Distribución de metales

Distribuciones metalog de tres términos

Distribución del metalograma de cuatro términos cuando ${\displaystyle a_{3}=0}$

La distribución metalog es una distribución de probabilidad continua flexible diseñada para facilitar su uso en la práctica. Junto con sus transformaciones, la familia metalog de distribuciones continuas es única porque incorpora todas las siguientes propiedades: flexibilidad de forma prácticamente ilimitada; una elección entre distribuciones ilimitadas, semilimitadas y acotadas; facilidad de ajuste de datos con mínimos cuadrados lineales; ecuaciones simples de función cuantil de forma cerrada ( CDF inversa ) que facilitan la simulación ; un PDF simple y de formato cerrado ; y actualización bayesiana en forma cerrada a la luz de nuevos datos. Además, al igual que una serie de Taylor , las distribuciones metalográficas pueden tener cualquier número de términos, según el grado de flexibilidad de forma deseado y otras necesidades de la aplicación.

Las aplicaciones en las que las distribuciones metalog pueden resultar útiles suelen implicar el ajuste de datos empíricos, datos simulados o cuantiles obtenidos por expertos para suavizar distribuciones de probabilidad continuas. Los campos de aplicación son muy variados e incluyen economía, ciencia, ingeniería y muchos otros campos. Las distribuciones metalog, también conocidas como distribuciones Keelin, fueron publicadas por primera vez en 2016 ^[1] por Tom Keelin. ^[2]

Historia

La historia de las distribuciones de probabilidad puede verse, en parte, como una progresión de desarrollos hacia una mayor flexibilidad en la forma y los límites al ajustar los datos . La distribución normal se publicó por primera vez en 1756, ^[3] y el teorema de Bayes en 1763. ^[4] La distribución normal sentó las bases para gran parte del desarrollo de la estadística clásica. Por el contrario, el teorema de Bayes sentó las bases para las representaciones de probabilidad basadas en creencias y estados de información . Como las probabilidades basadas en creencias pueden adoptar cualquier forma y tener límites naturales, se necesitaban distribuciones de probabilidad lo suficientemente flexibles para dar cabida a ambas. Además, muchos conjuntos de datos empíricos y experimentales exhibían formas que no podían coincidir bien con las distribuciones normales u otras distribuciones continuas . Así comenzó la búsqueda de distribuciones de probabilidad continuas con formas y límites flexibles.

A principios del siglo XX, la familia de distribuciones de Pearson ^{[5] , que incluye la} normal , beta , uniforme , gamma , t de Student , chi-cuadrado , F y otras cinco, ^surgió como un avance importante en la forma. flexibilidad. A estas les siguieron las distribuciones de Johnson ^{[7] [8]} . Ambas familias pueden representar los primeros cuatro momentos de los datos ( media , varianza , asimetría y curtosis ) con curvas continuas suaves. Sin embargo, no tienen la capacidad de igualar momentos de quinto orden o de orden superior. Además, para una asimetría y una curtosis determinadas, no hay límites para elegir. Por ejemplo, hacer coincidir los primeros cuatro momentos de un conjunto de datos puede producir una distribución con un límite inferior negativo, aunque se sepa que la cantidad en cuestión no puede ser negativa. Finalmente, sus ecuaciones incluyen integrales intratables y funciones estadísticas complejas, por lo que el ajuste de los datos normalmente requiere métodos iterativos.

A principios del siglo XXI, los analistas de decisiones comenzaron a trabajar para desarrollar distribuciones de probabilidad continua que se ajustaran exactamente a tres puntos específicos de la función de distribución acumulativa para una cantidad incierta (por ejemplo, obtenida por expertos y cuantiles). Las distribuciones de las familias Pearson y Johnson fueron en general inadecuadas para este propósito. Además, los analistas de decisiones también buscaron distribuciones de probabilidad que fueran fáciles de parametrizar con datos (por ejemplo, mediante el uso de mínimos cuadrados lineales o, de manera equivalente, regresión lineal múltiple ). Introducida en 2011, la clase de distribuciones parametrizadas por cuantiles (QPD) logró ambos objetivos. Si bien fue un avance significativo por esta razón, la QPD utilizada originalmente para ilustrar esta clase de distribuciones, la distribución Q-Normal simple, ^[9] tenía menos flexibilidad de forma que las familias Pearson y Johnson, y carecía de la capacidad de representar distribuciones semi-limitadas. y distribuciones acotadas. Poco después, Keelin ^[1] desarrolló la familia de distribuciones metalog, otro ejemplo de la clase QPD, que es más flexible en cuanto a formas que las familias Pearson y Johnson, ofrece una opción de acotación, tiene ecuaciones de forma cerrada que pueden ajustarse a datos con mínimos cuadrados lineales y tiene funciones cuantiles de forma cerrada , que facilitan la simulación de Monte Carlo . ${\displaystyle 0.10,0.50}$ ${\displaystyle 0.90}$

Definición y función cuantil.

