Inversión sísmica lineal

Interpretación de datos sísmicos mediante modelo lineal

El modelado inverso es una técnica matemática cuyo objetivo es determinar las propiedades físicas del subsuelo de una región terrestre que ha producido un sismograma dado . Cooke y Schneider (1983) ^{[1] lo definieron como el cálculo de la estructura y} los parámetros físicos de la tierra a partir de un conjunto de datos sísmicos observados . La suposición subyacente en este método es que los datos sísmicos recopilados son de una estructura terrestre que coincide con la sección transversal calculada a partir del algoritmo de inversión . ^[2] Algunas propiedades terrestres comunes que se invierten incluyen velocidad acústica, densidades de formación y fluido , impedancia acústica , coeficiente de Poisson , compresibilidad de la formación, rigidez de corte, porosidad y saturación del fluido.

El método ha sido útil durante mucho tiempo para los geofísicos y se puede clasificar en dos grandes tipos: ^{[3] Inversión} determinista y estocástica . Los métodos de inversión determinista se basan en la comparación de la salida de un modelo terrestre con los datos de campo observados y la actualización continua de los parámetros del modelo terrestre para minimizar una función, que suele ser alguna forma de diferencia entre la salida del modelo y la observación de campo. Como tal, este método de inversión al que pertenece la inversión lineal se plantea como un problema de minimización y el modelo terrestre aceptado es el conjunto de parámetros del modelo que minimiza la función objetivo al producir un sismograma numérico que se compara mejor con los datos sísmicos de campo recopilados.

Por otro lado, los métodos de inversión estocástica se utilizan para generar modelos restringidos como los utilizados en la simulación de flujo de yacimientos , utilizando herramientas geoestadísticas como kriging . A diferencia de los métodos de inversión deterministas que producen un único conjunto de parámetros del modelo, los métodos estocásticos generan un conjunto de parámetros alternativos del modelo terrestre que obedecen todos a la restricción del modelo. Sin embargo, los dos métodos están relacionados ya que los resultados de los modelos deterministas son el promedio de todas las posibles soluciones no únicas de los métodos estocásticos. ^[3] Dado que la inversión lineal sísmica es un método de inversión determinista, el método estocástico no se discutirá más allá de este punto.

Figura 1: Diagrama de flujo de inversión sísmica lineal

Inversión lineal

La naturaleza determinista de la inversión lineal requiere una relación funcional que modele, en términos de los parámetros del modelo terrestre , la variable sísmica que se va a invertir. Esta relación funcional es un modelo matemático derivado de las leyes fundamentales de la física y se denomina más a menudo modelo directo. El objetivo de la técnica es minimizar una función que depende de la diferencia entre la convolución del modelo directo con una ondícula de fuente y la traza sísmica recogida en el campo . Como en el campo de la optimización, esta función que se va a minimizar se denomina función objetivo y, en el modelado inverso convectivo, es simplemente la diferencia entre el modelo directo convolucionado y la traza sísmica. Como se mencionó anteriormente, se pueden invertir diferentes tipos de variables, pero para mayor claridad, estas variables se denominarán series de impedancia del modelo terrestre. En las siguientes subsecciones describiremos con más detalle, en el contexto de la inversión lineal como un problema de minimización, los diferentes componentes que son necesarios para invertir los datos sísmicos.

Modelo de avance

La pieza central de la inversión lineal sísmica es el modelo directo que modela la generación de los datos experimentales recopilados. ^[1] Según Wiggins (1972), ^[4] proporciona una relación funcional (computacional) entre los parámetros del modelo y los valores calculados para las trazas observadas. Dependiendo de los datos sísmicos recopilados, este modelo puede variar desde las ecuaciones de onda clásicas para predecir el desplazamiento de partículas o la presión del fluido para la propagación de ondas sonoras a través de rocas o fluidos, hasta algunas variantes de estas ecuaciones clásicas. Por ejemplo, el modelo directo en Tarantola (1984) ^[5] es la ecuación de onda para la variación de presión en un medio líquido durante la propagación de ondas sísmicas, mientras que al suponer capas de velocidad constante con interfaces planas, Kanasewich y Chiu (1985) ^[6] utilizaron el modelo de braquistotrona de John Bernoulli para el tiempo de viaje de un rayo a lo largo de una trayectoria. En Cooke y Schneider (1983), ^[1] el modelo es un algoritmo sintético de generación de trazas expresado como en la ecuación. 3, donde R(t) se genera en el dominio Z mediante una fórmula recursiva. Cualquiera sea la forma en que aparezca el modelo directo, es importante que no solo prediga los datos de campo recopilados, sino que también modele cómo se generan los datos. Por lo tanto, el modelo directo de Cooke y Schneider (1983) ^[1] solo se puede utilizar para invertir los datos CMP, ya que el modelo invariablemente supone que no hay pérdida por propagación al imitar la respuesta de una tierra lateralmente homogénea a una fuente de ondas planas.

