Dimensión de escala

Número que especifica cómo cambia un operador cuántico bajo dilataciones

En física teórica , la dimensión de escala , o simplemente dimensión , de un operador local en una teoría cuántica de campos caracteriza las propiedades de escala del operador bajo dilataciones del espacio-tiempo . Si la teoría cuántica de campos es invariante de escala , las dimensiones de escala de los operadores son números fijos; de lo contrario, son funciones de la escala de distancia. ${\displaystyle x\to \lambda x}$

Teoría cuántica de campos invariante de escala

En una teoría cuántica de campos invariante de escala , por definición cada operador adquiere bajo una dilatación un factor , donde es un número llamado dimensión de escala de . Esto implica en particular que la función de correlación de dos puntos depende de la distancia como . De manera más general, las funciones de correlación de varios operadores locales deben depender de las distancias de tal manera que ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle x\to \lambda x}$ ${\displaystyle \lambda ^{-\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \langle O(x)O(0)\rangle }$ ${\displaystyle (x^{2})^{-\Delta }}$ ${\displaystyle \langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

La mayoría de las teorías de invariantes de escala también son conformemente invariantes , lo que impone restricciones adicionales a las funciones de correlación de los operadores locales. ^[1]

Teorías del campo libre

Las teorías libres son las teorías cuánticas de campos invariantes de escala más simples. En las teorías libres se hace una distinción entre los operadores elementales, que son los campos que aparecen en el lagrangiano , y los operadores compuestos que son productos de los elementales. La dimensión de escala de un operador elemental se determina mediante análisis dimensional del Lagrangiano (en cuatro dimensiones del espacio-tiempo, es 1 para campos bosónicos elementales, incluidos los potenciales vectoriales, 3/2 para campos fermiónicos elementales, etc.). Esta dimensión de escala se denomina dimensión clásica ( también se utilizan los términos dimensión canónica y dimensión de ingeniería ). Un operador compuesto que se obtiene tomando un producto de dos operadores de dimensiones y es un nuevo operador cuya dimensión es la suma . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \Delta _{1}}$ ${\displaystyle \Delta _{2}}$ ${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$

Cuando se activan las interacciones, la dimensión de escala recibe una corrección llamada dimensión anómala (ver más abajo).

Teorías de campos interactuantes

Hay muchas teorías de campos cuánticos de invariantes de escala que no son teorías libres; esto se llama interactuar. Las dimensiones de escala de los operadores en tales teorías no pueden extraerse de un lagrangiano ; tampoco son necesariamente (semi) enteros. Por ejemplo, en la teoría invariante de escala (y conforme) que describe los puntos críticos del modelo bidimensional de Ising hay un operador cuya dimensión es 1/8. ^{[2] [1]} ${\displaystyle \sigma }$

La multiplicación de operadores es sutil en las teorías interactivas en comparación con las teorías libres. La expansión del producto del operador de dos operadores con dimensiones y generalmente no dará un operador único sino una infinidad de operadores, y su dimensión generalmente no será igual a . En el ejemplo del modelo bidimensional de Ising anterior, el producto del operador da un operador cuya dimensión es 1 y no el doble de la dimensión de . ^{[2] [1]} ${\displaystyle \Delta _{1}}$ ${\displaystyle \Delta _{2}}$ ${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$ ${\displaystyle \sigma \times \sigma }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$

Teoría cuántica de campos no invariante de escala

Hay muchas teorías cuánticas de campos que, si bien no son exactamente invariantes de escala, permanecen aproximadamente invariantes de escala en un largo rango de distancias. Estas teorías cuánticas de campos se pueden obtener añadiendo a las teorías de campos libres términos de interacción con pequeños acoplamientos adimensionales . Por ejemplo, en cuatro dimensiones del espacio-tiempo se pueden agregar acoplamientos escalares cuárticos, acoplamientos Yukawa o acoplamientos de calibre. Las dimensiones de escala de los operadores en tales teorías se pueden expresar esquemáticamente como , donde es la dimensión cuando todos los acoplamientos se establecen en cero (es decir, la dimensión clásica), mientras que se llama dimensión anómala y se expresa como una serie de potencias en los acoplamientos denotados colectivamente. como . ^[3] Tal separación de las dimensiones de escala en la parte clásica y anómala solo tiene sentido cuando los acoplamientos son pequeños, por lo que es una pequeña corrección. ${\displaystyle \Delta =\Delta _{0}+\gamma (g)}$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle \gamma (g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma (g)}$

Generalmente, debido a efectos de la mecánica cuántica, los acoplamientos no permanecen constantes, sino que varían (en la jerga de la teoría cuántica de campos , run ) con la escala de distancias según su función beta . Por lo tanto, la dimensión anómala también depende de la escala de distancia en tales teorías. En particular, las funciones de correlación de los operadores locales ya no son simples potencias sino que tienen una dependencia más complicada de las distancias, generalmente con correcciones logarítmicas. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma (g)}$

Puede suceder que la evolución de los acoplamientos conduzca a un valor en el que la función beta desaparezca. Luego, a largas distancias, la teoría se vuelve invariante de escala y las dimensiones anómalas dejan de funcionar. Este comportamiento se denomina punto fijo infrarrojo . ${\displaystyle g=g_{*}}$

En casos muy especiales, puede ocurrir cuando los acoplamientos y las dimensiones anómalas no se ejecutan en absoluto, de modo que la teoría es invariante de escala en todas las distancias y para cualquier valor del acoplamiento. Por ejemplo, esto ocurre en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N=4 .

Referencias

1. Philippe Di Francesco; Pedro Mathieu; David Sénéchal (1997). Teoría de campos conforme . Nueva York: Springer.
2. En la nomenclatura de la teoría de campos conforme , esta teoría es el modelo mínimo que contiene los operadores y . ${\displaystyle M_{3,4}}$ ${\displaystyle \sigma =\phi _{1,2}}$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{1,3}}$
3. Peskin, Michael E; Daniel V Schroeder (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Lectura [etc.]: Addison-Wesley.