La distribución metalog es una generalización de la distribución logística , donde el término "metalog" es la abreviatura de "metalogistic". Comenzando con la función cuantil logística , Keelin sustituyó expansiones de series de potencias en la probabilidad acumulada por los parámetros y , que controlan la ubicación y la escala, respectivamente. ^[10] ${\displaystyle x=Q(y)=\mu +s{\mbox{ }}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$ ${\displaystyle y=F(x)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mu =a_{1}+a_{4}(y-0.5)+a_{5}(y-0.5)^{2}+a_{7}(y-0.5)^{3}+a_{9}(y-0.5)^{4}+\dots }$

${\displaystyle s=a_{2}+a_{3}(y-0.5)+a_{6}(y-0.5)^{2}+a_{8}(y-0.5)^{3}+a_{10}(y-0.5)^{4}+\dots }$

El razonamiento de Keelin para esta sustitución fue cinco. ^[10] En primer lugar, la función cuantil resultante tendría una flexibilidad de forma significativa, regida por los coeficientes . En segundo lugar, tendría una forma cerrada simple que es lineal en estos coeficientes, lo que implica que podrían determinarse fácilmente a partir de datos CDF mediante mínimos cuadrados lineales . En tercer lugar, la función cuantil resultante sería fluida, diferenciable y analítica , lo que garantizaría que estaría disponible un PDF fluido y de formato cerrado . En cuarto lugar, la simulación se vería facilitada por la CDF inversa de forma cerrada resultante . En quinto lugar, al igual que una serie de Taylor , se podría utilizar cualquier número de términos , dependiendo del grado de flexibilidad de forma deseado y otras necesidades de aplicación. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle k}$

Tenga en cuenta que los subíndices de los coeficientes son tales que y están en la expansión, y están en la expansión, y los subíndices se alternan a partir de entonces. Este orden se eligió de modo que los dos primeros términos de la función cuantil metalog resultante correspondan exactamente a la distribución logística; agregar un tercer término con asimetría ajustada; agregar un cuarto término ajusta principalmente la curtosis; y agregar términos posteriores distintos de cero produce refinamientos de forma más matizados. ^{[10] : pág.252} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{4}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{4}\neq 0}$

Al reescribir la función cuantil logística para incorporar las sustituciones anteriores de y se obtiene la función cuantil metalog , para probabilidad acumulada . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0<y<1}$

${\displaystyle M_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for }}k=2\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for }}k=3\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}(y-0.5)&{\mbox{for }}k=4\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{k-1 \over 2}&{\mbox{for odd }}k\geq 5\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{{k \over 2}-1}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for even }}k\geq 6\\\end{array}}\right.}$

De manera equivalente, la función cuantil metalog se puede expresar en términos de funciones base: , donde las funciones base metalog son y cada subsiguiente se define como la expresión que se multiplica por en la ecuación anterior. Tenga en cuenta que el coeficiente es la mediana , ya que todos los demás términos son iguales a cero cuando . Los casos especiales de la función cuantil metalog son la distribución logística ( ) y la distribución uniforme ( de lo contrario). ${\displaystyle M_{k}(y)=\sum _{i=1}^{k}a_{i}g_{i}(y)}$ ${\displaystyle g_{1}(y)=1,{\mbox{ }}g_{2}(y)=\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )},}$ ${\displaystyle g_{i}(y)}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle M_{k}(y)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle y=0.5}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle k\geq 4,a_{1}=0.5,a_{4}=1,a_{i}=0}$

Función de densidad de probabilidad

Derivando con respecto a se obtiene la función de densidad cuantil ^[11] . El recíproco de esta cantidad, es la función de densidad de probabilidad expresada como p-PDF, ^[12] ${\displaystyle x=M_{k}(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle q(y)=dx/dy}$ ${\displaystyle (q(y))^{-1}=dy/dx=f(Q(y))}$

${\displaystyle m_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}{y(1-y) \over {a_{2}}}&{\mbox{for }}k=2\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for }}k=3\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for }}k=4\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{k-1 \over 2}(y-0.5)^{(k-3)/2}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for odd }}k\geq 5\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{\Bigl (}{(y-0.5)^{k/2-1} \over {y(1-y)}}+({k \over 2}-1)(y-0.5)^{(k/2-2)}\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for even }}k\geq 6,\\\end{array}}\right.}$

que puede expresarse de manera equivalente en términos de funciones básicas como

${\displaystyle m_{k}(y)=\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}\right)^{-1}}$dónde . ${\displaystyle 0<y<1}$

Tenga en cuenta que esta PDF se expresa como una función de probabilidad acumulada, en lugar de una variable de interés . Para trazar el PDF (por ejemplo, como se muestra en las figuras de esta página), se puede variar paramétricamente y luego trazar en el eje horizontal y en el eje vertical. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in (0,1)}$ ${\displaystyle x=M_{k}(y)}$ ${\displaystyle m_{k}(y)}$

Con base en las ecuaciones anteriores y las siguientes transformaciones que permiten elegir los límites, la familia de distribuciones de metalog se compone de metalogs ilimitados, semilimitados y acotados, junto con sus casos especiales de triplete percentil simétrico (SPT).

