, en el espacio de estados extendido del campo y parámetro en evolución, existe una infinidad de equilibrios, no solo un equilibrio, con (aislante) y constante, digamos . Sin entrar en detalles, en todos y cada uno de los equilibrios la difusión linealizada tiene dos valores propios cero y el resto son negativos (menores que ). Así, la dinámica bidimensional en las variedades lentas emerge (ver emergencia ) de la difusión no lineal sin importar cuán complicadas sean las condiciones iniciales. ${\displaystyle (b,u(x))}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle u=}$ ${\displaystyle u=a}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle -\pi ^{2}a/4}$

Aquí se puede verificar directamente que la variedad lenta es precisamente el campo donde la amplitud evoluciona de acuerdo con ${\displaystyle u(x,t)=a(t)(1-bx^{2})}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {da}{dt}}=-2a^{2}b\quad {\text{and }}{\frac {db}{dt}}=0.}$

Es decir, después de los transitorios iniciales que por difusión suavizan las estructuras internas, el comportamiento emergente es uno de caída relativamente lenta de la amplitud ( ) a una velocidad controlada por el tipo de condición de contorno (constante ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Observe que este modelo de variedad lenta es global ya que cada equilibrio está necesariamente en el subespacio lento de cada uno de los demás equilibrios, pero solo es local en el parámetro . Todavía no podemos estar seguros de qué tan grande se puede tomar, pero la teoría nos asegura que los resultados son válidos para algún parámetro finito . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Quizás la variedad lenta estocástica no trivial más simple

El modelado estocástico es mucho más complicado; este ejemplo ilustra sólo una de esas complicaciones. Considere para un parámetro pequeño las dos variables dinámicas de este sistema lineal forzado con ruido del paseo aleatorio : ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle W(t)}$

${\displaystyle dx=\varepsilon y\,dt\quad {\text{and}}\quad dy=-y\,dt+dW\,.}$

Se podría simplemente observar que el proceso Ornstein-Uhlenbeck es formalmente la historia integral ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)}$

y luego afirmar que es simplemente la integral de esta integral histórica. Sin embargo, esta solución contiene de manera inapropiada integrales de tiempo rápidas, debido a la presencia del integrando, en un modelo de tiempo supuestamente largo. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \exp(s-t)}$

Alternativamente, una transformación de coordenadas estocástica extrae un modelo sólido para la dinámica a largo plazo. Cambiar variables a donde ${\displaystyle (X(t),Y(t))}$

${\displaystyle y=Y+\int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)\quad {\text{and}}\quad x=X-\varepsilon Y-\varepsilon \int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)}$

entonces las nuevas variables evolucionan de acuerdo con la simple

${\displaystyle dX=\varepsilon \,dW\quad {\text{and}}\quad dY=-Y\,dt.}$

En estas nuevas coordenadas podemos deducir fácilmente exponencialmente rápidamente, dejando que la caminata aleatoria sea el modelo a largo plazo de la dinámica estocástica en la variedad estocástica lenta obtenida estableciendo . ${\displaystyle Y(t)\to 0}$ ${\displaystyle X(t)=\epsilon W(t)}$ ${\displaystyle Y=0}$

Un servicio web construye variedades tan lentas en dimensiones finitas, tanto deterministas como estocásticas. ^[12]

Ver también

• Ecuaciones cuasigeostróficas

Referencias

1. J. Carr, Aplicaciones de la teoría de la variedad central , Matemáticas Aplicadas. Ciencia. 35 , 1981, Springer-Verlag
2. YA Kuznetsov, Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada , Ciencias Matemáticas Aplicadas 112 , 1995, Springer-Verlag
3. R. Camassa, Sobre la geometría de una variedad lenta atmosférica, Physica D , 84 :357–397, 1995.
4. Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". Análisis no lineal . 40 (1–8): 91–104. doi :10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
5. Ludwig Arnold, Sistemas dinámicos aleatorios , Monografías de Springer en Matemáticas, 2003.
6. AJ Roberts, La forma normal transforma modos lentos y rápidos separados en sistemas dinámicos estocásticos, Physica A 387 : 12–38, 2008.
7. Ludwig Arnold y Peter Imkeller, Formas normales para ecuaciones diferenciales estocásticas, Probab. Relación teórica. Campos , 110 : 559–588, 1998.
8. AJ Roberts, Ejemplos sencillos de derivación de ecuaciones de amplitud para sistemas de ecuaciones que poseen bifurcaciones, J. Austral. Matemáticas. Soc. B , 27 , 48–65, 1985.
9. EN Lorenz, Sobre la existencia de una variedad lenta, Journal of the Atmospheric Sciences 43 :1547–1557, 1986.
10. E. Lorenz y Krishnamurty, Sobre la inexistencia de una variedad lenta, J. Atmos. Ciencia. 44 : 2940–2950, ​​1987.
11. James Murdock, Formas normales y desarrollos de sistemas dinámicos locales, Springer Monographs in Mathematics, 2003, Springer
12. AJ Roberts, Forma normal de ecuaciones diferenciales multiescala estocásticas o deterministas , http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html, 2009.