1. ${\displaystyle t=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\big [}(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}+(z_{i}-z_{i-1})^{2}{\big ]}^{\frac {1}{2}}}{v_{i}}}}$
donde t es el tiempo de viaje del rayo, x, y, z son coordenadas de profundidad y vi es la velocidad constante entre las interfaces i − 1 e i.
2. ${\displaystyle \left[{\frac {1}{K({\vec {r}})}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla \cdot {\big (}{\frac {1}{\rho ({\vec {r}}{\big )}}}\nabla )\right]U({\vec {r}},t)=s({\vec {r}},t)}$
donde representan el módulo volumétrico, la densidad, la fuente de ondas acústicas y la variación de presión. ${\displaystyle K({\vec {r}})}$ ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})}$ ${\displaystyle s({\vec {r}},t)}$ ${\displaystyle U({\vec {r}},t)}$
3. ${\displaystyle s(t)=w(t)*R(t)}$

donde s ( t ) = traza sintética, w ( t ) = wavelet de la fuente y R ( t ) = función de reflectividad.

Función objetivo

Un proceso numérico importante en el modelado inverso es minimizar la función objetivo, que es una función definida en términos de la diferencia entre los datos sísmicos de campo recopilados y los datos sísmicos calculados numéricamente. Las funciones objetivo clásicas incluyen la suma de las desviaciones al cuadrado entre los datos experimentales y numéricos, como en los métodos de mínimos cuadrados , la suma de la magnitud de la diferencia entre los datos de campo y numéricos, o alguna variante de estas definiciones. Independientemente de la definición utilizada, la solución numérica del problema inverso se obtiene como un modelo terrestre que minimiza la función objetivo.

Además de la función objetivo, en el procedimiento de modelado inverso también se incorporan otras restricciones, como los parámetros conocidos del modelo y las interfaces de capas conocidas en algunas regiones de la Tierra. Estas restricciones, según Francis 2006, ^[3] ayudan a reducir la falta de unicidad de la solución de inversión al proporcionar información a priori que no está contenida en los datos invertidos, mientras que Cooke y Schneider (1983) ^[1] informan de su utilidad para controlar el ruido y cuando se trabaja en un área geofísicamente bien conocida.

Análisis matemático del procedimiento de inversión lineal generalizada

El objetivo del análisis matemático del modelado inverso es convertir el problema inverso lineal generalizado en un álgebra matricial simple considerando todos los componentes descritos en las secciones anteriores, es decir, modelo directo, función objetivo, etc. Generalmente, los datos sísmicos generados numéricamente son funciones no lineales de los parámetros del modelo terrestre. Para eliminar la no linealidad y crear una plataforma para la aplicación de los conceptos del álgebra lineal , el modelo directo se linealiza mediante expansión utilizando una serie de Taylor como se lleva a cabo a continuación. Para obtener más detalles, consulte Wiggins (1972), ^[4] Cooke y Schneider (1983). ^[1]

Considere un conjunto de observaciones de campo sísmico , para y un conjunto de parámetros del modelo terrestre que se invertirán para , para . Las observaciones de campo se pueden representar en o , donde y son representaciones vectoriales de los parámetros del modelo y las observaciones de campo como una función de los parámetros terrestres. De manera similar, para representar estimaciones de los parámetros del modelo, es el vector de datos sísmicos numéricos calculados utilizando el modelo directo de la Sec. 1.3. La expansión de la serie de Taylor de aproximadamente se da a continuación. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F_{j}}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle {\vec {F}}\,({\vec {p}})}$ ${\displaystyle F_{j}\,(p_{i})}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}\,({\vec {p}})}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}\,({\vec {q}})}$ ${\displaystyle {\vec {F}}\,({\vec {p}})}$ ${\displaystyle {\vec {q}}}$