Distribuciones de metalog ilimitadas, semilimitadas y acotadas

Como se definió anteriormente, la distribución del metalog es ilimitada, excepto en el caso especial inusual en el que todos los términos que contienen . Sin embargo, muchas aplicaciones requieren distribuciones de probabilidad flexibles que tengan un límite inferior , un límite superior o ambos. Para satisfacer esta necesidad, Keelin utilizó transformaciones para derivar distribuciones de metalogramas acotadas y semilimitadas. ^[1] Tales transformaciones se rigen por una propiedad general de las funciones cuantiles: para cualquier función cuantil y una función creciente es también una función cuantil . ^[13] Por ejemplo, la función cuantil de la distribución normal es ; dado que el logaritmo natural, es una función creciente, es la función cuantil de la distribución lognormal . De manera análoga, al aplicar esta propiedad a la función cuantil metalog utilizando las transformaciones siguientes se obtienen los miembros acotados y semilimitados de la familia metalolog. Al considerar que están distribuidos por metalog, todos los miembros de la familia metalog cumplen con la definición de Keelin y Powley ^[9] de una distribución parametrizada por cuantiles y, por lo tanto, poseen las propiedades de la misma. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle \ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$ ${\displaystyle b_{l}}$ ${\displaystyle b_{u}}$ ${\displaystyle x=Q(y)}$ ${\displaystyle z(x),x=z^{-1}(Q(y))}$ ${\displaystyle x=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}$ ${\displaystyle z(x)=\ln(x-b_{l})}$ ${\displaystyle x=b_{l}+e^{\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}}$ ${\displaystyle M_{k}(y)}$ ${\displaystyle z(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|c|c|c|c|c}&&&&&{\mbox{shape}}\\&{\mbox{transformation}}&{\mbox{quantile function}}&{\mbox{PDF}}&{\mbox{where}}&{\mbox{parameters}}\\\hline {\mbox{Metalog (unbounded)}}&z(x)=x&M_{k}(y)&m_{k}(y)&0<y<1&k-2\\\hline {\mbox{Log metalog}}&z(x)=\ln(x-b_{l})&M_{k}^{\log(}y)=b_{l}+e^{M_{k}(y)}&m_{k}^{\log(}y)=m_{k}(y)e^{-M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded below)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\\hline {\mbox{Negative-log metalog}}&z(x)=-\ln(b_{u}-x)&M_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=b_{u}-e^{-M_{k}(y)}&m_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=m_{k}(y)e^{M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded above)}}&&=b_{u}&=0&y=1\\\hline {\mbox{Logit metalog}}&z(x)=\ln {\Bigl (}{x-b_{l} \over {b_{u}-x}}{\Bigr )}&M_{k}^{\operatorname {logit} }(y)={b_{l}+b_{u}e^{M_{k}(y)} \over {1+e^{M_{k}(y)}}}&m_{k}^{\operatorname {logit} }(y)=m_{k}(y){{\bigl (}1+e^{M_{k}(y)}{\bigr )}^{2} \over {(b_{u}-b_{l})e^{M_{k}(y)}}}&0<y<1&k\\{\mbox{(bounded)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\&&=b_{u}&=0&y=1\end{array}}}$

Tenga en cuenta que el número de parámetros de forma en la familia de metalog aumenta linealmente con el número de términos . Por lo tanto, cualquiera de los metalogs anteriores puede tener cualquier número de parámetros de forma. Por el contrario, las familias de distribuciones de Pearson y Johnson están limitadas a dos parámetros de forma. ${\displaystyle k}$

Distribuciones de metalog SPT

Metalog SPT acotado parametrizado con datos CDF y con límites inferior y superior y respectivamente. ${\displaystyle (20,0.1),(30,0.5),}$ ${\displaystyle (50,0.9)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 100}$

Las distribuciones metalograficas de triplete percentil simétrico (SPT) son un caso especial de tres términos de las distribuciones metalograficas ilimitadas, semilimitadas y acotadas. ^[14] Estos están parametrizados por los tres puntos de la curva CDF , de la forma , y , donde . Los metalogs SPT son útiles cuando, por ejemplo, los cuantiles correspondientes a las probabilidades CDF (p. ej. ) se obtienen de un experto y se utilizan para parametrizar las distribuciones de metalog de tres términos. Como se indica a continuación, ciertas propiedades matemáticas se simplifican mediante la parametrización del SPT. ${\displaystyle (k=3)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x_{1},\alpha )}$ ${\displaystyle (x_{2},0.5)}$ ${\displaystyle (x_{3},1-\alpha )}$ ${\displaystyle 0<\alpha <0.5}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle 0.1,0.5,0.9}$

Propiedades

La familia metalog de distribuciones de probabilidad tiene las siguientes propiedades.

Factibilidad

Una función de la forma de o cualquiera de sus transformadas anteriores es una distribución de probabilidad factible si y solo si su PDF es mayor que cero para todos ^[9] Esto implica una restricción de factibilidad en el conjunto de coeficientes , ${\displaystyle M_{k}(y)}$ ${\displaystyle y\in (0,1).}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},...,a_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle m_{k}(y)>0}$para todos . ${\displaystyle y\in (0,1)}$

En aplicaciones prácticas, la viabilidad generalmente debe comprobarse en lugar de asumirse. Para , asegura la viabilidad. Para (incluidos los metalogs SPT), la condición de viabilidad es y . ^[14] Para , se ha derivado una forma cerrada similar. ^[15] Para , la viabilidad suele comprobarse gráfica o numéricamente. ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle a_{2}>0}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle a_{2}>0}$ ${\displaystyle {|a_{3}|/a_{2}}<1.66711}$ ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle k\geq 5}$

El metalologo ilimitado y sus transformadas anteriores comparten el mismo conjunto de coeficientes factibles. ^[16] Por lo tanto, para un conjunto dado de coeficientes, confirmar que para todos es suficiente independientemente de la transformación en uso. ${\displaystyle m_{k}(y)>0}$ ${\displaystyle y\in (0,1)}$

Convexidad

El conjunto de coeficientes metalog factibles para todos es convexo . Debido a que los problemas de optimización convexos requieren conjuntos convexos factibles, esta propiedad puede simplificar los problemas de optimización que involucran metalogs. Además, esta propiedad garantiza que cualquier combinación convexa de los vectores de metalogs factibles es factible, lo cual es útil, por ejemplo, al combinar la opinión de múltiples expertos ^[17] o interpolar entre metalogs factibles. ^[18] Por implicación, cualquier mezcla probabilística de distribuciones metalog es en sí misma un metalog. ${\displaystyle S_{\boldsymbol {a}}=\{{\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{k}|m_{k}(y)>0}$ ${\displaystyle y\in (0,1)\}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

Ajuste a los datos

Distribución de registros metálicos de 10 términos sobre la altura máxima anual del ancho del río (pies) desde 1920 hasta 2014 para el río Williamson debajo de la confluencia del río Sprague, Chiloquin, Oregon. Fuente de datos: USGS .

