Efecto Oberth

Tipo de maniobra de la nave espacial

En astronáutica , un sobrevuelo propulsado , o maniobra de Oberth , es una maniobra en la que una nave espacial cae en un pozo gravitacional y luego usa sus motores para acelerar aún más mientras cae, logrando así una velocidad adicional. ^[1] La maniobra resultante es una forma más eficiente de ganar energía cinética que aplicar el mismo impulso fuera de un pozo gravitacional. La ganancia en eficiencia se explica por el efecto Oberth , en el que el uso de un motor de reacción a velocidades más altas genera un mayor cambio en la energía mecánica que su uso a velocidades más bajas. En términos prácticos, esto significa que el método más eficiente energéticamente para que una nave espacial queme su combustible es en el periapsis orbital más bajo posible , cuando su velocidad orbital (y, por lo tanto, su energía cinética) es mayor. ^[1] En algunos casos, incluso vale la pena gastar combustible en desacelerar la nave espacial en un pozo gravitacional para aprovechar las eficiencias del efecto Oberth. ^[1] La maniobra y el efecto reciben su nombre de la persona que los describió por primera vez en 1927, Hermann Oberth , un físico sajón de Transilvania y fundador de la cohetería moderna . ^[2]

Debido a que el vehículo permanece cerca del periapsis solo por un corto tiempo, para que la maniobra de Oberth sea más efectiva, el vehículo debe ser capaz de generar tanto impulso como sea posible en el menor tiempo posible. Como resultado, la maniobra de Oberth es mucho más útil para motores de cohetes de alto empuje como los cohetes de combustible líquido , y menos útil para motores de reacción de bajo empuje como los propulsores iónicos , que tardan mucho tiempo en ganar velocidad. Los cohetes de bajo empuje pueden usar el efecto Oberth dividiendo una larga quema de salida en varias quemas cortas cerca del periapsis. El efecto Oberth también se puede usar para comprender el comportamiento de los cohetes de múltiples etapas : la etapa superior puede generar mucha más energía cinética utilizable que la energía química total de los propulsores que transporta. ^[2]

En términos de las energías involucradas, el efecto Oberth es más efectivo a velocidades más altas porque a alta velocidad el propulsor tiene una energía cinética significativa además de su energía potencial química. ^{[2] : 204} A mayor velocidad, el vehículo puede emplear el mayor cambio (reducción) en la energía cinética del propulsor (ya que se agota hacia atrás y, por lo tanto, a velocidad reducida y, por lo tanto, energía cinética reducida) para generar un mayor aumento en la energía cinética del vehículo. ^{[2] : 204}

Explicación en términos de trabajo y energía cinética.

Como la energía cinética es igual a mv ² /2, este cambio de velocidad produce un aumento mayor de la energía cinética a alta velocidad que a baja velocidad. Por ejemplo, si consideramos un cohete de 2 kg:

• A 1 m/s, el cohete arranca con 1 ² = 1 J de energía cinética. Si se añade 1 m/s, la energía cinética aumenta a 2 ² = 4 J, lo que supone una ganancia de 3 J;
• A 10 m/s, el cohete arranca con 10 ² = 100 J de energía cinética. Si se añade 1 m/s, la energía cinética aumenta a 11 ² = 121 J, lo que supone una ganancia de 21 J.

Este mayor cambio en la energía cinética puede entonces llevar al cohete a una mayor altura en el pozo de gravedad que si el propulsor se quemara a una menor velocidad.

Descripción en términos de trabajo

El empuje producido por un motor de cohete es independiente de la velocidad del cohete en relación con la atmósfera circundante. Un cohete que actúa sobre un objeto fijo, como en un disparo estático, no realiza ningún trabajo útil sobre el cohete; la energía química del cohete se convierte progresivamente en energía cinética del escape, más calor. Pero cuando el cohete se mueve, su empuje actúa a lo largo de la distancia que recorre. La fuerza multiplicada por el desplazamiento es la definición de trabajo mecánico . Cuanto mayor sea la velocidad del cohete y la carga útil durante la combustión, mayor será el desplazamiento y el trabajo realizado, y mayor será el aumento de la energía cinética del cohete y su carga útil. A medida que aumenta la velocidad del cohete, progresivamente más energía cinética disponible va al cohete y su carga útil, y menos al escape.

