Onda S

Tipo de onda corporal elástica

En sismología y otras áreas que involucran ondas elásticas, las ondas S , ondas secundarias u ondas de corte (a veces llamadas ondas S elásticas ) son un tipo de onda elástica y son uno de los dos tipos principales de ondas corporales elásticas , llamadas así porque se mueven a través del cuerpo de un objeto, a diferencia de las ondas superficiales . ^[1]

Las ondas S son ondas transversales , lo que significa que la dirección del movimiento de las partículas de una onda S es perpendicular a la dirección de propagación de la onda, y la principal fuerza restauradora proviene del esfuerzo cortante . ^[2] Por lo tanto, las ondas S no pueden propagarse en líquidos ^{[3] con} viscosidad cero (o muy baja) ; sin embargo, pueden propagarse en líquidos con alta viscosidad. ^{[4] [5]}

El nombre de onda secundaria proviene del hecho de que son el segundo tipo de onda que se detecta mediante un sismógrafo de terremotos , después de la onda primaria compresiva , u onda P , porque las ondas S viajan más lentamente en sólidos. A diferencia de las ondas P, las ondas S no pueden viajar a través del núcleo externo fundido de la Tierra, y esto causa una zona de sombra para las ondas S opuesta a su origen. Aún pueden propagarse a través del núcleo interno sólido : cuando una onda P golpea el límite de los núcleos fundido y sólido en un ángulo oblicuo, se formarán ondas S y se propagarán en el medio sólido. Cuando estas ondas S golpean el límite nuevamente en un ángulo oblicuo, a su vez crearán ondas P que se propagarán a través del medio líquido. Esta propiedad permite a los sismólogos determinar algunas propiedades físicas del núcleo interno de la Tierra. ^[6]

Historia

En 1830, el matemático Siméon Denis Poisson presentó a la Academia Francesa de Ciencias un ensayo ("memorias") con una teoría de la propagación de ondas elásticas en sólidos. En sus memorias, afirma que un terremoto produciría dos ondas diferentes: una con una velocidad determinada y la otra con una velocidad . A una distancia suficiente de la fuente, cuando pueden considerarse ondas planas en la región de interés, las primeras consisten en expansiones y compresiones en la dirección perpendicular al frente de onda (es decir, paralelas a la dirección de movimiento de la onda); mientras que las segundas consisten en movimientos de estiramiento que ocurren en direcciones paralelas al frente (perpendiculares a la dirección del movimiento). ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$

Teoría

Medio isotrópico

Velocidad de las ondas sísmicas en la Tierra en función de la profundidad. La velocidad despreciable de las ondas S en el núcleo externo se debe a que es líquido, mientras que en el núcleo interno sólido la velocidad de las ondas S no es cero.

Para los fines de esta explicación, un medio sólido se considera isótropo si su deformación (deformación) en respuesta a la tensión es la misma en todas las direcciones. Sea el vector de desplazamiento de una partícula de dicho medio desde su posición de "reposo" debido a las vibraciones elásticas, entendidas como una función de la posición de reposo y del tiempo . La deformación del medio en ese punto puede describirse mediante el tensor de deformación , la matriz 3×3 cuyos elementos son ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$ $${\displaystyle e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

donde denota la derivada parcial con respecto a la coordenada de posición . El tensor de deformación está relacionado con el tensor de tensión 3×3 mediante la ecuación ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$$

Aquí está el delta de Kronecker (1 si , 0 en caso contrario) y y son los parámetros de Lamé ( siendo el módulo de corte del material ). De ello se deduce que ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

De la ley de inercia de Newton se obtiene también donde es la densidad (masa por unidad de volumen) del medio en ese punto, y denota la derivada parcial con respecto al tiempo. Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene la ecuación de onda sísmica en medios homogéneos $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \partial _{t}}$ $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}}$$

Utilizando la notación del operador nabla del cálculo vectorial , con algunas aproximaciones, esta ecuación se puede escribir como ${\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})}$ $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

Tomando el rizo de esta ecuación y aplicando identidades vectoriales, se obtiene $${\displaystyle \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

Esta fórmula es la ecuación de onda aplicada a la cantidad vectorial , que es la deformación cortante del material. Sus soluciones, las ondas S, son combinaciones lineales de ondas planas sinusoidales de varias longitudes de onda y direcciones de propagación, pero todas con la misma velocidad . Suponiendo que el medio de propagación es lineal, elástico, isótropo y homogéneo, esta ecuación se puede reescribir como ^[8] donde ω es la frecuencia angular y k es el número de onda. Por lo tanto, . ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$ ${\displaystyle \mu =\rho \beta ^{2}=\rho \omega ^{2}/k^{2}}$ ${\displaystyle \beta =\omega /k}$

Si se toma la divergencia de la ecuación de onda sísmica en un medio homogéneo, en lugar del rizo, se obtiene una ecuación de onda que describe la propagación de la cantidad , que es la deformación por compresión del material. Las soluciones de esta ecuación, las ondas P, viajan a una velocidad que es más del doble de la velocidad de las ondas S. ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$ ${\displaystyle \beta }$

Las ondas SH de estado estable se definen mediante la ecuación de Helmholtz ^[9] donde k es el número de onda. $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0}$$

