Teoría de la discrepancia

Teoría de las irregularidades de la distribución.

En matemáticas, la teoría de la discrepancia describe la desviación de una situación del estado en el que uno quisiera que estuviera. También se llama teoría de las irregularidades de la distribución . Esto se refiere al tema de la teoría clásica de la discrepancia, es decir, distribuir puntos en algún espacio de manera que estén distribuidos uniformemente con respecto a algunos subconjuntos (en su mayoría definidos geométricamente). La discrepancia (irregularidad) mide en qué medida una distribución dada se desvía de una ideal.

La teoría de la discrepancia puede describirse como el estudio de las inevitables irregularidades de las distribuciones, en entornos combinatorios y de teoría de la medida . Así como la teoría de Ramsey dilucida la imposibilidad del desorden total, la teoría de la discrepancia estudia las desviaciones de la uniformidad total.

Un acontecimiento significativo en la historia de la teoría de la discrepancia fue el artículo de Weyl de 1916 sobre la distribución uniforme de secuencias en el intervalo unitario. ^[1]

Teoremas

La teoría de la discrepancia se basa en los siguientes teoremas clásicos:

• Teoría de la discrepancia geométrica
• El teorema de van Aardenne-Ehrenfest
• Progresiones aritméticas (Roth, Sarkozy, Beck , Matousek & Spencer )
• Teorema de Beck-Fiala ^[2]
• Seis desviaciones estándar son suficientes (Spencer) ^[3]

Grandes problemas abiertos

Los problemas no resueltos relacionados con la teoría de la discrepancia incluyen:

• Rectángulos paralelos a los ejes en dimensiones tres y superiores (folclore)
• Conjetura de Komlós
• Problema del triángulo de Heilbronn sobre el área mínima de un triángulo determinada por tres puntos de un conjunto de n puntos

Aplicaciones

Las aplicaciones de la teoría de la discrepancia incluyen:

• Integración numérica: métodos de Monte Carlo en grandes dimensiones.
• Geometría computacional: algoritmo de divide y vencerás
• Procesamiento de imágenes: medios tonos
• Formulación de ensayo aleatorio: ensayo controlado aleatorio ^{[4] [5] [6]}

Ver también

• Discrepancia de hipergrafías.
• Teoría de la discrepancia geométrica

Referencias

1. Weyl, Hermann (1 de septiembre de 1916). "Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" [Sobre la distribución equitativa de los números]. Mathematische Annalen (en alemán). 77 (3): 313–352. doi :10.1007/BF01475864. ISSN  1432-1807. S2CID  123470919.
2. József Beck y Tibor Fiala (1981). ""Teoremas "de formación de números enteros". Matemática Aplicada Discreta . 3 (1): 1–8. doi : 10.1016/0166-218x(81)90022-6 .
3. Joel Spencer (junio de 1985). "Seis desviaciones estándar son suficientes". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 289 (2). Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 289, núm. 2: 679–706. doi : 10.2307/2000258 . JSTOR  2000258.
4. Harshaw, Cristóbal; Sävje, Fredrik; Spielman, Daniel A; Zhang, Peng (2024). "Equilibrio de covariables en experimentos aleatorios con el diseño de caminata de Gram-Schmidt". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística: 1–13.
5. Spielman, Daniel (11 de mayo de 2020). Uso de la teoría de la discrepancia para mejorar el diseño de ensayos controlados aleatorios.
6. Spielman, Daniel (29 de enero de 2021). Teoría de la discrepancia y ensayos controlados aleatorios.

Otras lecturas

• Beck, József; Chen, William WL (1987). Irregularidades de Distribución . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-30792-9.
• Chazelle, Bernard (2000). El método de la discrepancia: aleatoriedad y complejidad . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-77093-9.
• Matousek, Jiri (1999). Discrepancia geométrica: una guía ilustrada . Algoritmos y combinatoria. vol. 18. Berlín: Springer. ISBN 3-540-65528-X.