Los coeficientes se pueden determinar a partir de datos mediante mínimos cuadrados lineales . Dados los puntos de datos que pretenden caracterizar una CDF de metalograma y una matriz cuyos elementos constan de las funciones base , siempre que sea invertible, el vector columna de los coeficientes viene dado por , donde y el vector columna . Si , esta ecuación se reduce a , donde el metalog CDF resultante recorre todos los puntos de datos exactamente. Para los metalogs SPT, se reduce aún más a expresiones en términos de los tres puntos directamente. ^[14] ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ ${\displaystyle g_{j}(y_{i})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}})^{-1}{\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {z}}}$ ${\displaystyle n\geq k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=(z(x_{1}),\ldots ,z(x_{n}))}$ ${\displaystyle n=k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {Y}}^{-1}{\boldsymbol {z}}}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

Un método de ajuste alternativo, implementado como un programa lineal, determina los coeficientes minimizando la suma de distancias absolutas entre la CDF y los datos, sujeto a restricciones de viabilidad. ^[19]

Cómo convergen los metalogs a la distribución normal estándar a medida que aumenta de 2 a 10 ${\displaystyle k}$

Distribuciones de Weibull (azul) muy aproximadas a distribuciones de metalog semilimitadas de nueve términos (discontinuas, amarillas)

Flexibilidad de forma

Según el teorema de flexibilidad del metálogo, ^[17] cualquier distribución de probabilidad con una función cuantil continua puede aproximarse arbitrariamente mediante un metálogo. Además, en el artículo original, Keelin demostró que las distribuciones metalog de diez términos parametrizadas por 105 puntos CDF de 30 distribuciones de fuentes tradicionales (incluidas las distribuciones normal, t de Student, lognormal, gamma, beta y de valores extremos) se aproximan a cada una de esas fuentes. distribución dentro de una distancia KS de 0,001 o menos. ^[20] Por lo tanto, la flexibilidad de la forma del metalograma es prácticamente ilimitada.

La figura animada de la derecha ilustra esto para la distribución normal estándar, donde los metalogs con varios números de términos están parametrizados por el mismo conjunto de 105 puntos de la CDF normal estándar. El PDF del metalolog converge al PDF normal estándar a medida que aumenta el número de términos. Con dos términos, el metalólogo se aproxima a la normal con una distribución logística. Con cada incremento en el número de términos, el ajuste se acerca. Con 10 términos, el PDF metalog y el PDF normal estándar son visualmente indistinguibles.

De manera similar, los PDF de metalog semilimitados de nueve términos son visualmente indistinguibles de una variedad de distribuciones de Weibull . Los seis casos que se muestran a la derecha corresponden a los parámetros de forma de Weibull 0,5, 0,8, 1,0, 1,5, 2 y 4. En cada caso, el metalólogo está parametrizado por los nueve puntos del CDF de Weibull que corresponden a las probabilidades acumuladas . ${\displaystyle b_{l}=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=(0.001,0.02,0.10,0.25,0.5,0.75,0.9,0.98,0.999)}$

Esta convergencia no es exclusiva de las distribuciones normal y de Weibull. Keelin originalmente mostró resultados análogos para una amplia gama de distribuciones ^[20] y desde entonces ha proporcionado más ilustraciones. ^{[17] [21]}

Mediana

La mediana de cualquier distribución de la familia de los metalog tiene una forma cerrada simple. Tenga en cuenta que define la mediana y (ya que todos los términos posteriores son cero para ). De ello se deduce que las medianas de las distribuciones metalog ilimitada, log metalog, log metalog negativo y logit metalog son , , y , respectivamente. ${\displaystyle y=0.5}$ ${\displaystyle M_{k}(0.5)=a_{1}}$ ${\displaystyle y=0.5}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{l}+e^{a_{1}}}$ ${\displaystyle b_{u}-e^{-a_{1}}}$ ${\displaystyle {b_{l}+b_{u}e^{a_{1}} \over {1+e^{a_{1}}}}}$

Momentos

El momento de la distribución metalog ilimitada, es un caso especial de la fórmula más general para QPD. ^[9] Para el metalólogo ilimitado, tales integrales se evalúan como momentos de forma cerrada que son polinomios de orden en los coeficientes . Los primeros cuatro momentos centrales del metálogo ilimitado de cuatro términos son: ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle E[x^{m}]=\int _{y=0}^{1}{M_{k}(y)}^{m}\,dy}$ ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mean}}={}&a_{1}+{a_{3} \over 2}\\[6pt]{\text{variance}}={}&\pi ^{2}{{a_{2}}^{2} \over 3}+{{a_{3}}^{2} \over {12}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{2} \over {36}}+a_{2}a_{4}+{{a_{4}}^{2} \over {12}}\\[6pt]{\text{skewness}}={}&\pi ^{2}{a_{2}}^{2}{a_{3}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{3} \over {24}}+{{{a_{2}}{a_{3}}{a_{4}}} \over {2}}+\pi ^{2}{{{a_{2}}{a_{3}}{a_{4}}} \over {6}}+{{{a_{3}}{a_{4}}^{2}} \over {8}}\\[6pt]{\text{kurtosis}}={}&7\pi ^{4}{{a_{2}}^{4} \over {15}}+3\pi ^{2}{{{a_{2}}^{2}{a_{3}}^{2}} \over {24}}+7\pi ^{4}{{{a_{2}}^{2}{a_{3}}^{2}} \over {30}}+{{{a_{3}}^{4}} \over {80}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{4} \over {24}}+7\pi ^{4}{{a_{3}}^{4} \over {1200}}+2\pi ^{2}{a_{2}}^{3}{a_{4}}\\[6pt]&{}+{{{a_{2}}{a_{3}}^{2}{a_{4}}} \over {2}}+2\pi ^{2}{{{a_{2}}{a_{3}}^{2}{a_{4}}} \over {3}}+2{{a_{2}}^{2}{a_{4}}^{2}}+\pi ^{2}{{{a_{2}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {6}}+{{{a_{3}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {8}}+\pi ^{2}{{{a_{3}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {40}}+{{{a_{2}}{a_{4}}^{3}} \over {3}}+{{a_{4}}^{4} \over {80}}\end{aligned}}}$

