Teorema de extensión de Tietze

Los mapas continuos en un subconjunto cerrado de un espacio normal se pueden extender

Pavel Urysohn

En topología , el teorema de extensión de Tietze (también conocido como teorema de extensión de Tietze - Urysohn - Brouwer o lema de Urysohn-Brouwer ^[1] ) establece que cualquier función continua de valor real en un subconjunto cerrado de un espacio topológico normal puede extenderse a todo el espacio, preservando la acotación si es necesario.

Declaración formal

Si es un espacio normal y es una función continua de un subconjunto cerrado de en los números reales que llevan la topología estándar , entonces existe una extensión continua de a es decir, existe una función continua en todos los de con para todos Además, se puede elegir de manera que es decir, si está acotado, entonces se puede elegir que esté acotado (con el mismo límite que ). ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X;}$ $${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(a)=f(a)}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \sup\{|f(a)|:a\in A\}~=~\sup\{|F(x)|:x\in X\},}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

Prueba

La función se construye iterativamente. En primer lugar, definimos Observe que y son subconjuntos cerrados y disjuntos de . Al tomar una combinación lineal de la función obtenida de la prueba del lema de Urysohn , existe una función continua tal que y además en . En particular, se sigue que en . Ahora usamos la inducción para construir una secuencia de funciones continuas tales que Hemos demostrado que esto es válido para y suponemos que se han construido. Defina y repita el argumento anterior reemplazando con y reemplazando con . Luego encontramos que existe una función continua tal que Por la hipótesis inductiva, por lo tanto obtenemos las identidades requeridas y la inducción es completa. Ahora, definimos una función continua como Dado , Por lo tanto, la secuencia es Cauchy . Dado que el espacio de funciones continuas en junto con la norma sup es un espacio métrico completo , se sigue que existe una función continua tal que converge uniformemente a . Dado que en , se sigue que en . Finalmente, observamos que por lo tanto está acotado y tiene el mismo límite que . ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=\sup\{|f(a)|:a\in A\}\\E_{0}&=\{a\in A:f(a)\geq c_{0}/3\}\\F_{0}&=\{a\in A:f(a)\leq -c_{0}/3\}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g_{0}:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\frac {c_{0}}{3}}{\text{ on }}E_{0}\\g_{0}&=-{\frac {c_{0}}{3}}{\text{ on }}F_{0}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle -{\frac {c_{0}}{3}}\leq g_{0}\leq {\frac {c_{0}}{3}}}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{0}|&\leq {\frac {c_{0}}{3}}\\|f-g_{0}|&\leq {\frac {2c_{0}}{3}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {2^{n}c_{0}}{3^{n+1}}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2^{n+1}c_{0}}{3^{n+1}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle g_{0},...,g_{n-1}}$ $${\displaystyle c_{n-1}=\sup\{|f(a)-g_{0}(a)-...-g_{n-1}(a)|:a\in A\}}$$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{n-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-g_{0}-...-g_{n-1}}$ ${\displaystyle g_{n}:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {c_{n-1}}{3}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2c_{n-1}}{3}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle c_{n-1}\leq 2^{n}c_{0}/3^{n}}$ ${\displaystyle F_{n}:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F_{n}=g_{0}+...+g_{n}.}$$ ${\displaystyle n\geq m}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|F_{n}-F_{m}|&=|g_{m+1}+...+g_{n}|\\&\leq \left(\left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}+...+\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}\right){\frac {c_{0}}{3}}\\&\leq \left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}c_{0}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (F_{n})_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle |f-F_{n}|\leq {\frac {2^{n}c_{0}}{3^{n+1}}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F=f}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle |F_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }|g_{n}|\leq c_{0}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \square }$

Historia

LEJ Brouwer y Henri Lebesgue demostraron un caso especial del teorema, cuando es un espacio vectorial real de dimensión finita . Heinrich Tietze lo extendió a todos los espacios métricos y Pavel Urysohn demostró el teorema como se enuncia aquí, para espacios topológicos normales. ^{[2] [3]} ${\displaystyle X}$

Declaraciones equivalentes

Este teorema es equivalente al lema de Urysohn (que también es equivalente a la normalidad del espacio) y es ampliamente aplicable, ya que todos los espacios métricos y todos los espacios de Hausdorff compactos son normales. Puede generalizarse reemplazando por para algún conjunto de indexación cualquier retracción de o cualquier retracción absoluta normal . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{J}}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{J},}$

Variaciones

Si es un espacio métrico, un subconjunto no vacío de y es una función continua de Lipschitz con constante de Lipschitz entonces puede extenderse a una función continua de Lipschitz con la misma constante. Este teorema también es válido para funciones continuas de Hölder , es decir, si es una función continua de Hölder con constante menor o igual a entonces puede extenderse a una función continua de Hölder con la misma constante. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$

Otra variante (de hecho, generalización) del teorema de Tietze se debe a H.Tong y Z. Ercan: ^[5] Sea un subconjunto cerrado de un espacio topológico normal Si es una función semicontinua superior , una función semicontinua inferior y una función continua tal que para cada y para cada , entonces existe una extensión continua de tal que para cada Este teorema también es válido con alguna hipótesis adicional si se reemplaza por un espacio de Riesz localmente sólido general . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(a)\leq h(a)\leq g(a)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle H:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(x)\leq H(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Dugundji (1951) extiende el teorema de la siguiente manera: Si es un espacio métrico, es un espacio vectorial topológico localmente convexo , es un subconjunto cerrado de y es continuo, entonces podría extenderse a una función continua definida en todos los . Además, la extensión podría elegirse de modo que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(X)\subseteq {\text{conv}}f(A)}$

Véase también

• Teorema de Blumberg  : Cualquier función real en R admite una restricción continua en un subconjunto denso de R
• Teorema de Hahn-Banach  – Teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotados
• Teorema de extensión de Whitney  : recíproco parcial del teorema de Taylor

Referencias

1. "Lema de Urysohn-Brouwer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. "Lema de Urysohn-Brouwer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Urysohn, Paul (1925), "Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen", Mathematische Annalen , 94 (1): 262–295, doi :10.1007/BF01208659, hdl : 10338.dmlcz/101038.
4. McShane, EJ (1 de diciembre de 1934). "Extensión del rango de funciones". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 40 (12): 837–843. doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05978-0 .
5. Zafer, Ercan (1997). "Extensión y separación de funciones con valores vectoriales" (PDF) . Revista Turca de Matemáticas . 21 (4): 423–430.

• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de extensión de Tietze". De MathWorld
• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
• Bonan, Edmond (1971), "Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 272 : 714–717.