Ondas S en materiales viscoelásticos

De manera similar a lo que ocurre en un medio elástico, en un material viscoelástico , la velocidad de una onda de corte se describe mediante una relación similar , sin embargo, aquí, es un módulo de corte complejo, dependiente de la frecuencia y es la velocidad de fase dependiente de la frecuencia. ^[8] Un enfoque común para describir el módulo de corte en materiales viscoelásticos es a través del modelo de Voigt que establece: , donde es la rigidez del material y es la viscosidad. ^[8] ${\displaystyle c(\omega )=\omega /k(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )/\rho }}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c(\omega )}$ ${\displaystyle \mu (\omega )=\mu _{0}+i\omega \eta }$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \eta }$

Tecnología de ondas S

Elastografía por resonancia magnética

La elastografía por resonancia magnética (ERM) es un método para estudiar las propiedades de los materiales biológicos en organismos vivos mediante la propagación de ondas transversales a frecuencias deseadas a lo largo del tejido orgánico deseado. ^[10] Este método utiliza un vibrador para enviar las ondas transversales al tejido y una resonancia magnética para ver la respuesta en el tejido. ^[11] Luego se miden la velocidad de onda y las longitudes de onda medidas para determinar propiedades elásticas como el módulo de corte . La ERM se ha utilizado en estudios de una variedad de tejidos humanos, incluidos el hígado, el cerebro y los tejidos óseos. ^[10]

Véase también

• Alerta temprana de terremotos (Japón)
• Ondas de cordero
• Onda longitudinal
• Ola de amor
• Onda P
• Onda de Rayleigh
• Onda sísmica
• División de ondas transversales

Referencias

1. "Sismología | UPSeis | Michigan Tech". Universidad Tecnológica de Michigan . Consultado el 7 de octubre de 2023 .
2. "Onda S". Servicio Geológico de los Estados Unidos. Archivado desde el original el 22 de julio de 2021.
3. "¿Por qué las ondas S no pueden viajar a través de líquidos?". Observatorio de la Tierra de Singapur . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
4. Greenwood, Margaret Stautberg; Bamberger, Judith Ann (agosto de 2002). "Medición de la viscosidad y la velocidad de onda transversal de un líquido o suspensión para el control de procesos en línea". Ultrasonidos . 39 (9): 623–630. doi :10.1016/s0041-624x(02)00372-4. PMID  12206629.
5. "¿Los fluidos viscosos favorecen la propagación de ondas transversales?". ResearchGate . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .^{[ ¿ Fuente poco confiable? ]}
6. "Conferencia 16. Sismógrafos y el interior de la Tierra". Universidad de Illinois en Chicago. 17 de julio de 1997. Archivado desde el original el 7 de mayo de 2002. Consultado el 8 de junio de 2010 .
7. Poisson, SD (1831). "Mémoire sur la propagation du mouvement dans les milieux élastiques" [Memoria sobre la propagación del movimiento en medios elásticos]. Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France (en francés). 10 : 549–605.De p.595: " On verra aisément que cet ébranlement donnera naissance à deux ondes sphériques qui se propageront uniformément, l'une avec une vitesse a , l'autre avec une vitesse b ou a / √ 3 "... (Uno lo hará Se ve fácilmente que este terremoto dará origen a dos ondas esféricas que se propagarán uniformemente, una con una velocidad a , la otra con una velocidad b o a  /√3... ) De p.602: ... " à une grande distancia de la apertura primitiva, y cuando las ondas móviles son devenues planos sensibles en cada parte très-petite par rapport à sus superficies entières, il ne subsiste plus que des vitesses propres des molécules, normales o paralelos a estas superficies; Las vitesas normales ayant lieu dans les ondes de la première espèce, où elles sont accompagnées de dilations qui leur sont proporcionalnelles, et les vitesses paralelas appartenant aux ondes de la seconde espèce, où elles ne sont acompagnées d'aucune dilatation ou condensation de volume, mais seulement de dilatations et de condensations linéaires. " (... a gran distancia del terremoto original, y cuando las ondas en movimiento se han vuelto aproximadamente planas en cada pequeña parte en relación con toda su superficie, quedan [en el sólido elástico de la Tierra] solo las propias moléculas velocidades, normales o paralelas a estas superficies; las velocidades normales se dan en ondas del primer tipo, donde van acompañadas de expansiones proporcionales a ellas, y las velocidades paralelas pertenecen a ondas del segundo tipo, donde no van acompañadas de cualquier expansión o contracción de volumen, pero sólo mediante estiramientos y compresiones lineales.)
8. Rouze; Deng; Trutna; Palmeri; Nightengale (mayo de 2018). "Caracterización de materiales viscoelásticos mediante velocidades de ondas transversales grupales". Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos . 65 (5): 780–794. doi :10.1109/TUFFC.2018.2815505. PMC 5972540 . PMID  29733281. 
9. Graff, Karl F. (26 de abril de 2012). Movimiento ondulatorio en sólidos elásticos. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13957-9.
10. Tweten, Dennis J.; Okamoto, Ruth J.; Schmidt, John L.; Garbow, Joel R.; Bayly, Philip V. (noviembre de 2015). "Estimación de parámetros de material a partir de ondas de corte lentas y rápidas en un material incompresible, transversalmente isotrópico". Journal of Biomechanics . 48 (15): 4002–4009. doi :10.1016/j.jbiomech.2015.09.009. PMC 4663187 . PMID  26476762. 
11. "Elastografía por ondas transversales de resonancia magnética". Universidad de Utah Health. 10 de noviembre de 2021.

Lectura adicional

• Shearer, Peter (1999). Introducción a la sismología (1.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-66023-8.
• Aki, Keiiti ; Richards, Paul G. (2002). Sismología cuantitativa (2ª ed.). Libros de ciencias universitarias. ISBN 0-935702-96-2.
• Fowler, CMR (1990). La tierra sólida . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38590-3. onda S.