Péndulo doble

Péndulo con otro péndulo unido a su extremo

Un péndulo doble consta de dos péndulos unidos por un extremo.

En física y matemáticas , en el área de sistemas dinámicos , un péndulo doble también conocido como péndulo caótico es un péndulo con otro péndulo unido a su extremo, formando un sistema físico simple que exhibe un rico comportamiento dinámico con una fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales . ^{[1] El movimiento de un péndulo doble está gobernado por un conjunto de} ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas y es caótico .

Análisis e interpretación

Se pueden considerar varias variantes del péndulo doble; los dos extremos pueden tener longitudes y masas iguales o desiguales, pueden ser péndulos simples o péndulos compuestos (también llamados péndulos complejos) y el movimiento puede ser tridimensional o estar restringido al plano vertical. En el siguiente análisis, se considera que los extremos son péndulos compuestos idénticos de longitud l y masa m , y el movimiento está restringido a dos dimensiones.

Péndulo compuesto doble

Movimiento del péndulo compuesto doble (a partir de la integración numérica de las ecuaciones de movimiento)

En un péndulo compuesto, la masa se distribuye a lo largo de su longitud. Si la masa del péndulo doble se distribuye uniformemente, entonces el centro de masa de cada rama está en su punto medio y la rama tiene un momento de inercia de I = ⁠1/12⁠ ml ² sobre ese punto.

Es conveniente utilizar los ángulos entre cada rama y la vertical como coordenadas generalizadas que definen la configuración del sistema. Estos ángulos se denotan θ ₁ y θ ₂ . La posición del centro de masa de cada varilla puede escribirse en términos de estas dos coordenadas. Si se toma el origen del sistema de coordenadas cartesianas como el punto de suspensión del primer péndulo, entonces el centro de masa de este péndulo está en:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}}$

y el centro de masa del segundo péndulo está en

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$

Esta es suficiente información para escribir el Lagrangiano.

Lagrangiano

El lagrangiano es

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$

El primer término es la energía cinética lineal del centro de masa de los cuerpos y el segundo término es la energía cinética rotacional alrededor del centro de masa de cada varilla. El último término es la energía potencial de los cuerpos en un campo gravitacional uniforme. La notación de puntos indica la derivada temporal de la variable en cuestión.

Desde (ver Regla de la cadena y Lista de identidades trigonométricas )

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\cos \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\cos ^{2}\theta _{1}\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\sin \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\sin ^{2}\theta _{1}\right)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}{\tfrac {l^{2}}{4}}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {l^{2}}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2},}$

y

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}\right)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)}$

${\displaystyle =l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right),}$

Sustituyendo las coordenadas anteriores y reorganizando la ecuación se obtiene

${\displaystyle L={\tfrac {ml^{2}}{2}}\left({\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {ml^{2}}{24}}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange dan entonces las dos siguientes ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden en ^[a] : ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2})}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}m_{2}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{2}\left(\left(\theta _{2}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+\theta _{2}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)+m_{1}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)=0\\g\sin \left(\theta _{2}\right)+l_{1}\left(\theta _{1}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)-\left(\theta _{1}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{2}\theta _{2}''=0\\\end{array}}}$

No se conocen soluciones en forma cerrada para θ ₁ y θ ₂ como funciones del tiempo, por lo tanto, la resolución del sistema sólo puede hacerse numéricamente , utilizando el método de Runge Kutta o técnicas similares .

Gráfica paramétrica de la evolución temporal de los ángulos de un péndulo doble. Se puede observar que la gráfica se asemeja a un movimiento browniano .

Movimiento caótico

Gráfica del tiempo que tarda el péndulo en girar en función de las condiciones iniciales

Exposición prolongada de un péndulo doble que muestra un movimiento caótico (seguimiento mediante un LED )

El péndulo doble experimenta un movimiento caótico y muestra claramente una dependencia sensible de las condiciones iniciales . La imagen de la derecha muestra la cantidad de tiempo transcurrido antes de que el péndulo se dé la vuelta, en función de la posición inicial cuando se suelta en reposo. Aquí, el valor inicial de θ ₁ varía a lo largo de la dirección x de −3,14 a 3,14. El valor inicial de θ ₂ varía a lo largo de la dirección y de −3,14 a 3,14. El color de cada píxel indica si alguno de los péndulos se da la vuelta en:

• ${\displaystyle {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(negro)
• ${\displaystyle 10{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(rojo)
• ${\displaystyle 100{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(verde)
• ${\displaystyle 1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(azul) o
• ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(púrpura).

Tres péndulos dobles con condiciones iniciales casi idénticas divergen con el tiempo, lo que muestra la naturaleza caótica del sistema.

