isospin

En física nuclear y física de partículas , el isospin ( I ) es un número cuántico relacionado con el contenido de quarks arriba y abajo de la partícula. El isospin también se conoce como espín isobárico o espín isotópico . La simetría de isospin es un subconjunto de la simetría de sabor que se observa más ampliamente en las interacciones de bariones y mesones .

El nombre del concepto contiene el término espín porque su descripción en mecánica cuántica es matemáticamente similar a la del momento angular (en particular, en la forma en que se acopla ; por ejemplo, un par protón-neutrón puede acoplarse en un estado de isospín total 1 o en uno de 0 ^[1] ). Pero a diferencia del momento angular, es una cantidad adimensional y en realidad no es ningún tipo de espín .

Antes de que se introdujera el concepto de quarks, las partículas que se veían afectadas por igual por la fuerza fuerte pero que tenían diferentes cargas (por ejemplo, protones y neutrones) se consideraban estados diferentes de la misma partícula, pero tenían valores de isospin relacionados con el número de estados de carga. ^[2] Un examen minucioso de la simetría del isospin condujo en última instancia directamente al descubrimiento y la comprensión de los quarks y al desarrollo de la teoría de Yang-Mills . La simetría de isospin sigue siendo un concepto importante en la física de partículas.

Invariancia de isospin

En una buena aproximación, el protón y el neutrón tienen la misma masa: pueden interpretarse como dos estados de la misma partícula. ^[2]^{: 141} Estos estados tienen diferentes valores para una coordenada de isospin interna. Las propiedades matemáticas de esta coordenada son completamente análogas al momento angular de espín intrínseco (física) . La componente del operador, , para esta coordenada tiene valores propios + ${\hat {T}}_{3}$ 1/2y -1/2; está relacionado con el operador de carga, : ${\hat {Q}}$

{\hat {Q}}=e({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}})

^[2]^{: 144}

e

{\hat {Q}}=e({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}}A)

Las isobaras⁴⁰⁴⁰

{\hat {T}}_{3}

La estructura interna de estos nucleones está regida por la interacción fuerte , pero el hamiltoniano de la interacción fuerte es invariante de isospin. Como consecuencia, las fuerzas nucleares son independientes de la carga. Propiedades como la estabilidad del deuterio se pueden predecir basándose en el análisis de isospin. ^[2]^{: 149} Sin embargo, esta invariancia no es exacta y el modelo de quarks da resultados más precisos.

Relación con la hipercarga

El operador de carga se puede expresar en términos de la proyección de isospin e hipercarga ,: $T_{3}$ $Y$

Q={\frac {1}{2}}Y+T_{3},\ \ \ \ T_{3}=T,T-1,...,-T.

fórmula Gell-Mann-Nishijima^[2]^{: 187}

{\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}(Q_{\textrm {min}}+Q_{\textrm {max}}).

interacción débil isospin débil

Contenido de quarks e isospin

En la formulación moderna, el isospin ( $I$ ) se define como una cantidad vectorial en la que los quarks arriba y abajo tienen un valor de $I$ = 1/2, siendo el tercer componente ( $I$ ₃ ) +1/2para quarks up, y -1/2para los quarks down, mientras que todos los demás quarks tienen $I$ = 0. Por lo tanto, para los hadrones en general, ^[3] donde $n$ _u y $n$ _d son los números de quarks up y down respectivamente,

I_{3}={\frac {1}{2}}(n_{u}-n_{d}).

En cualquier combinación de quarks, el tercer componente del vector de isospín ( $I$ ₃ ) podría estar alineado entre un par de quarks o mirar en la dirección opuesta, dando diferentes valores posibles para el isospín total para cualquier combinación de tipos de quarks. Se pueden distinguir experimentalmente hadrones con el mismo contenido de quarks pero diferente isospin total, verificando que el sabor es en realidad una cantidad vectorial, no un escalar (arriba versus abajo es simplemente una proyección en el eje $z$ de la mecánica cuántica del espacio de sabor).

