Función escalonada

Combinación lineal de funciones indicadoras de intervalos reales

En matemáticas, una función de números reales se denomina función escalonada si se puede escribir como una combinación lineal finita de funciones indicadoras de intervalos . En términos informales, una función escalonada es una función constante por partes que tiene solo un número finito de partes.

Un ejemplo de funciones escalonadas (gráfico rojo). En esta función, cada subfunción constante con un valor de función α _i ( i = 0, 1, 2, ...) está definida por un intervalo A _i y los intervalos se distinguen por puntos x _j ( j = 1, 2, ...). Esta función escalonada particular es continua por la derecha .

Definición y primeras consecuencias

Una función se denomina función escalonada si se puede escribir como ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$, para todos los números reales ${\displaystyle x}$

donde , son números reales, son intervalos y es la función indicadora de : ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{A}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}}$

En esta definición, se puede suponer que los intervalos tienen las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle A_{i}}$

1. Los intervalos son disjuntos por pares : para ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$
2. La unión de los intervalos es la recta real completa: ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

De hecho, si ese no es el caso desde el principio, se puede elegir un conjunto diferente de intervalos para los cuales se cumplan estos supuestos. Por ejemplo, la función escalonada

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

se puede escribir como

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

Variaciones en la definición

A veces, se requiere que los intervalos sean abiertos por la derecha ^[1] o se permite que sean singleton. ^[2] La condición de que la colección de intervalos debe ser finita a menudo se omite, especialmente en matemáticas escolares, ^{[3] [4] [5]} aunque todavía debe ser localmente finito , lo que resulta en la definición de funciones constantes por partes.

Ejemplos

La función escalonada de Heaviside es una función escalonada de uso frecuente.

• Una función constante es un ejemplo trivial de una función escalonada. Entonces solo hay un intervalo, ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• La función de signo sgn( x ) , que es −1 para números negativos y +1 para números positivos, es la función de paso no constante más simple.
• La función de Heaviside H ( x ) , que es 0 para números negativos y 1 para números positivos, es equivalente a la función de signo, hasta un desplazamiento y escala de rango ( ). Es el concepto matemático detrás de algunas señales de prueba , como las que se usan para determinar la respuesta al escalón de un sistema dinámico . ${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$

La función rectangular , la siguiente función escalonada más simple.

• La función rectangular , la función boxcar normalizada , se utiliza para modelar un pulso unitario.

No-ejemplos

• La función de parte entera no es una función escalonada según la definición de este artículo, ya que tiene un número infinito de intervalos. Sin embargo, algunos autores ^[6] también definen funciones escalonadas con un número infinito de intervalos. ^[6]

Propiedades

• La suma y el producto de dos funciones escalonadas es, a su vez, una función escalonada. El producto de una función escalonada por un número también es una función escalonada. Por lo tanto, las funciones escalonadas forman un álgebra sobre los números reales.
• Una función escalonada solo toma un número finito de valores. Si los intervalos para en la definición anterior de la función escalonada son disjuntos y su unión es la línea real, entonces para todos ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ ${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• La integral definida de una función escalonada es una función lineal por partes .
• La integral de Lebesgue de una función escalonada es donde es la longitud del intervalo y se supone aquí que todos los intervalos tienen una longitud finita. De hecho, esta igualdad (vista como una definición) puede ser el primer paso para construir la integral de Lebesgue. ^[7] ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$ ${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$ ${\displaystyle \ell (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$
• Una variable aleatoria discreta se define a veces como una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada es constante por partes. ^[8] En este caso, es localmente una función escalonada (globalmente, puede tener un número infinito de pasos). Sin embargo, por lo general, cualquier variable aleatoria con solo un número contable de valores posibles se denomina variable aleatoria discreta; en este caso, su función de distribución acumulada no es necesariamente localmente una función escalonada, ya que se pueden acumular infinitos intervalos en una región finita.

Véase también

• Función de almena
• Por partes
• Función sigmoidea
• Función simple
• Detección de pasos
• Función escalonada de Heaviside
• Valoración constante por partes

Referencias

1. "Función de paso".
2. "Funciones escalonadas - Mathonline".
3. "Mathwords: Función escalonada".
4. https://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html ^{[ URL básica ]}
5. "Función de paso".
6. Bachman, Narici, Beckenstein (5 de abril de 2002). "Ejemplo 7.2.2". Análisis de Fourier y Wavelet . Springer, Nueva York, 2000. ISBN 0-387-98899-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Weir, Alan J (10 de mayo de 1973). "3". Integración y medida de Lebesgue . Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.
8. Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introducción a la probabilidad . Tsitsiklis, John N. , Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. ISBN 188652940X.OCLC 51441829  .