Martingala (teoría de la probabilidad)

Modelo en teoría de probabilidad.

En teoría de la probabilidad , una martingala es una secuencia de variables aleatorias (es decir, un proceso estocástico ) para la cual, en un momento particular, la expectativa condicional del siguiente valor en la secuencia es igual al valor actual, independientemente de todos los valores anteriores.

El movimiento browniano detenido es un ejemplo de martingala. Puede modelar un juego de apuestas de lanzamiento de moneda uniforme con posibilidad de quiebra.

Historia

Originalmente, martingala se refería a una clase de estrategias de apuestas que eran populares en la Francia del siglo XVIII . ^{[1] [2]} La más simple de estas estrategias fue diseñada para un juego en el que el jugador gana su apuesta si una moneda sale cara y la pierde si la moneda sale cruz. La estrategia hacía que el jugador duplicara su apuesta después de cada pérdida, de modo que la primera ganancia recuperara todas las pérdidas anteriores y obtuviera una ganancia igual a la apuesta original. A medida que la riqueza y el tiempo disponible del jugador se acercan conjuntamente al infinito, su probabilidad de eventualmente obtener cara se acerca a 1, lo que hace que la estrategia de apuestas martingala parezca algo seguro . Sin embargo, el crecimiento exponencial de las apuestas acaba llevando a la quiebra a sus usuarios debido a los fondos finitos. El movimiento browniano detenido , que es un proceso de martingala, se puede utilizar para modelar la trayectoria de dichos juegos.

El concepto de martingala en la teoría de la probabilidad fue introducido por Paul Lévy en 1934, aunque no le dio nombre. El término "martingala" fue introducido más tarde por Ville (1939), quien también amplió la definición a las martingalas continuas. Gran parte del desarrollo original de la teoría fue realizado por Joseph Leo Doob, entre otros. Parte de la motivación de ese trabajo fue mostrar la imposibilidad de estrategias de apuestas exitosas en los juegos de azar.

Definiciones

Una definición básica de martingala en tiempo discreto es un proceso estocástico en tiempo discreto (es decir, una secuencia de variables aleatorias ) X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ... que satisface para cualquier tiempo n ,

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}$

Es decir, el valor esperado condicional de la siguiente observación, dadas todas las observaciones pasadas, es igual a la observación más reciente.

Secuencias martingala respecto a otra secuencia

De manera más general, una secuencia Y ₁ ,  Y ₂ ,  Y ₃  ... se dice que es una martingala con respecto a otra secuencia X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃  ... si para todo n

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}$

De manera similar, una martingala de tiempo continuo con respecto al proceso estocástico X _t es un proceso estocástico Y _t tal que para todo t

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}$

Esto expresa la propiedad de que la expectativa condicional de una observación en el momento t , dadas todas las observaciones hasta el momento , es igual a la observación en el momento s (por supuesto, siempre que s  ≤  t ). La segunda propiedad implica que es mensurable con respecto a . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$

Definición general

En general, un proceso estocástico que toma valores en un espacio de Banach con norma es una martingala con respecto a una medida de filtración y probabilidad si ${\displaystyle Y:T\times \Omega \to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{S}}$ ${\displaystyle \Sigma _{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Σ _∗ es una filtración del espacio de probabilidad subyacente (Ω, Σ,  ); ${\displaystyle \mathbb {P} }$
• Y está adaptado a la filtración Σ _∗ , es decir, para cada t en el conjunto de índices T , la variable aleatoria Yt es una función _Σt - _medible ;
• para cada t , Y _t se encuentra en el espacio L p L ¹ (Ω, Σ _t ,  ;  S ), es decir ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }(\lVert Y_{t}\rVert _{S})<+\infty ;}$

• para todos s y t con s  <  t y todos F  ∈ Σ _s ,

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}$

donde χ _F denota la función indicadora del evento F . En Probabilidad y procesos aleatorios de Grimmett y Stirzaker , esta última condición se denota como

${\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbb {P} }(Y_{t}\mid \Sigma _{s}),}$

que es una forma general de expectativa condicional . ^[3]

Es importante señalar que la propiedad de ser una martingala implica tanto la filtración como la medida de probabilidad (con respecto a la cual se toman las expectativas). Es posible que Y pueda ser una martingala con respecto a una medida pero no a otra; el teorema de Girsanov ofrece una manera de encontrar una medida con respecto a la cual un proceso de Itō es una martingala.