Por ejemplo, un quark extraño se puede combinar con un quark arriba y abajo para formar un barión , pero hay dos formas diferentes en que se pueden combinar los valores de isospin: ya sea sumando (debido a que están alineados con el sabor) o anulándolos (debido a que están alineados con el sabor). en direcciones de sabor opuestas). El estado isospin-1 (el
Σ⁰
) y el estado isospin-0 (el
Λ⁰
) tienen diferentes masas y vidas medias detectadas experimentalmente.

Isospin y simetría

Isospin se considera una simetría de la interacción fuerte bajo la acción del grupo de Lie SU(2) , siendo los dos estados el sabor ascendente y el sabor descendente. En mecánica cuántica , cuando un hamiltoniano tiene una simetría, esa simetría se manifiesta a través de un conjunto de estados que tienen la misma energía (los estados se describen como degenerados ) . En términos simples, el operador de energía para la interacción fuerte da el mismo resultado cuando se intercambian un quark up y un quark down por lo demás idéntico.

Como en el caso del espín regular, el operador de isospin I tiene un valor vectorial : tiene tres componentes I _x , I _y , I _z , que son coordenadas en el mismo espacio vectorial tridimensional donde actúa la representación 3 . Tenga en cuenta que este espacio vectorial no tiene nada que ver con el espacio físico, excepto un formalismo matemático similar. El isospin se describe mediante dos números cuánticos : $I$ – el isospin total, y $I$ ₃ – un valor propio de la proyección I _z para el cual los estados de sabor son estados propios . En otras palabras, cada estado $I$ ₃ especifica cierto estado de sabor de un multiplete . La tercera coordenada ( $z$ ), a la que se refiere el subíndice "3", se elige debido a convenciones de notación que relacionan bases en 2 y 3 espacios de representación. Es decir, para el giro1/2En este caso, los componentes de I son iguales a las matrices de Pauli divididas por 2, por lo que I _z =1/2 $τ$ ₃ , donde

\tau _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Si bien las formas de estas matrices son isomorfas a las de espín, estas matrices de Pauli solo actúan dentro del espacio de Hilbert de isospín, no en el de espín, y por lo tanto es común denotarlas con τ en lugar de σ para evitar confusiones.

Aunque la simetría del isospin en realidad está ligeramente rota, la simetría del SU(3) está más rota, debido a la masa mucho mayor del quark extraño en comparación con el quark arriba y abajo. El descubrimiento del encanto , el fondo y la cima podría conducir a mayores expansiones hasta la simetría de sabor SU(6) , que se mantendría si los seis quarks fueran idénticos. Sin embargo, las masas mucho mayores de los quarks charm, bottom y top significan que la simetría de sabor SU(6) está muy rota en la naturaleza (al menos a bajas energías), y asumir esta simetría conduce a predicciones cualitativa y cuantitativamente incorrectas. En aplicaciones modernas, como la QCD de celosía , la simetría de isospin a menudo se trata como exacta para los tres quarks ligeros (uds), mientras que los tres quarks pesados (cbt) deben tratarse por separado.

Nomenclatura de hadrones

La nomenclatura de hadrones se basa en el isospin. ^[4]

Partículas de isospin total.3/2se denominan bariones delta y pueden formarse mediante una combinación de tres quarks arriba o abajo (pero solo quarks arriba o abajo).
Las partículas del isospin 1 total se pueden formar a partir de dos quarks arriba, dos quarks abajo o uno de cada:
- ciertos mesones , diferenciados aún más por el espín total en piones (espín total 0) y mesones rho (espín total 1)
- con un quark adicional de mayor sabor: bariones sigma
Partículas de isospin total.1/2se puede hacer de:
- un solo quark arriba o abajo junto con un quark adicional de sabor superior: extraño ( kaones ), encantador ( mesón D ) o inferior ( mesón B )
- un único quark arriba o abajo junto con dos quarks adicionales de sabor superior – Xi baryon
- un quark arriba, un quark abajo y un quark arriba o abajo: nucleones . Tenga en cuenta que el principio de exclusión de Pauli prohibiría tres quarks idénticos debido al requisito de una función de onda antisimétrica.
Se pueden fabricar partículas de isospin 0 total a partir de
- un par neutral quark-antiquark: o ^{[nota 1]} – mesones eta $u{\bar {u}}$ $d{\bar {d}}$
- un quark arriba y un quark abajo, con un quark adicional de mayor sabor: bariones lambda
- cualquier cosa que no involucre quarks arriba o abajo