4. ${\displaystyle {\vec {F}}\,({\vec {p}})={\vec {F}}\,({\vec {q}})+({\vec {p}}-{\vec {q}}){\frac {\partial {\vec {F}}\,({\vec {q}})}{\partial {\vec {p}}}}+({\vec {p}}-{\vec {q}})^{2}{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}\,({\vec {q}})}{\partial {\vec {p}}^{2}}}+O({\vec {p}}-{\vec {q}})^{3}}$
Al linealizar eliminando los términos no lineales (términos con (p⃗ − ⃗q) de orden 2 y superior), la ecuación se convierte en
5. ${\displaystyle {\vec {F}}\,({\vec {p}})-{\vec {F}}\,({\vec {q}})=({\vec {p}}-{\vec {q}}){\frac {\partial {\vec {F}}\,({\vec {q}})}{\partial {\vec {p}}}}}$
Considerando que tiene componentes y y tiene componentes, la forma discreta de la ecuación 5 da como resultado un sistema de ecuaciones lineales en variables cuya forma matricial se muestra a continuación. ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {q}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$
6. ${\displaystyle \Delta {\vec {F}}=\mathbf {A} \,\Delta {\vec {p}}}$
7. ${\displaystyle \Delta {\vec {F}}={\begin{bmatrix}F_{1}({\vec {p}})-F_{1}({\vec {q}})\\\vdots \\F_{m}({\vec {p}})-F_{m}({\vec {q}})\end{bmatrix}}}$
8. ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}={\vec {p}}-{\vec {q}}={\begin{bmatrix}p_{1}-q_{1}\\\vdots \\p_{n}-q_{n}\end{bmatrix}}}$
9. ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{1}({\vec {q}})}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial F_{1}({\vec {q}})}{\partial p_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}({\vec {q}})}{\partial p_{n}}}\\{\frac {\partial F_{2}({\vec {q}})}{\partial p_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{2}({\vec {q}})}{\partial p_{n-1}}}&{\frac {\partial F_{2}({\vec {q}})}{\partial p_{n}}}\\\vdots &{\frac {\partial F_{j}({\vec {q}})}{\partial p_{i}}}&\vdots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}({\vec {q}})}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial F_{m}({\vec {q}})}{\partial p_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}({\vec {q}})}{\partial p_{n}}}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Delta {\vec {F}}}$se denomina vector de diferencia en Cooke y Schneider (1983). ^[1] Tiene un tamaño de y sus componentes son la diferencia entre la traza observada y los datos sísmicos calculados numéricamente. es el vector corrector de tamaño , mientras que se denomina matriz de sensibilidad. Tiene un tamaño de y sus comentarios son tales que cada columna es la derivada parcial de un componente de la función directa con respecto a uno de los parámetros desconocidos del modelo terrestre. De manera similar, cada fila es la derivada parcial de un componente de la traza sísmica calculada numéricamente con respecto a todos los parámetros desconocidos del modelo. ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$

Algoritmo de solución

${\displaystyle {\vec {F}}\,({\vec {q}})}$se calcula a partir del modelo directo, mientras que son los datos experimentales. Por lo tanto, es una cualidad conocida. Por otro lado, es desconocida y se obtiene mediante la solución de la ecuación 10. Esta ecuación es teóricamente solucionable solo cuando es invertible, es decir, si es una matriz cuadrada de modo que el número de observaciones es igual al número de parámetros terrestres desconocidos. Si este es el caso, el vector corrector desconocido , se resuelve como se muestra a continuación, utilizando cualquiera de los solucionadores directos o iterativos clásicos para la solución de un conjunto de ecuaciones lineales. ${\displaystyle {\vec {F}}\,({\vec {p}})}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {F}}}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}}$

10. ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}=\mathbf {A} ^{-1}\,\Delta {\vec {F}}}$

En la mayoría de las aplicaciones de inversión sísmica , hay más observaciones que el número de parámetros terrestres que se deben invertir, es decir , lo que conduce a un sistema de ecuaciones que está matemáticamente sobredeterminado. Como resultado, la ecuación 10 no es solucionable teóricamente y no se puede obtener una solución exacta. ^[6] Se obtiene una estimación del vector corrector utilizando el procedimiento de mínimos cuadrados para encontrar el vector corrector que minimiza , que es la suma de los cuadrados del error, . ^[6] ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}\,^{T}{\vec {e}}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}}$