En la configuración del espacio de Banach, la expectativa condicional también se indica en notación de operador como . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {E} ^{\Sigma _{s}}Y_{t}}$

Ejemplos de martingalas

• Un paseo aleatorio imparcial (en cualquier número de dimensiones) es un ejemplo de martingala.
• La fortuna (capital) de un jugador es una martingala si todos los juegos de apuestas que realiza son justos. Para ser más específico: supongamos que X _n es la fortuna de un jugador después de n lanzamientos de una moneda justa , donde el jugador gana $1 si la moneda sale cara y pierde $1 si sale cruz. La fortuna esperada condicional del jugador después de la siguiente prueba, dada la historia, es igual a su fortuna actual. Esta secuencia es, por tanto, una martingala.
• Sea Y _n = X _n ² − n donde X _n es la fortuna del jugador del ejemplo anterior. Entonces la secuencia { Y _n  : n = 1, 2, 3, ... } es una martingala. Esto se puede utilizar para mostrar que la ganancia o pérdida total del jugador varía aproximadamente entre más o menos la raíz cuadrada del número de pasos.
• ( martingala de de Moivre ) Ahora supongamos que la moneda es injusta, es decir, está sesgada, con probabilidad p de salir cara y probabilidad q  = 1 −  p de cruz. Dejar

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

con "+" en caso de "cara" y "-" en caso de "cruz". Dejar

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}$

Entonces { Y _n  : n = 1, 2, 3, ... } es una martingala con respecto a { X _n  : n = 1, 2, 3, ... }. para mostrar esto

${\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}$

• La urna de Pólya contiene varias canicas de diferentes colores; en cada iteración se selecciona aleatoriamente una canica de la urna y se reemplaza con varias más del mismo color. Para cualquier color determinado, la fracción de canicas de ese color en la urna es una martingala. Por ejemplo, si actualmente el 95% de las canicas son rojas, aunque es más probable que en la siguiente iteración se agreguen canicas rojas que de otro color, este sesgo se equilibra exactamente con el hecho de que agregar más canicas rojas altera la fracción de manera mucho menos significativa que agregar la misma cantidad de canicas que no sean rojas lo haría.
• ( Prueba de razón de verosimilitud en estadística ) Se cree que una variable aleatoria X está distribuida de acuerdo con una densidad de probabilidad f o con una densidad de probabilidad diferente g . Se toma una muestra aleatoria X ₁ , ..., X _n . Sea Y _n la "razón de verosimilitud"

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}$

Si X en realidad se distribuye según la densidad f en lugar de según g , entonces {  Y _n  :  n  = 1, 2, 3, ... } es una martingala con respecto a {  X _n  :  n  = 1, 2, 3 , ... }.

Serie de martingala creada por software

• En una comunidad ecológica (un grupo de especies que se encuentran en un nivel trófico particular, compitiendo por recursos similares en un área local), el número de individuos de cualquier especie particular de tamaño fijo es una función del tiempo (discreto) y puede ser visto como una secuencia de variables aleatorias. Esta secuencia es una martingala bajo la teoría neutral unificada de la biodiversidad y la biogeografía .
• Si { N _t  : t  ≥ 0 } es un proceso de Poisson con intensidad  λ , entonces el proceso de Poisson compensado {  N _t  −  λt  : t  ≥ 0 } es una martingala de tiempo continuo con trayectorias de muestra de límite derecho-continuo/izquierdo

• martingala de Wald

• Un proceso -dimensional en algún espacio es una martingala en si cada componente es una martingala unidimensional en . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$ ${\displaystyle S}$

Submartingalas, supermartingalas y relación con funciones armónicas.