^ La función de onda de sabor debe tener la forma de una combinación isospin-0, ya que produce $c_{1}(u{\bar {u}}+d{\bar {d}})+c_{2}(s{\bar {s}})$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(u{\bar {u}}-d{\bar {d}})$ $I=1$

Historia

Origen del isospin

En 1932, Werner Heisenberg ^[5] introdujo un nuevo concepto (sin nombre) para explicar la unión del protón y el recién descubierto neutrón (símbolo n). Su modelo se parecía al modelo de enlace de la molécula del ion hidrógeno, H2 ₊^: un solo electrón era compartido por dos protones. La teoría de Heisenberg tenía varios problemas, el más notable fue que predijo incorrectamente la energía de unión excepcionalmente fuerte de las partículas alfa de He ⁺ 2 . Sin embargo, su trato igualitario para el protón y el neutrón adquirió importancia cuando varios estudios experimentales demostraron que estas partículas deben unirse casi por igual. ^[6]^{: 39} En respuesta, Eugene Wigner utilizó el concepto de Heisenberg en su artículo de 1937 donde introdujo el término "espín isotópico" para indicar en qué se parece el concepto al espín en su comportamiento. ^[7]

El zoológico de partículas

Estas consideraciones también resultarían útiles en el análisis de las interacciones mesón -nucleón después del descubrimiento de los piones en 1947. Los tres piones (
π⁺
,
π⁰
,
π⁻
) podría asignarse a un triplete de isospin con $I = 1$ y $I 3 = +1, 0 o -1$ . Al suponer que el isospin se conservaba mediante interacciones nucleares, la teoría nuclear acomodaba más fácilmente los nuevos mesones.

A medida que se descubrieron más partículas, se les asignaron multipletes de isospin según el número de estados de carga diferentes observados: 2 dobletes $I = 1 / 2$ de mesones K (
k⁻
,
k⁰
), (
k⁺
,
k⁰
), un triplete $I = 1$ de bariones Sigma (
Σ⁺
,
Σ⁰
,
Σ⁻
), un singlete $I = 0$ Lambda barión (
Λ⁰
), un cuarteto $I = 3 / 2$ Bariones delta (
Δ⁺⁺
,
Δ⁺
,
Δ⁰
,
Δ⁻
), etcétera.

El poder de la simetría de isospin y los métodos relacionados proviene de la observación de que las familias de partículas con masas similares tienden a corresponder a los subespacios invariantes asociados con las representaciones irreducibles del álgebra de Lie SU(2). En este contexto, un subespacio invariante está atravesado por vectores básicos que corresponden a partículas de una familia. Bajo la acción del álgebra de Lie SU(2), que genera rotaciones en el espacio isospin, los elementos correspondientes a estados de partículas definidos o superposiciones de estados pueden rotarse entre sí, pero nunca pueden salir del espacio (ya que el subespacio es de hecho invariante ). Esto refleja la simetría presente. El hecho de que las matrices unitarias conmuten con el hamiltoniano significa que las cantidades físicas calculadas no cambian ni siquiera bajo transformación unitaria. En el caso del isospin, esta maquinaria se utiliza para reflejar el hecho de que las matemáticas de la fuerza fuerte se comportan de la misma manera si se intercambian un protón y un neutrón (en la formulación moderna, el quark arriba y abajo).

