filtro derivado de m

Tipo de filtro electrónico

Partes de este artículo o sección se basan en el conocimiento del lector sobre la representación compleja de la impedancia de condensadores e inductores y en el conocimiento de la representación de las señales en el dominio de la frecuencia .

Los filtros derivados de m o filtros de tipo m son un tipo de filtro electrónico diseñado utilizando el método de imagen . Fueron inventados por Otto Zobel a principios de los años 1920. ^[1] Este tipo de filtro fue diseñado originalmente para su uso con multiplexación telefónica y fue una mejora del filtro de tipo k constante existente . ^[2] El principal problema que se abordó fue la necesidad de lograr una mejor adaptación del filtro a las impedancias terminales. En general, todos los filtros diseñados por el método de la imagen no logran dar una coincidencia exacta, pero el filtro de tipo m es una gran mejora con la elección adecuada del parámetro m. La sección de filtro tipo m tiene una ventaja adicional porque hay una transición rápida desde la frecuencia de corte de la banda de paso a un polo de atenuación justo dentro de la banda de parada . A pesar de estas ventajas, los filtros tipo m tienen un inconveniente; en frecuencias más allá del polo de atenuación, la respuesta comienza a aumentar nuevamente y los tipos m tienen un rechazo deficiente de la banda suprimida. Por esta razón, los filtros diseñados con secciones tipo m a menudo se diseñan como filtros compuestos con una mezcla de secciones tipo k y tipo m y diferentes valores de m en diferentes puntos para obtener el rendimiento óptimo de ambos tipos. ^[3]

Fondo

Zobel patentó una red de adaptación de impedancias en 1920 ^[5] que, en esencia, utilizaba la topología de los ahora llamados filtros tipo m, pero Zobel no los nombró como tales ni los analizó mediante el método de la imagen. Esto es anterior a la publicación de George Campbell de su diseño de tipo k constante en 1922 en el que se basa el filtro de tipo m. ^[6] Zobel publicó la teoría de análisis de imágenes de filtros tipo m en 1923. ^[7] Los filtros tipo M, que alguna vez fueron populares y los filtros diseñados con parámetros de imagen en general, ahora rara vez se diseñan, ya que han sido reemplazados por métodos de síntesis de redes más avanzados . ^[8]

Derivación

Media sección de filtro general de la serie derivada de m

Media sección del filtro de paso bajo en derivación derivada de m.
${\displaystyle C={\frac {L}{R_{0}^{2}}}}$

El componente básico de los filtros derivados de m, como ocurre con todos los filtros de impedancia de imagen, es la red "L", llamada media sección y compuesta por una impedancia en serie Z y una admitancia en derivación Y. El filtro derivado de m es un derivado del filtro k constante . El punto de partida del diseño son los valores de Z e Y derivados del prototipo k constante y están dados por

${\displaystyle k^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

donde k es la impedancia nominal del filtro, o R ₀ . El diseñador ahora multiplica Z e Y por una constante arbitraria m (0 < m < 1). Hay dos tipos diferentes de sección derivada de m; serie y derivación. Para obtener la media sección de la serie derivada de m, el diseñador determina la impedancia que se debe sumar a 1/mY para que la impedancia de la imagen Z_iT sea la misma que la impedancia de la imagen de la sección k constante original. A partir de la fórmula general para la impedancia de la imagen , se puede demostrar que la impedancia adicional requerida es ^[9]

${\displaystyle {\frac {1-m^{2}}{m}}Z.}$

Para obtener la media sección de derivación derivada de m, se agrega una admitancia a 1/mZ para hacer que la impedancia de la imagen Z sea _iΠla misma que la impedancia de la imagen de la media sección original. Se puede demostrar que la admitancia adicional requerida es ^[10]

${\displaystyle {\frac {1-m^{2}}{m}}Y.}$

La disposición general de estos circuitos se muestra en los diagramas de la derecha junto con un ejemplo específico de una sección de paso bajo.