Las condiciones iniciales que no conducen a un cambio interno se representan en blanco. ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

El límite de la región blanca central está definido en parte por la conservación de energía con la siguiente curva:

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.}$

Dentro de la región que está definida por esta curva, es decir si

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,}$

Entonces es energéticamente imposible que cualquiera de los dos péndulos se dé la vuelta. Fuera de esta región, el péndulo puede darse la vuelta, pero es una cuestión compleja determinar cuándo se dará la vuelta. Se observa un comportamiento similar para un péndulo doble compuesto por dos masas puntuales en lugar de dos varillas con masa distribuida. ^[2]

La falta de una frecuencia de excitación natural ha llevado al uso de sistemas de doble péndulo en diseños de resistencia sísmica en edificios, donde el edificio en sí es el péndulo invertido primario y una masa secundaria está conectada para completar el doble péndulo.

Véase también

• Péndulo doble invertido
• Péndulo (mecánica)
• Trabuquete
• Bolas
• Amortiguador de masa
• Los libros de texto de física de mediados del siglo XX utilizan el término "péndulo doble" para referirse a un único cuerpo suspendido de una cuerda que, a su vez, está suspendido de una cuerda en forma de V. Este tipo de péndulo , que produce curvas de Lissajous , se conoce ahora como péndulo de Blackburn .

Notas

1. Las ecuaciones se obtuvieron con el siguiente código Mathematica :

   Bloque [ { m , g , \ [ Theta ], l , L , x , y , v , t }, x = Acumulado [{ Subíndice [ l , 1 ], Subíndice [ l , 2 ]} * Sin [{ Subíndice [ \ [ Theta ], 1 ], Subíndice [ \ [ Theta ], 2 ]}]]; y = Acumulado [ { Subíndice [ l , 1 ], Subíndice [ l , 2 ]} *- Cos [{ Subíndice [ \ [ Theta ], 1 ], Subíndice [ \ [ Theta ], 2 ]}]]; v = D [{ x , y } /. Subíndice [ \ [ Theta ], i_ ] :> Subíndice [ \ [ Theta ], i ][ t ], t ]; L = Plus @@ ({ Subíndice [ m , 1 ], Subíndice [ m , 2 ]} * ( 1 / 2 Mapa [ # . # & , Transposición [ v ]] - ( g y /. Subíndice [ \ [ Theta ], i_ ] :> Subíndice [ \ [ Theta ], i ][ t ]))); FullSimplify [ Tabla [ D [ Construir [ Función , L /. Subíndice                                                                           [ \ [ Theta ], i ] ' [ t ] -> # ] ' [ Subíndice [ \ [ Theta ], i ] ' [ t ]], t ] == Construir [ Función , L /. Subíndice [ \ [ Theta ], i ][ t ] -> # ] ' [ Subíndice [ \ [ Theta ], i ][ t ]] , { i , 2 } ], Suposiciones -> { Subíndice [ l , 1 ] > 0 , Subíndice [ l , 2 ] > 0 , Subíndice [ m , 1 ] > 0 , Subíndice [ m , 2 ] > 0 } ] /. h_ [ t ] :> h // Columna // TeXForm ]                                                    

Referencias

1. Levien, RB; Tan, SM (1993). "Péndulo doble: un experimento en el caos". American Journal of Physics . 61 (11): 1038. Bibcode :1993AmJPh..61.1038L. doi :10.1119/1.17335.
2. Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum (Proyecto final de muestra: una firma del caos en el péndulo doble ), (2013). Un informe elaborado como ejemplo para los estudiantes. Incluye una derivación de las ecuaciones de movimiento y una comparación entre el péndulo doble con dos masas puntuales y el péndulo doble con dos varillas.

• Meirovitch, Leonard (1986). Elementos de análisis de vibraciones (2.ª ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contiene detalles de las complicadas ecuaciones involucradas) y "Double Pendulum" de Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project , 2007 (animaciones de esas ecuaciones).
• Peter Lynch , Double Pendulum , (2001). (Simulación de subprograma Java).
• Universidad Northwestern, Double Pendulum Archivado el 3 de junio de 2007 en Wayback Machine , (simulación de subprograma Java).
• Grupo de Astrofísica Teórica de Altas Energías de la UBC, Doble péndulo , (2005).

Enlaces externos

• Animaciones y explicaciones de un péndulo doble y un péndulo doble físico (dos placas cuadradas) por Mike Wheatland (Universidad de Sydney)

• Simulación de física interactiva en JavaScript de código abierto con ecuaciones detalladas de doble péndulo
• Simulación interactiva en Javascript de un péndulo doble
• Simulación física de doble péndulo de www.myphysicslab.com utilizando código JavaScript de código abierto
• Simulación, ecuaciones y explicación del péndulo de Rott
• Vídeos comparativos de un péndulo doble con las mismas condiciones iniciales de partida en YouTube
• Simulador de doble péndulo: un simulador de código abierto escrito en C++ utilizando el kit de herramientas Qt .
• Simulador de Java en línea Archivado 2022-08-16 en Wayback Machine de la exposición Imaginary .