En estas ecuaciones se incluyen momentos para menos términos. Por ejemplo, los momentos del metalograma de tres términos se pueden obtener poniéndolos a cero. También están disponibles momentos para metalogs con más términos y momentos de orden superior ( ). ^[22] Los momentos para metalogs acotados y semi-acotados no están disponibles en forma cerrada. ${\displaystyle a_{4}}$ ${\displaystyle m>4}$

Parametrización con momentos

Los metalogs ilimitados de tres términos se pueden parametrizar en forma cerrada con sus primeros tres momentos centrales . Sea y la media, la varianza y la asimetría, y sea la asimetría estandarizada . Las expresiones equivalentes de los momentos en términos de coeficientes y de los coeficientes en términos de momentos son las siguientes: ${\displaystyle m,v,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{s}}$ ${\displaystyle s_{s}=s/v^{3/2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}m=a_{1}+{a_{3} \over 2}&&a_{1}=m-{a_{3} \over 2}\\[6pt]v=\pi ^{2}{{a_{2}}^{2} \over 3}+{{a_{3}}^{2} \over {12}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{2} \over {36}}&&a_{2}={1 \over {\pi }}{\Bigl [}3{\Bigl (}v-{\Bigl (}{1 \over {12}}+{{\pi }^{2} \over {36}}{\Bigr )}{a_{3}}^{2}{\Bigr )}{\Bigr ]}^{1 \over {2}}\\[6pt]s=\pi ^{2}{a_{2}}^{2}{a_{3}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{3} \over {24}}&&a_{3}=4{\Bigl (}{6v \over {6+\pi ^{2}}}{\Bigr )}^{1 \over {2}}\cos {\Bigl [}{1 \over {3}}{\Bigl (}\cos ^{-1}{\Bigl (}-{s_{s} \over {4}}{\Bigl (}1+{{\pi }^{2} \over {6}}{\Bigr )}^{1 \over {2}}{\Bigr )}+4\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}\\[6pt]\end{array}}}$

La equivalencia de estos dos conjuntos de expresiones se puede derivar observando que las ecuaciones de momentos de la izquierda determinan un polinomio cúbico en términos de los coeficientes y , que se puede resolver en forma cerrada como funciones de y . Además, esta solución es única. ^[23] En términos de momentos, la condición de viabilidad es , que puede demostrarse que es equivalente a la siguiente condición de viabilidad en términos de los coeficientes: ; y . ^[23] ${\displaystyle a_{1},a_{2},}$ ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle m,v,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s_{s}|\leq 2.07093}$ ${\displaystyle a_{2}>0}$ ${\displaystyle {|a_{3}|/a_{2}}<1.66711}$

Esta propiedad se puede utilizar, por ejemplo, para representar la suma de variables aleatorias independientes y distribuidas de forma no idéntica . Con base en los cumulantes , se sabe que para cualquier conjunto de variables aleatorias independientes, la media, la varianza y la asimetría de la suma son las sumas de las respectivas medias, varianzas y asimetrías. Parametrizar un metálogo de tres términos con estos momentos centrales produce una distribución continua que preserva exactamente estos tres momentos y, en consecuencia, proporciona una aproximación razonable a la forma de la distribución de la suma de variables aleatorias independientes.

Simulación

Dado que sus funciones cuantiles se expresan en forma cerrada, los metalogs facilitan la simulación de Monte Carlo . La sustitución de muestras aleatorias distribuidas uniformemente en la función cuantil de Metalog (CDF inversa) produce muestras aleatorias de en forma cerrada, eliminando así la necesidad de invertir una CDF. Consulte a continuación las aplicaciones de simulación. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Obtener y combinar la opinión de expertos

Debido a su flexibilidad de forma, las distribuciones metalog pueden ser una opción atractiva para obtener y representar la opinión de expertos. ^[24] Además, si las opiniones de múltiples expertos se expresan como metalog de términos, la opinión de consenso puede calcularse como un metalog de términos en forma cerrada, donde los coeficientes del metalog de consenso son simplemente un promedio ponderado de los del metalog de consenso. expertos individuales. ^[17] Este resultado se deriva de la vincentización , donde la función cuantil de consenso es un promedio ponderado de funciones cuantiles individuales. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

Actualización bayesiana en forma cerrada

En un artículo clásico, Howard (1970) ^[25] muestra cómo se puede utilizar la distribución beta-binomial para actualizar, según la regla de Bayes en forma cerrada, la incertidumbre sobre la frecuencia a largo plazo de un lanzamiento de moneda que sale "cara" en a la luz de nuevos datos sobre lanzamientos de monedas. Por el contrario, si la incertidumbre de interés a actualizar no se define por una probabilidad escalar sobre un evento discreto (como el resultado de un lanzamiento de moneda) sino por una función de densidad de probabilidad sobre una variable continua, se puede utilizar la actualización metalog bayesiana. Bajo ciertas condiciones, los parámetros y coeficientes cuantiles del metalograma pueden actualizarse en forma cerrada a la luz de nuevos datos de acuerdo con la regla de Bayes . ^[17] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

Aplicaciones

Para 3.474 truchas arco iris capturadas y liberadas en el río Babine en Columbia Británica durante 2006-2010, los datos empíricos de peso (histograma) y el log metalog PDF de 10 términos (curva azul) se ajustan a estos datos mediante mínimos cuadrados.

Debido a su forma y flexibilidad de límites, los metalogs se pueden utilizar para representar datos empíricos o de otro tipo en prácticamente cualquier campo del esfuerzo humano.