El error viene dado por ${\displaystyle {\vec {e}}}$

11. ${\displaystyle {\vec {e}}=\Delta {\vec {F}}-\mathbf {A} \,\Delta {\vec {p}}}$

En el procedimiento de mínimos cuadrados, el vector corrector que minimiza se obtiene como se muestra a continuación. ${\displaystyle {\vec {e}}\,^{T}{\vec {e}}}$

12. ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \,\Delta {\vec {p}}&=\Delta {\vec {F}}\\\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} \,\Delta {\vec {p}}&=\mathbf {A} ^{T}\Delta {\vec {F}}\end{aligned}}}$

De este modo,

13. ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}=(\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )^{-1}\,\mathbf {A} ^{T}\Delta {\vec {F}}}$

De las discusiones anteriores, la función objetivo se define como la o norma de dada por o o de dada por o . ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}|\Delta p_{j}|}$ ${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}|\Delta p_{j}|^{2}}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {F}}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}|\Delta F_{i}|}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}|\Delta F_{i}|^{2}}$

El procedimiento generalizado para invertir cualquier dato sísmico experimental para o , utilizando la teoría matemática para modelado inverso, como se describió anteriormente, se muestra en la Figura 1 y se describe a continuación. ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle m>n}$

Se proporciona una estimación inicial de la impedancia del modelo para iniciar el proceso de inversión. El modelo directo utiliza esta estimación inicial para calcular datos sísmicos sintéticos que se restan de los datos sísmicos observados para calcular el vector de diferencia.

1. Se proporciona una estimación inicial de la impedancia del modelo para iniciar el proceso de inversión. ${\displaystyle {\vec {q}}}$
2. Se calculan datos sísmicos sintéticos mediante el modelo directo, utilizando la impedancia del modelo anterior. ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {q}})}$
3. El vector de diferencia se calcula como la diferencia entre los datos sísmicos experimentales y sintéticos. ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {p}})-{\vec {F}}({\vec {q}})}$
4. La matriz de sensibilidad se calcula en este valor del perfil de impedancia. ${\displaystyle \mathbf {A} }$
5. Utilizando y el vector de diferencia del punto 3 anterior, se calcula el vector corrector. Se obtiene un nuevo perfil de impedancia como ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}}$
   14. ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {q}}+\Delta {\vec {p}}}$
6. La norma o del vector corrector calculado se compara con un valor de tolerancia proporcionado. Si la norma calculada es menor que la tolerancia, se concluye el procedimiento numérico y el perfil de impedancia invertido para la región de la tierra se proporciona mediante la ecuación 14. Por otro lado, si la norma es mayor que la tolerancia, se repiten las iteraciones a través de los pasos 2 a 6, pero con un perfil de impedancia actualizado como el calculado a partir de la ecuación 14. La figura 2 ^[7] muestra un ejemplo típico de actualización del perfil de impedancia durante el proceso de iteración sucesiva. Según Cooke y Schneider (1983), ^[1] el uso de la estimación corregida de la ecuación 14 como la nueva estimación inicial durante la iteración reduce el error. ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$

Parametrización del espacio del modelo terrestre

Independientemente de la variable que se vaya a invertir, la impedancia de la Tierra es una función continua de la profundidad (o del tiempo en los datos sísmicos) y para que la técnica de inversión lineal numérica sea aplicable a este modelo físico continuo, las propiedades continuas deben discretizarse y/o muestrearse en intervalos discretos a lo largo de la profundidad del modelo terrestre. Por lo tanto, la profundidad total sobre la que se van a determinar las propiedades del modelo es un punto de partida necesario para la discretización. Comúnmente, como se muestra en la Figura 3, estas propiedades se muestrean a intervalos discretos cercanos sobre esta profundidad para garantizar una alta resolución de la variación de la impedancia a lo largo de la profundidad de la Tierra. Los valores de impedancia invertidos a partir del algoritmo representan el valor promedio en el intervalo discreto.

