Esta expresión nos permite leer fácilmente la media y la varianza de (que no tiene momentos superiores). Primero, observe que cada individuo tiene media 0, por lo que el valor esperado de es simplemente la integral de la función de deriva:
De manera similar, debido a que los términos tienen varianza 1 y no tienen correlación entre sí, la varianza de es simplemente la integral de la varianza de cada paso infinitesimal en el paseo aleatorio:
Sin embargo, a veces nos enfrentamos a una ecuación diferencial estocástica para un proceso más complejo en el que el proceso aparece en ambos lados de la ecuación diferencial. Es decir, digamos
derivación informal
Una prueba formal del lema se basa en tomar el límite de una secuencia de variables aleatorias. Este enfoque no se presenta aquí porque implica una serie de detalles técnicos. En lugar de ello, damos un esbozo de cómo se puede derivar el lema de Itô expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas del cálculo estocástico.
Si f ( t , x ) es una función escalar dos veces diferenciable, su expansión en una serie de Taylor es
Sustituyendo x t por x y por lo tanto μ t dt + σ t dB t por dx se obtiene
En el límite dt → 0 , los términos dt 2 y dt dB t tienden a cero más rápido que dB 2 , que es O ( dt ) . Estableciendo los términos dt 2 y dt dB t en cero, sustituyendo dt por dB 2 (debido a la variación cuadrática de un proceso de Wiener ) y recopilando los términos dt y dB , obtenemos
según sea necesario.
Intuición geométrica
Supongamos que sabemos que son dos variables aleatorias distribuidas conjuntamente de forma gaussiana, y que no son lineales pero tienen una segunda derivada continua, entonces, en general, ninguna de ellas es gaussiana y su distribución conjunta tampoco es gaussiana. Sin embargo, dado que es gaussiano, aún podríamos encontrar que es gaussiano. Esto no es cierto cuando es finito, pero cuando se vuelve infinitesimal, se vuelve cierto.
La idea clave es que tiene una parte determinista y una parte ruidosa. Cuando no es lineal, la parte ruidosa tiene una contribución determinista. Si es convexo, entonces la contribución determinista es positiva (por la desigualdad de Jensen ).
Para saber qué tan grande es la contribución, escribimos , donde es una gaussiana estándar, luego realizamos la expansión de Taylor.
Para entender por qué debería haber una contribución debido a la convexidad, consideremos el caso más simple de paseo browniano geométrico (del mercado de valores): . En otras palabras, . Sea , entonces , y es un camino browniano. Sin embargo, aunque la expectativa de se mantiene constante, la expectativa de crece. Intuitivamente es porque la desventaja está limitada a cero, pero la ventaja es ilimitada. Es decir, mientras que tiene una distribución normal, tiene una distribución logarítmica normal .
Formulación matemática del lema de Itô
En las siguientes subsecciones analizamos versiones del lema de Itô para diferentes tipos de procesos estocásticos.
Procesos de difusión-deriva de Itô (debido a: Kunita-Watanabe)
También podemos definir funciones sobre procesos estocásticos discontinuos.
Sea h la intensidad del salto. El modelo del proceso de Poisson para saltos es que la probabilidad de un salto en el intervalo [ t , t + Δ t ] es h Δ t más términos de orden superior. h podría ser una constante, una función determinista del tiempo o un proceso estocástico. La probabilidad de supervivencia p s ( t ) es la probabilidad de que no haya ocurrido ningún salto en el intervalo [0, t ] . El cambio en la probabilidad de supervivencia es
Entonces
Sea S ( t ) un proceso estocástico discontinuo. Escribe el valor de S cuando nos acercamos a t por la izquierda. Escriba el cambio no infinitesimal en S ( t ) como resultado de un salto. Entonces
Sea z la magnitud del salto y sea la distribución de z . La magnitud esperada del salto es
Defina , un proceso compensado y martingala , como
Entonces
Considere una función del proceso de salto dS ( t ) . Si S ( t ) salta en Δ s entonces g ( t ) salta en Δ g . Δ g se extrae de la distribución que puede depender de , dg y . La parte de salto es
Si contiene partes de deriva, difusión y salto, entonces el lema de Itô es
El lema de Itô para un proceso que es la suma de un proceso de deriva-difusión y un proceso de salto es simplemente la suma del lema de Itô para las partes individuales.
Semimartingalas no continuas
El lema de Itô también se puede aplicar a semimartingalas d -dimensionales generales , que no necesitan ser continuas. En general, una semimartingala es un proceso càdlàg y es necesario agregar un término adicional a la fórmula para garantizar que los saltos del proceso estén dados correctamente por el lema de Itô. Para cualquier proceso cadlag Y t , el límite izquierdo en t se denota por Y t− , que es un proceso continuo por la izquierda. Los saltos se escriben como Δ Y t = Y t − Y t− . Entonces, el lema de Itô establece que si X = ( X 1 , X 2 , ..., X d ) es una semimartingala d -dimensional y f es una función de valor real dos veces continuamente diferenciable en R d entonces f ( X ) es una semimartingala , y
Esto difiere de la fórmula para semimartingalas continuas por el término adicional que suma los saltos de X , lo que garantiza que el salto del lado derecho en el momento t sea Δ f ( X t ).