• Astronomía . Se aplicaron metalogs para evaluar los riesgos del impacto de un asteroide. ^[26]
• La seguridad cibernética . Se utilizaron metalogs en la evaluación de riesgos de seguridad cibernética. ^{[19] [27]}
• Obtener y combinar la opinión de expertos . Statistics Canada obtuvo opiniones de 18 expertos sobre las futuras tasas de fertilidad canadienses, que incluyeron el uso de comentarios en PDF en tiempo real basados ​​en hojas de cálculo basados ​​en metalogs de cinco términos. Luego, las opiniones de los expertos individuales se ponderaron y combinaron en un pronóstico general basado en metalogramas. ^[24]
• Exploración y visualización de datos empíricos . En biología de peces, se ajustó una distribución logarítmica de 10 términos (limitada a 0 a continuación) a los pesos de 3.474 truchas arco iris capturadas y liberadas en el río Babine en Columbia Británica durante 2006-2010. La bimodalidad de la distribución resultante se ha atribuido a la presencia en el río de desovadores por primera y segunda vez, los últimos de los cuales tienden a pesar más. ^[28]
• Hidrología . Se utilizó un metalograma semilimitado de 10 términos para modelar la distribución de probabilidad de las alturas anuales del ancho de los ríos. ^[29]
• Producción de yacimientos petrolíferos . Se utilizaron metalogs SPT semilimitados para analizar los sesgos en las proyecciones de producción de yacimientos petrolíferos en comparación con la producción observada después del hecho. ^[30]
• Gestión de la cartera . Los metalogs SPT se han utilizado para modelar el valor comercial de nuevos productos y carteras de productos. ^[31]
• Distribuciones de entrada de simulación . Para respaldar una decisión de licitación, la incertidumbre sobre el valor futuro de cada uno de los 259 activos financieros se representó como un metalograma SPT. Se demostró que una simulación del valor total de la cartera produce resultados más realistas que una simulación correspondiente basada en valores discretos bajo, mediano y alto para cada activo. ^[32]
• Distribuciones de salida de simulación . Los metalogs también se han utilizado para ajustar datos de salida de simulaciones con el fin de representar esos resultados como distribuciones continuas de forma cerrada (tanto CDF como PDF). Usados ​​de esta manera, suelen ser más estables y suaves que los histogramas. ^[32]
• Sumas de lognormales . Los metalogs permiten una representación en forma cerrada de distribuciones conocidas cuyos CDF no tienen expresión en forma cerrada. Keelin et al. (2019) ^[18] aplican esto a la suma de distribuciones lognormales independientes distribuidas idénticamente, donde los cuantiles de la suma pueden determinarse mediante una gran cantidad de simulaciones. Nueve de estos cuantiles se utilizan para parametrizar una distribución metalog semilimitada que recorre exactamente cada uno de estos nueve cuantiles. Los parámetros cuantiles se almacenan en una tabla, que luego se puede interpolar para producir valores intermedios; Se garantiza que estos valores son factibles mediante la propiedad de convexidad anterior.

Panel Metalog para datos de peso de trucha arcoíris

Elegir el número de términos

Para una aplicación y un conjunto de datos determinados, la elección del número de términos metalog depende del contexto y puede requerir criterio. Para la elicitación de expertos, normalmente son suficientes de tres a cinco términos. Para la exploración de datos y el emparejamiento de otras distribuciones de probabilidad, como la suma de lognormales, suelen ser suficientes de ocho a 12 términos. Un panel de metalog, que muestra los archivos PDF del metalog correspondientes a diferentes números de términos para un conjunto de datos determinado, puede ayudar a este juicio. Por ejemplo, en el panel metalog del peso de la trucha arcoíris, ^[1] el uso de menos de siete términos posiblemente no se ajuste a los datos al oscurecer la bimodalidad inherente de los datos. Usar más de 11 términos es innecesario y, en principio, podría sobreajustar los datos. El caso con 16 términos no es factible para este conjunto de datos, como lo indica la celda en blanco en el panel del metalograma. Otras herramientas (como la regularización , el criterio de información de Akaike y el criterio de información bayesiano ) también pueden resultar útiles. Por ejemplo, cuando se aplica a los datos de peso de la trucha arcoíris, la clasificación AIC de distribuciones de metalog de 2 a 16 términos junto con una amplia gama de distribuciones clásicas identifica el metalog de registro de 11 términos como el que mejor se ajusta a estos datos. Una clasificación BIC similar identifica el registro metálico de 10 términos como el que mejor se adapta. Keelin (2016) ^[1] ofrece más perspectivas sobre la selección de distribución dentro de la familia metalog. ^[33] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Distribuciones relacionadas

Las distribuciones metalog pertenecen al grupo de distribuciones definidas en términos de la función cuantil , que incluyen las distribuciones parametrizadas por cuantiles , la distribución lambda de Tukey , su generalización, GLD, ^[34] la distribución de Govindarajulu ^[35] y otras. ^[13] Las siguientes distribuciones se incluyen dentro de la familia metalog:

• La distribución logística es un caso especial del metalog ilimitado donde para todos . ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i>2}$
• La distribución uniforme es un caso especial de: 1) el metalog ilimitado donde , y en caso contrario; y 2) el metalog acotado donde , , , y de otro modo. ${\displaystyle k\geq 4}$ ${\displaystyle a_{1}=0.5}$ ${\displaystyle a_{4}=1}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle b_{l}=0}$ ${\displaystyle b_{u}=1}$ ${\displaystyle a_{2}=1}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$
• La distribución log-logística , también conocida como distribución de Fisk en economía, es un caso especial del log metalog donde y para todos . ${\displaystyle b_{l}=0}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i>2}$
• La distribución logarítmica uniforme es un caso especial del metalograma logarítmico donde , , y de lo contrario. ${\displaystyle k\geq 4}$ ${\displaystyle a_{1}=0.5}$ ${\displaystyle a_{4}=1}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$
• La distribución logit-logística ^[36] es un caso especial del logit metalog donde para todos . ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i>2}$