Teniendo en cuenta que el problema de modelado inverso solo se puede resolver teóricamente cuando el número de intervalos discretos para muestrear las propiedades es igual al número de observaciones en la traza que se va a invertir, un muestreo de alta resolución dará lugar a una matriz grande que será muy costosa de invertir. Además, la matriz puede ser singular para ecuaciones dependientes, la inversión puede ser inestable en presencia de ruido y el sistema puede estar sub-restringido si se desean parámetros distintos de las variables primarias para las que se invierte. En relación con los parámetros deseados, distintos de la impedancia, Cooke y Schneider (1983) ^[1] los proponen para incluir la wavelet de la fuente y el factor de escala.

Finalmente, al tratar las restricciones como valores de impedancia conocidos en algunas capas o intervalos discretos, se reduce la cantidad de valores de impedancia desconocidos que deben resolverse, lo que genera una mayor precisión en los resultados del algoritmo de inversión.

Figura 8: Registro de amplitud

Figura 9a: Registros de impedancia invertidos a partir de la amplitud

Figura 9b: Registro de pozo de impedancia

Ejemplos de inversión

Inversión térmica desde Marescot (2010)[8]

Comenzamos con un ejemplo de inversión de los valores de los parámetros terrestres a partir de la distribución de la profundidad de la temperatura en una región terrestre determinada. Aunque este ejemplo no se relaciona directamente con la inversión sísmica , ya que no intervienen ondas acústicas viajeras, no obstante introduce la aplicación práctica de la técnica de inversión de una manera fácil de comprender, antes de pasar a las aplicaciones sísmicas. En este ejemplo, la temperatura de la tierra se mide en ubicaciones discretas en un pozo colocando sensores de temperatura en las profundidades objetivo. Al suponer un modelo directo de distribución lineal de la temperatura con la profundidad, se invierten dos parámetros a partir de las mediciones de la profundidad de la temperatura.

El modelo hacia adelante viene dado por

15. ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {q}})={\vec {T}}=a+bz}$

donde . Por lo tanto, la dimensión de es 2, es decir, el número de parámetros invertidos para es 2. ${\displaystyle {\vec {q}}=[a,b]}$ ${\displaystyle {\vec {q}}}$

El objetivo de este algoritmo de inversión es encontrar , que es el valor de que minimiza la diferencia entre la distribución de temperatura observada y las obtenidas utilizando el modelo directo de la ecuación 15. Considerando que la dimensión del modelo directo o el número de observaciones de temperatura es , los componentes del modelo directo se escriben como ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$

16. ${\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=a+bz_{1}\\T_{2}&=a+bz_{2}\\\vdots \\T_{n-1}&=a+bz_{n-1}\\T_{n}&=a+bz_{n}\\\end{aligned}}}$
de modo que ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {q}})=T}$
17. ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&z_{1}\\1&z_{2}\\\vdots &\vdots \\1&z_{n-1}\\1&z_{n}\\\end{bmatrix}}}$

Presentamos los resultados de Marescot (2010) ^[8] para el caso de para el cual los valores de temperatura observados a profundidades fueron en y en . Estos datos experimentales se invirtieron para obtener valores de parámetros terrestres de y . Para un caso más general con un gran número de observaciones de temperatura, la figura 4 muestra el modelo lineal directo final obtenido al usar los valores invertidos de y . La figura muestra una buena coincidencia entre los datos experimentales y numéricos. ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle T_{1}=19^{\circ }C}$ ${\displaystyle z=2m}$ ${\displaystyle T_{2}=22^{\circ }C}$ ${\displaystyle z=8m}$ ${\displaystyle a=0.5}$ ${\displaystyle b=18^{\circ }C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Inversión del tiempo de propagación de las ondas según Marescot (2010)[8]

Este ejemplo invierte la velocidad de la capa terrestre a partir de los tiempos de viaje de las ondas sísmicas registradas. La figura 5 muestra las estimaciones de velocidad iniciales y los tiempos de viaje registrados en el campo, mientras que la figura 6a muestra el modelo de velocidad heterogénea invertida , que es la solución del algoritmo de inversión obtenido después de 30 iteraciones . Como se ve en la figura 6b, existe una buena comparación entre los tiempos de viaje finales obtenidos a partir del modelo directo utilizando la velocidad invertida y los tiempos de viaje registrados en el campo. Utilizando estas soluciones, se reconstruyó la trayectoria del rayo y se muestra que es muy tortuosa a través del modelo terrestre, como se muestra en la figura 7.