Un ejemplo: bariones delta

Por ejemplo, las partículas conocidas como bariones Delta (bariones de espín) 3/2 – se agruparon porque todos tienen casi la misma masa (aproximadamente1232 MeV/ c ² ) e interactúan casi de la misma manera.

Podrían tratarse como la misma partícula, y la diferencia de carga se debe a que la partícula se encuentra en diferentes estados. Isospin se introdujo para ser la variable que definiera esta diferencia de estado. De manera análoga al espín, una proyección de isospín (denotada como $I 3$ ) está asociada a cada estado cargado; como había cuatro deltas, se necesitaban cuatro proyecciones. Al igual que el giro, las proyecciones de isospin se hicieron para variar en incrementos de 1. Por lo tanto, para tener cuatro incrementos de 1, un valor de isospin de3/2se requiere (dando las proyecciones $I 3 = + 3 / 2, + 1 / 2, - 1 / 2, - 3 / 2$ ). Por tanto, se decía que todos los Deltas tenían isospin $I = 3 / 2$ , y cada carga individual tenía $un I 3$ diferente (por ejemplo, el
Δ⁺⁺
estaba asociado con $I 3 = + 3 / 2$ ).

En la imagen del isospin, se pensaba que los cuatro deltas y los dos nucleones eran simplemente los diferentes estados de dos partículas. Ahora se entiende que los bariones Delta están formados por una mezcla de tres quarks arriba y abajo – uuu (
Δ⁺⁺
), uud (
Δ⁺
), udd (
Δ⁰
), y ddd (
Δ⁻
); la diferencia de carga es la diferencia en las cargas de los quarks arriba y abajo (+2/3 mi y -1/3 e respectivamente); sin embargo, también pueden considerarse como los estados excitados de los nucleones.

Simetría de isospin calibrada

Se han hecho intentos para promover el isospin desde una simetría global a una local. En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills sugirieron que se debería permitir que la noción de protones y neutrones, que giran continuamente entre sí mediante isospin, varíe de un punto a otro. Para describir esto, la dirección de los protones y neutrones en el espacio de isospin debe definirse en cada punto, dando una base local para el isospin. Una conexión de calibre describiría entonces cómo transformar el isospin a lo largo de un camino entre dos puntos.

Esta teoría de Yang-Mills describe bosones vectoriales que interactúan, como el fotón del electromagnetismo. A diferencia del fotón, la teoría de calibre SU(2) contendría bosones de calibre que interactúan entre sí. La condición de invariancia de calibre sugiere que tienen masa cero, al igual que en el electromagnetismo.

Ignorando el problema de la falta de masa, como hicieron Yang y Mills, la teoría hace una predicción firme: la partícula vectorial debería acoplarse universalmente a todas las partículas de un isospín dado . El acoplamiento al nucleón sería el mismo que el acoplamiento a los kaones . El acoplamiento a los piones sería el mismo que el autoacoplamiento de los bosones vectoriales entre sí.

Cuando Yang y Mills propusieron la teoría, no había ningún bosón vectorial candidato. JJ Sakurai en 1960 predijo que debería haber un bosón vectorial masivo acoplado al isospin, y predijo que mostraría acoplamientos universales. Los mesones rho fueron descubiertos poco tiempo después y rápidamente fueron identificados como bosones vectoriales de Sakurai. Se verificó que los acoplamientos de rho con los nucleones y entre sí eran universales, lo mejor que pudieron medir los experimentos. El hecho de que la corriente diagonal de isospin contenga parte de la corriente electromagnética llevó a la predicción de la mezcla de fotones rho y al concepto de dominancia de mesones vectoriales , ideas que condujeron a imágenes teóricas exitosas de la dispersión de fotones-núcleo a escala GeV.

La introducción de los quarks.

Las combinaciones de tres quarks u, d o s forman bariones con espín - 3 ⁄ 2 forman el *decuplet bariónico* .