Una consecuencia de este diseño es que la media sección derivada de m coincidirá con una sección de tipo k sólo en un lado. Además, una sección tipo m de un valor de m no coincidirá con otra sección tipo m de otro valor de m excepto en los lados que ofrecen la Z _idel tipo k. ^[11]

Frecuencia de operación

Para la media sección de paso bajo que se muestra, la frecuencia de corte del tipo m es la misma que la del tipo k y está dada por

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

El polo de atenuación ocurre en;

${\displaystyle \omega _{\infty }={\frac {\omega _{c}}{\sqrt {1-m^{2}}}}.}$

De esto queda claro que valores más pequeños de m producirán una frecuencia de corte más cercana y, por lo tanto, tendrán un corte más agudo. A pesar de este corte, también acerca la respuesta de banda de parada no deseada del tipo m a la frecuencia de corte, lo que hace más difícil filtrarla en secciones posteriores. El valor de m elegido suele ser un compromiso entre estos requisitos en conflicto. También existe un límite práctico a lo pequeño que se puede hacer m debido a la resistencia inherente de los inductores. Esto tiene el efecto de hacer que el polo de atenuación sea menos profundo (es decir, que ya no sea un polo genuinamente infinito) y que la pendiente de corte sea menos pronunciada. Este efecto se vuelve más marcado a medida que se acerca a , y deja de haber mejora en la respuesta con una m de aproximadamente 0,2 o menos. ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle \omega _{\infty }}$ ${\displaystyle \omega _{c}\,\!}$ ${\displaystyle \omega _{\infty }}$ ${\displaystyle \omega _{c}\,\!}$

Impedancia de imagen

Prototipo de filtro de paso bajo en derivación derivado de m Impedancia de imagen Z _iTm para varios valores de m . Los valores por debajo de la frecuencia de corte solo se muestran para mayor claridad.

Las siguientes expresiones para impedancias de imagen hacen referencia a la sección del prototipo de paso bajo. Están escaladas a la impedancia nominal R ₀ = 1, y todas las frecuencias en esas expresiones están escaladas a la frecuencia de corte ω _c = 1.

Secciones de serie

Las impedancias de imagen de la sección en serie vienen dadas por ^[14]

${\displaystyle Z_{iT}={\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$

y es el mismo que el de la sección k constante

${\displaystyle Z_{i\Pi m}={\frac {1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}.}$

Secciones de derivación

Las impedancias de imagen de la sección de derivación vienen dadas por ^[11]

${\displaystyle Z_{i\Pi }={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$

y es el mismo que el de la sección k constante

${\displaystyle Z_{iTm}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}}}{1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}}}$

Al igual que con la sección de tipo k, la impedancia de imagen de la sección de paso bajo tipo m es puramente real por debajo de la frecuencia de corte y puramente imaginaria por encima de ella. En el gráfico se puede ver que en la banda de paso la coincidencia de impedancia más cercana a una terminación de resistencia pura constante ocurre aproximadamente en m = 0,6. ^[14]

Parámetros de transmisión

Función de transferencia de filtro de paso bajo derivada de m para una única media sección

Para una sección derivada de m en general, los parámetros de transmisión para una media sección vienen dados por ^[14]

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {mZ}{\sqrt {k^{2}+(1-m^{2})Z^{2}}}}}$

y para n medias secciones

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

Para el ejemplo particular de la sección L de paso bajo, los parámetros de transmisión se resuelven de manera diferente en tres bandas de frecuencia. ^[14]

Para que la transmisión sea sin pérdidas: ${\displaystyle 0<\omega <\omega _{c}\,\!}$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)}$

Para los parámetros de transmisión son ${\displaystyle \omega _{c}<\omega <\omega _{\infty }}$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left({\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}-1\right)+i{\frac {\pi }{2}}}$

Para los parámetros de transmisión son ${\displaystyle \omega _{\infty }<\omega <\infty }$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)+i0}$