Esto se muestra de la siguiente manera. El trabajo mecánico realizado sobre el cohete ( ) ${\displaystyle W}$ se define como el producto escalar de la fuerza de empuje del motor ( ) ${\displaystyle {\vec {F}}}$ y el desplazamiento que recorre durante la combustión ( ): ${\displaystyle {\vec {s}}}$

${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}.}$

Si la quema se realiza en dirección prograda , el trabajo da como resultado un cambio en la energía cinética. ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=\|F\|\cdot \|s\|=F\cdot s}$

${\displaystyle \Delta E_{k}=F\cdot s.}$

Diferenciando respecto del tiempo, obtenemos

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E_{k}}{\mathrm {d} t}}=F\cdot {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}},}$

o

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E_{k}}{\mathrm {d} t}}=F\cdot v,}$

donde es la velocidad. Dividiendo por la masa instantánea para expresar esto en términos de energía específica ( ), obtenemos ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} e_{k}}{\mathrm {d} t}}={\frac {F}{m}}\cdot v=a\cdot v,}$

¿Dónde está el vector de aceleración ? ${\displaystyle a}$

De esta manera se puede ver fácilmente que la tasa de ganancia de energía específica de cada parte del cohete es proporcional a la velocidad y, dado esto, la ecuación se puede integrar ( numéricamente o de otro modo) para calcular el aumento general de la energía específica del cohete.

Quemadura impulsiva

La integración de la ecuación energética anterior suele ser innecesaria si la duración de la combustión es corta. Las quemas cortas de motores de cohetes químicos cerca del periapsis o en otro lugar suelen modelarse matemáticamente como quemas impulsivas, en las que la fuerza del motor domina cualquier otra fuerza que pueda cambiar la energía del vehículo durante la combustión.

Por ejemplo, cuando un vehículo cae hacia el periapsis en cualquier órbita (órbitas cerradas o de escape), la velocidad relativa al cuerpo central aumenta. Si se quema brevemente el motor (un "quemado impulsivo") en el periapsis, la velocidad aumenta en el mismo incremento que en cualquier otro momento ( ). Sin embargo, dado que la energía cinética del vehículo está relacionada con el cuadrado de su velocidad, este aumento de la velocidad tiene un efecto no lineal en la energía cinética del vehículo, dejándolo con una energía más alta que si se lograra el quemado en cualquier otro momento. ^[3] ${\displaystyle \Delta v}$

Cálculo de Oberth para una órbita parabólica

Si se realiza una quemadura impulsiva de Δ v en el periapsis en una órbita parabólica , entonces la velocidad en el periapsis antes de la quemadura es igual a la velocidad de escape ( V _esc ), y la energía cinética específica después de la quemadura es ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{k}&={\tfrac {1}{2}}V^{2}\\&={\tfrac {1}{2}}(V_{\text{esc}}+\Delta v)^{2}\\&={\tfrac {1}{2}}V_{\text{esc}}^{2}+\Delta vV_{\text{esc}}+{\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2},\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle V=V_{\text{esc}}+\Delta v}$

Cuando el vehículo abandona el campo de gravedad, la pérdida de energía cinética específica es

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}V_{\text{esc}}^{2},}$

Así que conserva la energía

${\displaystyle \Delta vV_{\text{esc}}+{\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2},}$

que es mayor que la energía de una quemadura fuera del campo gravitacional ( ) por ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2}}$

${\displaystyle \Delta vV_{\text{esc}}.}$

Cuando el vehículo ha salido del pozo de gravedad, viaja a una velocidad

${\displaystyle V=\Delta v{\sqrt {1+{\frac {2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}}.}$

En el caso en que el impulso añadido Δ v es pequeño en comparación con la velocidad de escape, se puede ignorar el 1 y se puede ver que el Δ v efectivo de la quemadura impulsiva se multiplica por un factor de simplemente

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}}$

y uno consigue

${\displaystyle V}$≈ ${\displaystyle {\sqrt {{2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}.}$

Efectos similares ocurren en órbitas cerradas e hiperbólicas .

