elipsoide de Jacobi

Forma adoptada por un cuerpo fluido autogravitante que gira a velocidad constante

Representación artística de Haumea , un planeta enano con forma de elipsoide triaxial.

Un elipsoide de Jacobi es un elipsoide triaxial (es decir, escaleno) en equilibrio hidrostático que surge cuando un cuerpo fluido autogravitante de densidad uniforme gira con una velocidad angular constante . Lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi . ^[1]

Historia

Antes de Jacobi, el esferoide de Maclaurin , formulado en 1742, se consideraba el único tipo de elipsoide que podía estar en equilibrio. ^{[2] [3]} Lagrange en 1811 ^[4] consideró la posibilidad de que un elipsoide triaxial estuviera en equilibrio, pero concluyó que los dos ejes ecuatoriales del elipsoide deben ser iguales, lo que lleva a la solución del esferoide de Maclaurin. Pero Jacobi se dio cuenta de que la demostración de Lagrange es una condición de suficiencia, pero no necesaria. Él comentó: ^[5]

"Se cometería un grave error si se supusiera que los esferoides de revolución son las únicas figuras de equilibrio admisibles incluso bajo el supuesto restrictivo de superficies de segundo grado" (...) "De hecho, una simple consideración muestra que los elipsoides con tres Los ejes pueden muy bien ser figuras de equilibrio; y que se puede suponer una elipse de forma arbitraria para la sección ecuatorial y determinar el tercer eje (que también es el menor de los tres ejes) y la velocidad angular de rotación de modo que el elipsoide sea una figura de equilibrio."

fórmula de jacobi

Los ejes semiprincipales ecuatorial ( a , b ) y polar ( c ) de un elipsoide de Jacobi y un esferoide de Maclaurin, en función del momento angular normalizado, sujeto a abc  = 1 (es decir, para un volumen constante de 4 π /3).
Las líneas discontinuas corresponden al esferoide de Maclaurin en el rango en el que tiene estabilidad dinámica pero no secular: se relajará en el elipsoide de Jacobi siempre que pueda disipar energía en virtud de un fluido constituyente viscoso.

Para un elipsoide con ejes semiprincipales ecuatoriales y eje semiprincipal polar , la velocidad angular está dada por ${\displaystyle a,\ b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}=2abc\int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}\ ,\quad \Delta ^{2}=(a^{2}+u)(b^{2}+u)(c^{2}+u),}$

donde es la densidad y es la constante gravitacional , sujeto a la condición ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle a^{2}b^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}=c^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(c^{2}+u)\Delta }}.}$

Para valores fijos de y , la condición anterior tiene solución tal que ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}>{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Las integrales se pueden expresar en términos de integrales elípticas incompletas . ^[6] En términos de la integral elíptica de la forma simétrica de Carlson , la fórmula para la velocidad angular se convierte en ${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {4abc}{3(a^{2}-b^{2})}}(a^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-b^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))}$

y la condición sobre el tamaño relativo de los ejes semiprincipales es ${\displaystyle a,\ b,\ c}$

${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\frac {a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}(R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))={\frac {2}{3}}c^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).}$

El momento angular del elipsoide de Jacobi está dado por ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}r}}}={\frac {\sqrt {3}}{10}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad r={\sqrt[{3}]{abc}},}$

donde es la masa del elipsoide y es el radio medio , el radio de una esfera del mismo volumen que el elipsoide. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$

Relación con el elipsoide de Dedekind

Los elipsoides de Jacobi y Dedekind son figuras de equilibrio para un cuerpo de fluido autogravitante homogéneo en rotación. Sin embargo, mientras que el elipsoide de Jacobi gira corporalmente, sin flujo interno del fluido en el marco giratorio, el elipsoide de Dedekind mantiene una orientación fija, con el fluido constituyente circulando dentro de él. Esta es una consecuencia directa del teorema de Dedekind .

Para cualquier elipsoide de Jacobi, existe un elipsoide de Dedekind con los mismos ejes semiprincipales y la misma masa y con un campo de velocidad de flujo de ^[7] ${\displaystyle a,\ b,\ c}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\zeta {\frac {-a^{2}y\mathbf {\hat {x}} +b^{2}x\mathbf {\hat {y}} }{a^{2}+b^{2}}},}$

donde están las coordenadas cartesianas en ejes alineados respectivamente con los ejes del elipsoide. Aquí está la vorticidad , que es uniforme en todo el esferoide ( ). La velocidad angular del elipsoide de Jacobi y la vorticidad del elipsoide de Dedekind correspondiente están relacionadas por ^[7] ${\displaystyle x,\ y,\ z}$ ${\displaystyle {\hat {x}},\ {\hat {y}},\ {\hat {z}}}$ ${\displaystyle a,\ b,\ c}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =\zeta \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \zeta =\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\Omega .}$

Es decir, cada partícula del fluido del elipsoide de Dedekind describe un circuito elíptico similar en el mismo período en el que el esferoide de Jacobi realiza una rotación.

En el caso especial de , los elipsoides de Jacobi y Dedekind (y el esferoide de Maclaurin) se vuelven uno y el mismo; La rotación corporal y el flujo circular equivalen a lo mismo. En este caso , como siempre ocurre con un cuerpo que gira rígidamente. ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \zeta =2\Omega }$

En el caso general, los elipsoides de Jacobi y Dedekind tienen la misma energía, ^[8] pero el momento angular del esferoide de Jacobi es mayor en un factor de ^[8]

${\displaystyle {\frac {L_{\mathrm {Jac} }}{L_{\mathrm {Ded} }}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right).}$

Ver también

• esferoide de maclaurina
• elipsoide de Riemann
• elipsoide de Roche
• El problema elipsoidal de Dirichlet
• Esferoide
• elipsoide

Referencias

1. Jacobi, CG (1834). "Ueber die Figur des Gleichgewichts". Annalen der Physik (en alemán). 109 (8–16): 229–233. Código bibliográfico : 1834AnP...109..229J. doi : 10.1002/andp.18341090808.
2. Chandrasekhar, S. (1969). Figuras elipsoidales de equilibrio . vol. 10. New Haven: Prensa de la Universidad de Yale. pag. 253.
3. Chandrasekhar, S. (1967). "Cifras elipsoidales de equilibrio: un relato histórico". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 20 (2): 251–265. doi :10.1002/cpa.3160200203.
4. Lagrange, JL (1811). Sección Mécanique Analytique . IV 2vol.
5. Dirichlet, GL (1856). "Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 52 : 193–217.
6. Darwin, GH (1886). "Sobre la figura de equilibrio de Jacobi para una masa de fluido en rotación". Actas de la Royal Society de Londres . 41 (246–250): 319–336. Código bibliográfico : 1886RSPS...41..319D. doi :10.1098/rspl.1886.0099. S2CID  121948418.
7. Chandrasekhar, Subrahmanyan (1965). "El equilibrio y la estabilidad de los elipsoides de Dedekind". Revista Astrofísica . 141 : 1043-1055. Código bibliográfico : 1965ApJ...141.1043C. doi : 10.1086/148195 .
8. Bardeen, James M. (1973). "Estrellas, discos y agujeros negros que giran rápidamente". En DeWitt, C.; DeWitt, Bryce Seligman (eds.). Agujeros negros . Ciclo de conferencias Houches. Prensa CRC. págs. 267–268. ISBN 9780677156101.