Software

Se pueden utilizar herramientas de software disponibles gratuitamente para trabajar con distribuciones de metalog:

• Libros de Excel. Al pegar o escribir datos CDF, los metalogs (con límites a elegir) se muestran instantáneamente.
  • El libro de trabajo de metalogs de SPT ^[37] calcula metalogs de 2 a 3 términos determinados por tres datos CDF. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$
  • El libro de trabajo de Metalogs ^[38] calcula entre 2 y 16 términos de metalogs (incluido el panel de metalogs) determinados por entre 2 y 10 000 datos CDF. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$
  • Los libros de trabajo de Metalog ELD (datos igualmente probables) ^[39] calculan de 2 a 16 términos de metalog determinados por 2 a 10 000 datos CDF, donde 's y el panel de metalog se calculan automáticamente. ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle y_{i}}$
• R. rmetalog ^[40] (en Red completa de archivos R, CRAN ).
• Pitón. Pymetalog ^[41] refleja fielmente el paquete R. Metalogistic ^[42] aprovecha la plataforma SciPy .
• MakeDistribution.com ^[43] facilita la experimentación con metalogs parametrizados por varios puntos de datos CDF. La calculadora metalog SPT, ^[44] la calculadora metalog ^[45] y la calculadora metalog ELD ^[46] son ​​versiones en línea de los libros de Excel.
• SIPmath Modeler Tools ^[47] admite distribuciones de metalog en un complemento de Excel para simulación.
• Software Analytica Free 101 de Lumina ^[48] para modelar y ayudar en decisiones difíciles.
• Metalog Builder de BayesFusion ^[49] permite la construcción interactiva de distribuciones metalog. GeNIe de BayesFusion ^[50] (la versión académica del software es gratuita para la investigación y la enseñanza académica) implementa las distribuciones metalog.

Los paquetes disponibles comercialmente también admiten el uso de distribuciones metalog:

• FrontLine Solvers: Analytic Solver, RASON y Solver SDK, ^[51] software para optimización. Ajusta automáticamente los datos del usuario a toda la gama de distribuciones de metalog (limitadas e ilimitadas, de varios términos) y ofrece la opción de comparar distribuciones de metalog con distribuciones clásicas basadas en criterios de bondad de ajuste seleccionados por el usuario.
• Lone Star Analysis: software TruNavigator y AnalyticsOS ^[52] para análisis predictivos y prescriptivos.