Hay dos generalizaciones populares de una martingala que también incluyen casos en los que la observación actual X _n no es necesariamente igual a la expectativa condicional futura E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ] sino un límite superior o inferior de la expectativa condicional. Estas definiciones reflejan una relación entre la teoría de la martingala y la teoría del potencial , que es el estudio de las funciones armónicas . Así como una martingala de tiempo continuo satisface E[ X _t  | { X _τ  :  τ  ≤  s }] −  X _s  = 0 ∀ s  ≤  t , una función armónica f satisface la ecuación diferencial parcial Δ f  = 0 donde Δ es el operador laplaciano . Dado un proceso de movimiento browniano W _t y una función armónica f , el proceso resultante f ( W _t ) también es una martingala.

• Una submartingala en tiempo discreto es una secuencia de variables aleatorias integrables que satisfacen ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.}$

Asimismo, una submartingala de tiempo continuo satisface

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

En teoría potencial, una función subarmónica f satisface Δ f  ≥ 0. Cualquier función subarmónica que esté acotada arriba por una función armónica para todos los puntos en el límite de una bola está acotada arriba por la función armónica para todos los puntos dentro de la bola. De manera similar, si una submartingala y una martingala tienen expectativas equivalentes para un tiempo determinado, la historia de la submartingala tiende a estar limitada por la historia de la martingala. En términos generales, el prefijo "sub-" es consistente porque la observación actual X _n es menor (o igual) que la expectativa condicional E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ]. En consecuencia, la observación actual proporciona apoyo desde debajo de la expectativa condicional futura, y el proceso tiende a aumentar en el futuro.

• De manera análoga, una supermartingala de tiempo discreto satisface

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.}$

Asimismo, una supermartingala de tiempo continuo satisface

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

En teoría potencial, una función superarmónica f satisface Δ f  ≤ 0. Cualquier función superarmónica que esté acotada por debajo por una función armónica para todos los puntos en el límite de una bola está acotada por debajo por la función armónica para todos los puntos dentro de la bola. De manera similar, si una supermartingala y una martingala tienen expectativas equivalentes para un tiempo determinado, la historia de la supermartingala tiende a estar limitada por la historia de la martingala. En términos generales, el prefijo "super-" es consistente porque la observación actual X _n es mayor (o igual) que la expectativa condicional E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ]. En consecuencia, la observación actual proporciona apoyo desde arriba de la expectativa condicional futura, y el proceso tiende a disminuir en el futuro.

Ejemplos de submartingalas y supermartingalas

• Cada martingala es también una submartingala y una supermartingala. Por el contrario, cualquier proceso estocástico que sea a la vez submartingala y supermartingala es una martingala.
• Consideremos nuevamente al jugador que gana $1 cuando una moneda sale cara y pierde $1 cuando la moneda sale cruz. Supongamos ahora que la moneda puede estar sesgada, de modo que salga cara con probabilidad p .
  • Si p es igual a 1/2, el jugador en promedio no gana ni pierde dinero, y la fortuna del jugador a lo largo del tiempo es una martingala.
  • Si p es menor que 1/2, el jugador pierde dinero en promedio y su fortuna con el tiempo es una supermartingala.
  • Si p es mayor que 1/2, el jugador gana dinero en promedio y su fortuna a lo largo del tiempo es una submartingala.
• Una función convexa de una martingala es una submartingala, por la desigualdad de Jensen . Por ejemplo, el cuadrado de la fortuna del jugador en el juego limpio de las monedas es una submartingala (lo que también se deriva del hecho de que X _n ²  −  n es una martingala). De manera similar, una función cóncava de una martingala es una supermartingala.