Inversión de trazas sísmicas de Cooke y Schneider (1983)

Este ejemplo, tomado de Cooke y Schneider (1983), ^[1] muestra la inversión de una traza sísmica CMP para el perfil de impedancia (producto de densidad y velocidad) del modelo terrestre. La traza sísmica invertida se muestra en la Figura 8, mientras que la Figura 9a muestra el perfil de impedancia invertido con la impedancia inicial de entrada utilizada para el algoritmo de inversión. También se registra junto con la traza sísmica un registro de impedancia de la región terrestre, como se muestra en la Figura 9b. Las figuras muestran una buena comparación entre el registro de impedancia registrado y la impedancia numérica invertida de la traza sísmica.

Referencias

1. Cooke, DA; Schneider WA (junio de 1983). "Inversión lineal generalizada de datos sísmicos de reflexión". Geofísica . 48 (6): 665–676. Bibcode :1983Geop...48..665C. doi :10.1190/1.1441497.
2. Pica, A.; Diet JP; Tarantola A. (marzo de 1990). "Inversión no lineal de datos de reflexión sísmica en un medio lateralmente invariante". Geofísica . 55 (3): 284–292. Bibcode :1990Geop...55..284P. doi :10.1190/1.1442836.
3. Francis, AM (noviembre de 2006). "Comprensión de la inversión estocástica y sísmica". First Break . 24 (11). doi :10.3997/1365-2397.2006026.
4. Wiggins, Ralph (febrero de 1972). "El problema inverso lineal general: Implicación de las ondas superficiales y las oscilaciones libres para la estructura de la Tierra". Reseñas de Geofísica . 10 (1): 251–285. Bibcode :1972RvGSP..10..251W. doi :10.1029/RG010i001p00251.
5. Tarantola, A. (1984). "Linealización e inversión de datos de reflexión sísmica". Prospección geofísica . 32 (6): 908–1015. doi :10.1111/j.1365-2478.1984.tb00751.x.
6. Kanasewich, ER; Chiu SK L (junio de 1985). "Inversión de mínimos cuadrados de datos de refracción sísmica espacial". Boletín de la Sociedad Sismológica de América . 75 (3): 865–880.
7. Cooke, D; Cant J. (abril de 2010). "Inversión sísmica basada en modelos: comparación de enfoques deterministas y probabilísticos". CSEG Recorder .
8. Marescot, Laurent. "Introducción a la inversión en geofísica" . Consultado el 3 de mayo de 2013 .

Lectura adicional

• Backus, G. 1970. “Inferencia a partir de datos inadecuados e inexactos”. Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América 65, no. 1.
• Backus, G. y F. Gilbert. 1968. “El poder de resolución de los datos brutos de la Tierra”. Revista geofísica de la Royal Astronomical Society 16 (2): 169–205.
• Backus, GE y JF Gilbert. 1967. “Aplicaciones numéricas de un formalismo para problemas inversos geofísicos”. Revista Geofísica de la Royal Astronomical Society. 13 (1-3): 247.
• Bamberger, A., G. Chavent, C. Hemon y P. Lailly. 1982. “Inversión de sismogramas de incidencia normal”. Geofísica 47 (5): 757–770.
• Clayton, RW y RH Stolt. 1981. “Un método de inversión Born-WKBJ para datos de reflexión acústica”. Geofísica 46 (11): 1559–1567.
• Franklin, JN 1970. “Extensiones estocásticas bien planteadas de problemas lineales mal planteados”. Journal of Mathematical Analysis and Applications 31 (3): 682.
• Parker, RL 1977. “Comprensión de la teoría inversa”. Revista anual de ciencias de la Tierra y planetarias 5:35–64.
• Rawlinson, N. 2000. “Inversión de datos sísmicos para la estructura de la corteza en capas”. Tesis doctoral, Universidad de Monash.
• Wang, B. y LW Braile. 1996. “Inversión simultánea de datos sísmicos de reflexión y refracción y aplicación a datos de campo del rift norte del Río Grande”. Geophysical Journal International 125 (2): 443–458.
• Weglein, AB , HY Zhang, AC Ramirez, F. Liu y JEM Lira. 2009. “Aclaración del significado subyacente y fundamental de la inversión lineal aproximada de datos sísmicos”. Geofísica 74 (6): 6WCD1–WCD13.