La teoría de conjuntos internos ( IST ) es una teoría matemática de conjuntos desarrollada por Edward Nelson que proporciona una base axiomática para una parte del análisis no estándar introducido por Abraham Robinson . En lugar de agregar nuevos elementos a los números reales , el enfoque de Nelson modifica los fundamentos axiomáticos a través del enriquecimiento sintáctico. Por lo tanto, los axiomas introducen un nuevo término, "estándar", que puede usarse para hacer discriminaciones que no son posibles bajo los axiomas convencionales de ZFC para conjuntos . Por lo tanto, la IST es un enriquecimiento de ZFC : todos los axiomas de ZFC se satisfacen para todos los predicados clásicos, mientras que el nuevo predicado unario "estándar" satisface tres axiomas adicionales I, S y T. En particular, se puede demostrar que los elementos no estándar adecuados dentro del conjunto de números reales tienen propiedades que corresponden a las propiedades de los elementos infinitesimales e ilimitados.
La formulación de Nelson se hace más accesible para el matemático lego al dejar de lado muchas de las complejidades de la lógica metamatemática que inicialmente se requirieron para justificar rigurosamente la consistencia de los sistemas numéricos que contienen elementos infinitesimales.
Si bien la TSI tiene un esquema axiomático perfectamente formal, que se describe a continuación, es deseable una justificación intuitiva del significado del término estándar . Esto no es parte de la teoría formal, sino un recurso pedagógico que podría ayudar al estudiante a interpretar el formalismo. La distinción esencial, similar al concepto de números definibles , contrasta la finitud del dominio de conceptos que podemos especificar y discutir, con la infinitud ilimitada del conjunto de números; compárese con finitismo .
Por lo tanto, intuitivamente se toma el término estándar como correspondiente a una porción necesariamente finita de números enteros "accesibles". El argumento se puede aplicar a cualquier conjunto infinito de objetos: sólo hay una cierta cantidad de elementos que se pueden especificar en un tiempo finito utilizando un conjunto finito de símbolos y siempre hay algunos que están más allá de los límites de nuestra paciencia y resistencia, sin importar cuánto perseveremos. Debemos admitir que existe una profusión de elementos no estándar -demasiado grandes o demasiado anónimos para comprenderlos- dentro de cualquier conjunto infinito.
Los siguientes principios se desprenden de la motivación intuitiva antes mencionada y, por lo tanto, deberían deducirse de los axiomas formales. Por el momento, consideramos que el dominio de discusión es el conjunto familiar de números enteros.
La IST es una teoría axiomática en la lógica de primer orden con igualdad en un lenguaje que contiene un símbolo de predicado binario ∈ y un símbolo de predicado unario st( x ). Las fórmulas que no involucran st (es decir, fórmulas del lenguaje habitual de la teoría de conjuntos) se denominan internas, las demás fórmulas se denominan externas. Usamos las abreviaturas
IST incluye todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Nótese que los esquemas ZFC de separación y reemplazo no se extienden al nuevo lenguaje, solo se pueden usar con fórmulas internas. Además, IST incluye tres nuevos esquemas de axiomas, convenientemente uno para cada inicial en su nombre: I dealisation, Standardisation y T ransfer.
El enunciado de este axioma comprende dos implicaciones. La implicación de derecha a izquierda puede reformularse con la simple afirmación de que los elementos de los conjuntos finitos estándar son estándar. La implicación de izquierda a derecha, más importante, expresa que la colección de todos los conjuntos estándar está contenida en un conjunto finito (no estándar) y, además, se puede considerar que este conjunto finito satisface cualquier propiedad interna dada compartida por todos los conjuntos finitos estándar.
Este esquema axiomático muy general sostiene la existencia de elementos "ideales" en circunstancias apropiadas. Tres aplicaciones particulares demuestran consecuencias importantes.
Si S es estándar y finito, tomamos para la relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g está en S . Puesto que " Para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " es falso (no existe tal g cuando F = S ), podemos usar la Idealización para decirnos que " Hay un G en S tal que G ≠ f para todo f estándar " también es falso, es decir, todos los elementos de S son estándar.
Si S es infinito, entonces tomamos para la relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g está en S . Puesto que " Para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " (el conjunto infinito S no es un subconjunto del conjunto finito F ), podemos usar la idealización para derivar " Hay un G en S tal que G ≠ f para todo f estándar ". En otras palabras, cada conjunto infinito contiene un elemento no estándar (muchos, de hecho).
El conjunto potencia de un conjunto finito estándar es estándar (por transferencia) y finito, por lo que todos los subconjuntos de un conjunto finito estándar son estándar.
Si S no es estándar, tomamos para la relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g está en S . Dado que " Para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " (el conjunto no estándar S no es un subconjunto del conjunto estándar y finito F ), podemos usar la idealización para derivar " Hay un G en S tal que G ≠ f para todo f estándar ". En otras palabras, cada conjunto no estándar contiene un elemento no estándar.
Como consecuencia de todos estos resultados, todos los elementos de un conjunto S son estándar si y sólo si S es estándar y finito.
Dado que " Para cada conjunto estándar y finito de números naturales F existe un número natural g tal que g > f para todo f en F " –por ejemplo, g = máximo( F ) + 1– podemos usar la idealización para derivar " Existe un número natural G tal que G > f para todos los números naturales estándar f ". En otras palabras, existe un número natural mayor que cada número natural estándar.
Más precisamente, tomamos para R ( g , f ): g es un conjunto finito que contiene el elemento f . Dado que " Para cada conjunto finito estándar F, existe un conjunto finito g tal que f ∈ g para todo f en F " – digamos eligiendo g = F mismo – podemos usar la idealización para derivar " Existe un conjunto finito G tal que f ∈ G para todo f estándar ". Para cualquier conjunto S , la intersección de S con el conjunto G es un subconjunto finito de S que contiene cada elemento estándar de S . G es necesariamente no estándar.
Aparte de las motivaciones intuitivas sugeridas anteriormente, es necesario justificar que los axiomas IST adicionales no conducen a errores o inconsistencias en el razonamiento. Los errores y las debilidades filosóficas en el razonamiento sobre números infinitesimales en el trabajo de Gottfried Leibniz , Johann Bernoulli , Leonhard Euler , Augustin-Louis Cauchy y otros fueron la razón por la que originalmente se abandonaron por los argumentos basados en números reales más engorrosos [ cita requerida ] desarrollados por Georg Cantor , Richard Dedekind y Karl Weierstrass , que fueron percibidos como más rigurosos por los seguidores de Weierstrass.
El enfoque para la teoría de conjuntos internos es el mismo que para cualquier sistema axiomático nuevo: construimos un modelo para los nuevos axiomas utilizando los elementos de un esquema axiomático más simple y confiable. Esto es bastante similar a justificar la consistencia de los axiomas de la geometría elíptica no euclidiana al señalar que pueden modelarse mediante una interpretación apropiada de los círculos máximos en una esfera en el espacio tridimensional ordinario.
De hecho, mediante un modelo adecuado se puede dar una prueba de la consistencia relativa de IST en comparación con ZFC: si ZFC es consistente, entonces IST es consistente. De hecho, se puede hacer una afirmación más contundente: IST es una extensión conservadora de ZFC: cualquier fórmula interna que pueda probarse dentro de la teoría de conjuntos internos puede probarse en los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección únicamente. [1]
Karel Hrbacek y otros desarrollaron teorías similares .