Martingalas y tiempos de parada

Un tiempo de parada con respecto a una secuencia de variables aleatorias X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ... es una variable aleatoria τ con la propiedad de que para cada t , la ocurrencia o no ocurrencia del evento τ = t depende sólo sobre los valores de X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ...,  X _t . La intuición detrás de la definición es que en cualquier momento particular t , puedes mirar la secuencia hasta el momento y decir si es hora de detenerse. Un ejemplo de la vida real podría ser el momento en el que un jugador abandona la mesa de juego, lo que podría ser una función de sus ganancias anteriores (por ejemplo, podría abandonar sólo cuando se arruina), pero no puede elegir ir o permanecer en función del resultado de los juegos que aún no se han jugado.

En algunos contextos, el concepto de detener el tiempo se define requiriendo únicamente que la ocurrencia o no ocurrencia del evento τ  =  t sea probabilísticamente independiente de X _{t  + 1} ,  X _{t  + 2} , ... pero no que esté completamente determinado. por la historia del proceso hasta el tiempo  t . Ésta es una condición más débil que la que aparece en el párrafo anterior, pero es lo suficientemente fuerte como para servir en algunas de las pruebas en las que se utilizan tiempos de parada.

Una de las propiedades básicas de las martingalas es que, si es una (sub/super)martingala y es un tiempo de parada, entonces el proceso detenido correspondiente definido por también es una (sub/super)martingala. ${\displaystyle (X_{t})_{t>0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}}$ ${\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}}$

El concepto de martingala detenida conduce a una serie de teoremas importantes, incluido, por ejemplo, el teorema de detención opcional que establece que, bajo ciertas condiciones, el valor esperado de una martingala en un momento de detención es igual a su valor inicial.

Ver también

• La desigualdad de Azuma
• movimiento browniano
• martingala
• Teoremas de convergencia de la martingala de Doob
• La desigualdad martingala de Doob
• Teorema de descomposición de Doob-Meyer
• martingala local
• cadena de markov
• propiedad de markov
• Martingala (sistema de apuestas)
• Teorema del límite central de la martingala
• Secuencia de diferencia martingala
• Teorema de representación de martingala
• numero normal
• semimartingala

Notas

1. Balsara, Nueva Jersey (1992). Estrategias de gestión del dinero para operadores de futuros . Finanzas Wiley. pag. 122.ISBN _ 978-0-471-52215-7. martingala.
2. Mansuy, Roger (junio de 2009). "Los orígenes de la palabra" Martingala"" (PDF) . Revista Electrónica de Historia de la Probabilidad y Estadística . 5 (1). Archivado (PDF) desde el original el 31 de enero de 2012 . Consultado el 22 de octubre de 2011 .
3. Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probabilidad y procesos aleatorios (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-857223-7.
4. Bogachev, Vladimir (1998). Medidas gaussianas . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 372–373. ISBN 978-1470418694.

Referencias

• "Martingala", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Los esplendores y miserias de las martingalas". Revista Electrónica de Historia de la Probabilidad y Estadística . 5 (1). Junio ​​de 2009. Número completo dedicado a la teoría de la probabilidad Martingala (Laurent Mazliak y Glenn Shafer, editores).
• Baldi, Paolo; Mazliak, Laurent; Prioret, Pierre (1991). Martingalas y Cadenas de Markov . Chapman y Hall. ISBN 978-1-584-88329-6.
• Williams, David (1991). Probabilidad con Martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-40605-5.
• Kleinert, Hagen (2004). Integrales de ruta en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros (4ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
• Siminelakis, París (2010). "Martingalas y tiempos de parada: uso de martingalas para obtener límites y analizar algoritmos" (PDF) . Universidad de Atenas. Archivado desde el original (PDF) el 19 de febrero de 2018 . Consultado el 18 de junio de 2010 .
• Ville, Jean (1939). "Estudio crítico de la noción de colectivo". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Monografías des Probabilités (en francés). París. 3 (11): 824–825. doi : 10.1090/S0002-9904-1939-07089-4 . Zbl  0021.14601. Revisado por Doob.