Transformaciones de prototipos

Los gráficos mostrados de impedancia, atenuación y cambio de fase de la imagen son los gráficos de una sección de filtro prototipo de paso bajo . El prototipo tiene una frecuencia de corte de ω _c = 1 rad/s y una impedancia nominal R ₀ = 1 Ω. Esto se produce mediante una media sección de filtro donde L = 1 henrio y C = 1 faradio. Este prototipo se puede escalar en impedancia y en frecuencia a los valores deseados. El prototipo de paso bajo también se puede transformar en tipos de paso alto, paso de banda o supresión de banda mediante la aplicación de transformaciones de frecuencia adecuadas . ^[15]

Secciones en cascada

Se pueden conectar en cascada varias medias secciones en L para formar un filtro compuesto . La impedancia igual siempre debe mirar como en estas combinaciones. Por lo tanto, se pueden formar dos circuitos con dos medias secciones en L idénticas. Cuando Z _iTenfrenta a Z _iT, la sección se llama Πsección. Donde Z _iΠenfrenta a Z _iΠla sección formada es una sección en T. Adiciones adicionales de medias secciones a cualquiera de estas forman una red de escalera que puede comenzar y terminar con elementos en serie o en derivación. ^[dieciséis]

Hay que tener en cuenta que las características del filtro predichas por el método de la imagen sólo son precisas si la sección termina con su impedancia de imagen. Por lo general, esto no es cierto para las secciones en ambos extremos que generalmente terminan con una resistencia fija. Cuanto más alejada esté la sección del final del filtro, más precisa será la predicción, ya que los efectos de las impedancias terminales quedan enmascarados por las secciones intermedias. Es habitual proporcionar medias secciones en los extremos del filtro con m = 0,6 ya que este valor proporciona el Z más plano _ien la banda de paso y, por tanto, la mejor adaptación a una terminación resistiva. ^[17]

Ver también

• Impedancia de imagen
• Filtro k constante
• Filtros de imagen generales tipo m _n
• filtro tipo mm'
• Filtro de imagen compuesta

Referencias

1. Belevitch, V , "Resumen de la historia de la teoría de circuitos", Actas de la IRE , vol 50 , edición 5, páginas 849, mayo de 1962.
2. Bray, J, Innovación y revolución de las comunicaciones , p.62, Instituto de Ingenieros Eléctricos, 2002 ISBN  0-85296-218-5 .
3. Zobel, págs. 16-19.
4. Zobel, OJ, Filtros de ondas eléctricas , patente estadounidense 1.850.146 , págs. 2-3, presentada el 25 de noviembre de 1930, expedida el 22 de marzo de 1932.
5. Zobel, OJ, Red de terminación para filtros , patente estadounidense 1.557.229 , presentada el 30 de abril de 1920, expedida el 13 de octubre de 1925.
6. Campbell, GA, "Teoría física del filtro de ondas eléctrico", Bell System Tech J , noviembre de 1922, vol 1, no 2, págs.
7. Zobel, OJ, Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos , Bell System Technical Journal, vol. 2 (1923), págs. 1–46.
8. Roberto Sorrentino, Diseño y simulación de filtros electrónicos , p. 57, McGraw-Hill Profesional, 2007 ISBN 0-07-149467-7 . 
9. Matthaei, pág. 64.
10. Matthaei, página 66.
11. Matthaei, pag. sesenta y cinco.
12. Bode, Hendrik W., Wave Filter , patente estadounidense 2.002.216 , p. 1 c. 1 ll.14–26, presentado el 7 de junio de 1933, publicado el 21 de mayo de 1935.
13. Alan Keith Walton, Análisis y práctica de redes , págs. 197, 203, Cambridge University Press, 1987 ISBN 0-521-31903-X . 
14. Matthaei, pag. 63.
15. Matthaei, págs. 60–61 (LPF), 412 (HPF), 438-439 (BPF).
16. Diario de Radio Redifon, 1970 , págs. 45–48, William Collins Sons & Co, 1969.
17. Matthaei, págs. 72–74.

Bibliografía

• Mathaei, Young, Jones Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento McGraw-Hill 1964 (la edición de 1980 es ISBN 0-89006-099-1 ). 
• Para un tratamiento más sencillo del análisis ver,

• Ghosh, Smarajit, Teoría de redes: análisis y síntesis , Prentice Hall de la India, págs. 564–569 2005 ISBN 81-203-2638-5 .