Ejemplo parabólico

Si el vehículo viaja a una velocidad v al inicio de un arranque que cambia la velocidad en Δ v , entonces el cambio en la energía orbital específica (SOE) debido a la nueva órbita es

${\displaystyle v\,\Delta v+{\tfrac {1}{2}}(\Delta v)^{2}.}$

Una vez que la nave espacial se aleja nuevamente del planeta, la energía potencial gravitatoria es completamente cinética, ya que la energía potencial gravitatoria se acerca a cero. Por lo tanto, cuanto mayor sea v en el momento de la combustión, mayor será la energía cinética final y mayor la velocidad final.

El efecto se hace más pronunciado cuanto más cerca esté del cuerpo central, o más generalmente, cuanto más profundo sea el potencial del campo gravitacional en el que se produce la quemadura, ya que allí la velocidad es mayor.

Entonces, si una nave espacial está en un vuelo parabólico alrededor de Júpiter con una velocidad de periapsis de 50 km/s y realiza un encendido de 5 km/s, resulta que el cambio de velocidad final a gran distancia es de 22,9 km/s, lo que da como resultado una multiplicación del encendido por 4,58 veces.

Paradoja

Puede parecer que el cohete está obteniendo energía de forma gratuita, lo que violaría la conservación de la energía . Sin embargo, cualquier ganancia en la energía cinética del cohete se equilibra con una disminución relativa en la energía cinética que queda en el escape (la energía cinética del escape aún puede aumentar, pero no aumenta tanto). ^{[2] : 204} Contraste esto con la situación de encendido estático, donde la velocidad del motor se fija en cero. Esto significa que su energía cinética no aumenta en absoluto, y toda la energía química liberada por el combustible se convierte en energía cinética del escape (y calor).

A velocidades muy altas, la potencia mecánica impartida al cohete puede superar la potencia total liberada en la combustión del propulsor; esto también puede parecer una violación de la conservación de la energía. Pero los propulsores de un cohete que se mueve rápidamente transportan energía no sólo en forma química, sino también en su propia energía cinética, que a velocidades superiores a unos pocos kilómetros por segundo supera al componente químico. Cuando se queman estos propulsores, parte de esta energía cinética se transfiere al cohete junto con la energía química liberada por la combustión. ^[5]

El efecto Oberth puede compensar, por tanto, en parte la eficiencia extremadamente baja que se produce al principio del vuelo del cohete, cuando éste se mueve muy lentamente. La mayor parte del trabajo que realiza un cohete al principio del vuelo se "invierte" en la energía cinética del combustible que aún no se ha quemado, parte de la cual liberará más tarde, cuando se queme.

Véase también

• Portal de astronomía
• Portal de vuelos espaciales

• Transferencia bielíptica
• Asistencia de gravedad
• Eficiencia de propulsión

Referencias

1. Robert B. Adams, Georgia A. Richardson (25 de julio de 2010). Uso de la maniobra de escape de dos quemados para transferencias rápidas en el sistema solar y más allá (PDF) (Informe). NASA . Archivado (PDF) del original el 11 de febrero de 2022 . Consultado el 15 de mayo de 2015 .
2. Hermann Oberth (1970). "Formas de realizar vuelos espaciales". Traducción del original en alemán "Wege zur Raumschiffahrt" (1920). Túnez, Túnez: Agence Tunisienne de Public-Relations.
3. Sitio web de Atomic Rockets: [email protected]. Archivado el 1 de julio de 2007 en Wayback Machine .
4. Siguiendo el cálculo en rec.arts.sf.science.
5. Blanco, Philip; Mungan, Carl (octubre de 2019). "Propulsión de cohetes, relatividad clásica y el efecto Oberth". The Physics Teacher . 57 (7): 439–441. Bibcode :2019PhTea..57..439B. doi : 10.1119/1.5126818 .

Enlaces externos

• Efecto Oberth
• Explicación del efecto por Geoffrey Landis .

• Propulsión de cohetes, relatividad clásica y efecto Oberth

• Animación (MP4) del efecto Oberth en órbita del artículo de Blanco y Mungan citado anteriormente.