Múltiples procesos de salto no continuos
[ cita necesaria ] También hay una versión de esto para una función f dos veces continuamente diferenciable en el espacio una vez en el tiempo evaluada en semimartingalas no continuas (potencialmente diferentes) que se puede escribir de la siguiente manera:
donde denota la parte continua de la i -ésima semimartingala.
El término de corrección de -s 2/2corresponde a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución log-normal , o equivalentemente para esta distribución, la media geométrica y la media aritmética, siendo la mediana (media geométrica) menor. Esto se debe a la desigualdad AM-GM y corresponde a que el logaritmo es cóncavo (o convexo hacia arriba), por lo que el término de corrección puede interpretarse como una corrección de convexidad . Esta es una versión infinitesimal del hecho de que el rendimiento anualizado es menor que el rendimiento promedio, siendo la diferencia proporcional a la varianza. Consulte los momentos geométricos de la distribución log-normal para obtener más información.
El mismo factor des 2/2aparece en las variables auxiliares d 1 y d 2 de la fórmula de Black-Scholes y puede interpretarse como una consecuencia del lema de Itô.
Doléans-Dade exponencial
La exponencial de Doléans-Dade (o exponencial estocástica) de una semimartingala continua X se puede definir como la solución de la SDE dY = Y dX con condición inicial Y 0 = 1 . A veces se denota por Ɛ( X ) . Aplicando el lema de Itô con f ( Y ) = log( Y ) se obtiene
Exponenciar da la solución.
Fórmula de Black-Scholes
El lema de Itô se puede utilizar para derivar la ecuación de Black-Scholes para una opción . [2] Supongamos que el precio de una acción sigue un movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica dS = S ( σdB + μ dt ) . Entonces, si el valor de una opción en el momento t es f ( t , S t ), el lema de Itô da
El término∂f/∂SdS representa el cambio de valor en el tiempo dt de la estrategia comercial que consiste en mantener una cantidad∂f/∂Sde la acción. Si se sigue esta estrategia comercial y se supone que el efectivo mantenido crece a la tasa libre de riesgo r , entonces el valor total V de esta cartera satisface la SDE.
Esta estrategia replica la opción si V = f ( t , S ). La combinación de estas ecuaciones da como resultado la famosa ecuación de Black-Scholes.
Regla de producto para procesos Itô
Sea un proceso Ito bidimensional con SDE:
Luego podemos usar la forma multidimensional del lema de Ito para encontrar una expresión para .
Tenemos y .
Establecemos y observamos eso y
Sustituyendo estos valores en la versión multidimensional del lema nos da:
Fórmula de Itô para funciones con variación cuadrática finita
Una idea de Hans Föllmer fue extender la fórmula de Itô a funciones con variación cuadrática finita. [3]
Sea una función de valor real y una función RCLL con variación cuadrática finita. Entonces
Fórmulas de dimensión infinita
Existen un par de extensiones a espacios de dimensiones infinitas (por ejemplo, Pardoux, [4] Gyöngy-Krylov, [5] Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis [6] ).
^ Itô, Kiyoshi (1951). "Sobre una fórmula sobre diferenciales estocásticos". Matemáticas de Nagoya. J. 3 : 55–65.
^ Malliaris, AG (1982). Métodos estocásticos en economía y finanzas. Nueva York: Holanda Septentrional. págs. 220-223. ISBN0-444-86201-3.
^ Föllmer, Hans (1981). "Cálculo de Ito sin probabilidades". Séminario de probabilidades de Estrasburgo . 15 : 143–144.
^ Pardoux, Étienne (1974). "Écuaciones aux derivadas partielles estocásticas de tipo monótono". Seminario Jean Leray (3).
^ Gyöngy, István; Krylov, Nikolay Vladim Vladimirovich (1981). "Fórmula Ito en espacios banach". En M. Arató; D. Vermes, D.; AV Balakrishnan (eds.). Sistemas Diferenciales Estocásticos . vol. 36. Springer, Berlín, Heidelberg. doi :10.1007/BFb0006409.
^ Brzezniak, Zdzislaw; van Neerven, Jan MAM; Veraar, Mark C.; Weis, Lutz (2008). "Fórmula de Ito en espacios UMD Banach y regularidad de soluciones de la ecuación de Zakai". Revista de Ecuaciones Diferenciales . 245 (1).
Referencias
Kiyosi Itô (1944). Integral estocástica. Proc. Academia Imperial. Tokio 20 , 519–524. Este es el documento con la Fórmula Ito; En línea
Kiyosi Itô (1951). Sobre ecuaciones diferenciales estocásticas. Memorias, Sociedad Matemática Estadounidense 4 , 1–51. En línea
Bernt Øksendal (2000). Ecuaciones diferenciales estocásticas. Introducción con aplicaciones , 5.ª edición, 2.ª impresión corregida. Saltador. ISBN 3-540-63720-6 . Secciones 4.1 y 4.2.
Philip E. Protter (2005). Integración estocástica y ecuaciones diferenciales , 2.ª edición. Saltador. ISBN 3-662-10061-4 . Sección 2.7.