Combinaciones de tres quarks u, d o s que forman bariones con espín 1 ⁄ 2 forman el *octeto bariónico*

El descubrimiento y posterior análisis de partículas adicionales, tanto mesones como bariones , dejó claro que el concepto de simetría de isospin podría ampliarse a un grupo de simetría aún mayor, ahora llamado simetría de sabor . Una vez que se entendieron mejor los kaones y su propiedad de extrañeza , empezó a quedar claro que éstos también parecían ser parte de una simetría ampliada que contenía el isospin como subgrupo. La simetría más grande fue denominada Óctuple Vía por Murray Gell-Mann , y rápidamente se reconoció que correspondía a la representación adjunta de SU(3) . Para comprender mejor el origen de esta simetría, Gell-Mann propuso la existencia de quarks arriba, abajo y extraños que pertenecerían a la representación fundamental de la simetría de sabor SU(3).

En el modelo de quarks, la proyección de isospin ( I ₃ ) se derivaba del contenido de quarks hacia arriba y hacia abajo de las partículas; uud para el protón y udd para el neutrón. Técnicamente, los estados de doblete de nucleones se consideran combinaciones lineales de productos de estados de doblete de isospin de 3 partículas y estados de doblete de espín. Es decir, la función de onda del protón (de giro) , en términos de estados propios de sabor a quark, se describe en ^[2]

\vert \mathrm {p} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {duu} \rangle &\vert \mathrm {udu} \rangle &\vert \mathrm {uud} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right)

y el neutrón (de giro) por

\vert \mathrm {n} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {udd} \rangle &\vert \mathrm {dud} \rangle &\vert \mathrm {ddu} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right).

Aquí, es el estado propio del sabor del quark ascendente y es el estado propio del sabor del quark descendente , mientras que y son los estados propios de . Aunque estas superposiciones son la forma técnicamente correcta de denotar un protón y un neutrón en términos de sabor de quark y estados propios de espín, para abreviar, a menudo se los denomina simplemente "uud" y "udd". La derivación anterior supone una simetría de isospín exacta y se modifica mediante términos de ruptura SU(2). $\mathrm {\vert u\rangle }$ $\mathrm {\vert d\rangle }$ $\left\vert \uparrow \right\rangle$ $\left\vert \downarrow \right\rangle$ $S_{z}$

De manera similar, la simetría de isospín de los piones viene dada por:

{\begin{aligned}\vert \pi ^{+}\rangle &=\vert \mathrm {u{\overline {d}}} \rangle \\\vert \pi ^{0}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert \mathrm {u{\overline {u}}} \rangle -\vert \mathrm {d{\overline {d}}} \rangle \right)\\\vert \pi ^{-}\rangle &=-\vert \mathrm {d{\overline {u}}} \rangle .\end{aligned}}

Aunque el descubrimiento de los quarks condujo a la reinterpretación de los mesones como un estado ligado a un vector de un quark y un antiquark, a veces sigue siendo útil pensar en ellos como bosones de calibre de una simetría local oculta. ^[8]

isospin débil

En 1961, Sheldon Glashow propuso que una relación similar a la fórmula de Gell-Mann-Nishijima para la carga con el isospin también se aplicaría a la interacción débil : ^[9]^[10]^{: 152}

Q=T_{3}+{\frac {1}{2}}Y_{w}.

hipercarga el isospin débil interacción débil quiralidades^[11]

Q

T_{3}

Y_{w}

Referencias

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^ abcdef Greiner, W .; Müller, B. (1994). Mecánica cuántica: simetrías (2ª ed.). Saltador. pag. 279.ISBN 978-3540580805.
^ Pal, Palash Baran (29 de julio de 2014). Un curso de introducción a la física de partículas . Prensa CRC. pag. 226.ISBN 978-1-4822-1698-1.
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Otras lecturas

Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1980). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-032071-0.
Griffiths, D. (1987). Introducción a las Partículas Elementales . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-60386-3.

Ver también

factor Chan-Paton

enlaces externos

i8 i Datos de estructura y desintegración nuclear - Isospin de nucleidos del OIEA