Referencias

1. Keelin, Thomas W. (2016). "Las distribuciones de Metalog" (PDF) . Análisis de decisión . 13 (4): 243–277. doi :10.1287/deca.2016.0338. ISSN  1545-8490. Archivado desde el original el 28 de noviembre de 2016.
2. "Acerca del autor". www.metalogdistribuciones.com . Consultado el 13 de febrero de 2021 .
3. De Moivre, A. (1756). La doctrina de las posibilidades: o un método para calcular las probabilidades de eventos en juego (Vol. 1). Compañía editorial de Chelsea.
4. Bayes, T. (1763). LII. Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades. Por el difunto Reverendo Bayes, FRS comunicado por el Sr. Price, en una carta a John Canton, AMFR S. Philosophical transacciones of the Royal Society of London, (53), págs. 370–418.
5. Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N. Distribuciones univariadas continuas, volumen 1, segunda edición, John Wiley & Sons, Ltd, 1994, págs.
6. Ord, JK, 1972. Familias de distribuciones de frecuencia. Charles Griffin & Co, Ltd, Londres. Tabla 1.1, pág.6.
7. Johnson, Países Bajos (1949). "Sistemas de curvas de frecuencia generadas por métodos de traducción". Biometrika . 36 (1/2): 149-176. doi :10.2307/2332539. JSTOR  2332539. PMID  18132090.
8. Tadikamalla, Pandu R.; Johnson, Norman L. (1982). "Sistemas de Curvas de Frecuencia Generadas por Transformaciones de Variables Logísticas". Biometrika . 69 (2): 461–465. doi :10.1093/biomet/69.2.461. JSTOR  2335422.
9. Keelin, Thomas W.; Powley, Bradford W. (4 de agosto de 2011). "Distribuciones parametrizadas por cuantiles" (PDF) . Análisis de decisión . 8 (3): 206–219. doi :10.1287/deca.1110.0213. ISSN  1545-8490. Archivado desde el original el 1 de septiembre de 2011.
10. Keelin TW (2016). "Las distribuciones de Metalog". Análisis de decisión. 13 (4): 243–277.
11. Parzen, E., 1979, Modelado de datos estadísticos no paramétricos, Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística, 7, 105-131
12. p-PDF: una función de densidad de probabilidad expresada como función de probabilidad acumulada en lugar de como variable de interés ; de manera equivalente, una "función cuantil de densidad" según la definición de Parzen, E., 1979, Modelado de datos estadísticos no paramétricos, Journal of the American Statistical Association, 7, 105-131. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$
13. Gilchrist, Warren (15 de mayo de 2000). Modelado estadístico con funciones cuantiles. Chapman y Hall/CRC. doi :10.1201/9781420035919. ISBN 978-0-429-11920-0.
14. Keelin, Thomas W. (2016). "Las distribuciones de Metalog". Análisis de decisión . 13 (4): 243–277. doi :10.1287/deca.2016.0338.
15. "La viabilidad de las distribuciones de Metalog". www.metalogdistribuciones.com . Consultado el 13 de febrero de 2021 .
16. Powley, BW (2013). "Métodos de funciones cuantiles para el análisis de decisiones". Corolario 12, p. 30. Tesis doctoral, Universidad de Stanford
17. Keelin, Thomas W. y Ronald A. Howard. (2021). "Las distribuciones Metalog: flexibilidad de forma prácticamente ilimitada, que combina la opinión de expertos en forma cerrada y la actualización bayesiana en forma cerrada". Preimpresiones OSF. doi:10.31219/osf.io/xdg5e.
18. Keelin, TW, Chrisman, L. y Savage, SL (2019). "Las distribuciones metalog y sumas extremadamente precisas de lognormales en forma cerrada". WSC '19: Actas de la Conferencia de simulación de invierno. 3074–3085.
19. Faber, IJ (2019). Gestión de riesgos cibernéticos: advertencias de amenazas generadas por IA (tesis doctoral, Universidad de Stanford).
20. Keelin, Thomas W. (2016). "Las distribuciones de Metalog". Análisis de decisión . 13 (4): 243–277. doi :10.1287/deca.2016.0338.
21. "Flexibilidad de forma de distribuciones de metalog". www.metalogdistribuciones.com . Consultado el 13 de febrero de 2021 .
22. "Los momentos de distribución de Metalog". www.metalogdistribuciones.com . Consultado el 13 de febrero de 2021 .
23. "Equivalencia de parametrizaciones de coeficientes y momentos de metalog de tres términos". www.metalogdistribuciones.com . Consultado el 28 de marzo de 2021 .
24. Dion, P., Galbraith, N., Sirag, E. (2020). "Usar la obtención de información de expertos para construir supuestos de proyección a largo plazo". En Developments in Demographic Forecasting, capítulo 3, págs. 43–62. Saltador
25. Howard, Ronald A. (1970). "Análisis de decisiones: perspectivas sobre inferencia, decisión y experimentación". Actas del IEEE . 58 (5): 632–643. doi :10.1109/PROC.1970.7719.
26. Reinhardt, Jason C.; Chen, Xi; Liu, Wenhao; Manchev, Petar; Paté-Cornell, M. Elisabeth (2016). "Evaluación del riesgo de asteroides: un enfoque probabilístico". Análisis de riesgo . 36 (2): 244–261. Código Bib : 2016RiesgoA..36..244R. doi :10.1111/risa.12453. PMID  26215051. S2CID  23308354.
27. Wang, Jiali; Neil, Martín; Fenton, normando (2020). "Un enfoque de red bayesiano para la evaluación de riesgos de ciberseguridad que implementa y amplía el modelo FAIR". Computadoras y seguridad . 89 : 101659. doi : 10.1016/j.cose.2019.101659. S2CID  209099797.
28. Keelin, Thomas W. (2016). "Las distribuciones de Metalog". Análisis de decisión . 13 (4): 243–277. doi :10.1287/deca.2016.0338.
29. Keelin, Thomas W. (2016). "Las distribuciones de Metalog". Análisis de decisión . 13 (4): 243–277. doi :10.1287/deca.2016.0338.
30. Bratvold, Reidar B.; Mohus, Erlend; Petutschnig, David; Bickel, Eric (2020). "Previsión de producción: optimista y demasiado confiada, una y otra vez". Evaluación e ingeniería de yacimientos Spe . 23 (3): 0799–0810. doi :10.2118/195914-PA. S2CID  219661316.
31. "Gestor de cartera de SmartOrg". www.smartorg.com . Consultado el 13 de febrero de 2021 .
32. Keelin, Thomas W. (2016). "Las distribuciones de Metalog". Análisis de decisión . 13 (4): 243–277. doi :10.1287/deca.2016.0338.
33. Keelin, Thomas W. (2016). "Las distribuciones de Metalog". Análisis de decisión . 13 (4). Sección 6.3, págs. 274–275. doi :10.1287/deca.2016.0338.
34. Ramberg, John S.; Schmeiser, Bruce W. (1 de febrero de 1974). "Un método aproximado para generar variables aleatorias asimétricas". Comunicaciones de la ACM . 17 (2): 78–82. doi : 10.1145/360827.360840 . ISSN  0001-0782. S2CID  2640548.
35. Nair, N. Unnikrishnan; Sankaran, PG; Vineshkumar, B. (15 de diciembre de 2012). "La distribución de Govindarajulu: algunas propiedades y aplicaciones". Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos . 41 (24): 4391–4406. doi :10.1080/03610926.2011.573168. ISSN  0361-0926. S2CID  121096603.
36. Wang, Mingliang; Rennolls, Keith (2005). "Modelado de distribución del diámetro de los árboles: introducción de la distribución logit-logística". Revista canadiense de investigación forestal . 35 (6): 1305-1313. doi :10.1139/x05-057.
37. "Libro de trabajo de Excel de SPT metalogs". www.metalogdistribuciones.com . Consultado el 13 de febrero de 2021 .
38. "Libro de trabajo de metalogos". www.metalogdistribuciones.com . Consultado el 13 de febrero de 2021 .
39. "Libro de trabajo de metalogs ELD". www.metalogdistribuciones.com . Consultado el 13 de febrero de 2021 .
40. paquete rmetalog R
41. Paquete Pymetalog Python
42. Paquete metalogístico de Python
43. Sitio web MakeDistribution.com que respalda la experimentación con metales.
44. Calculadora de metalog SPT en línea.
45. Calculadora de metales en línea.
46. Calculadora de metalog ELD en línea.
47. Complemento de Excel SIPmath Modeler Tools
48. El software Analytica Free 101 ayuda a modelar decisiones difíciles.
49. Metalog Builder de BayesFusion para la creación interactiva de distribuciones metalog
50. Genie de BayesFusion
51. FrontLine Solvers: software Analytic Solver, RASON y Solver SDK para optimización.
52. Lone Star Analysis: TruNavigator y AnalyticsOS para análisis predictivos y prescriptivos.

enlaces externos

• El sitio web de Metalog Distributions, www.metalogs.org
• El canal de YouTube de Metalog Distributions, vídeos educativos.