Descomposición de conglomerados

Condición de localidad en la teoría cuántica de campos.

En física , la propiedad de descomposición de conglomerados establece que los experimentos realizados lejos unos de otros no pueden influir entre sí. Generalmente aplicado a la teoría cuántica de campos , requiere que los valores esperados de vacío de los operadores localizados en regiones limitadas se factoricen siempre que estas regiones se distancien lo suficiente entre sí. Formulado por primera vez por Eyvind Wichmann y James H. Crichton en 1963 en el contexto de la matriz S , ^[1] Steven Weinberg conjeturó que en el límite de baja energía la propiedad de descomposición del cúmulo, junto con la invariancia de Lorentz y la mecánica cuántica , inevitablemente conducir a la teoría cuántica de campos. La teoría de cuerdas satisface las tres condiciones y, por lo tanto, proporciona un contraejemplo de que esto sea cierto en todas las escalas de energía. ^[2]

Formulación

La matriz S describe la amplitud de un proceso con un estado inicial que evoluciona hacia un estado final . Si los estados inicial y final constan de dos grupos, con y cerca uno del otro pero lejos del par y , entonces la propiedad de descomposición del grupo requiere que la matriz S factorice ${\displaystyle S_{\beta \alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$

${\displaystyle S_{\beta \alpha }\rightarrow S_{\beta _{1}\alpha _{1}}S_{\beta _{2}\alpha _{2}}}$

a medida que aumenta la distancia entre los dos grupos. La interpretación física de esto es que dos experimentos cualesquiera estén espacialmente bien separados y no puedan influirse entre sí. ^[3] Esta condición es fundamental para la capacidad de hacer física sin tener que conocer el estado del universo entero . Al expandir la matriz S en una suma de un producto de elementos conectados de la matriz S , que en el nivel perturbativo son equivalentes a diagramas de Feynman conectados , la propiedad de descomposición del cúmulo puede reformularse exigiendo que los elementos conectados de la matriz S deban desaparecer cada vez que algunos de sus grupos de partículas están muy separados unos de otros. ${\displaystyle \alpha _{1}\rightarrow \beta _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}\rightarrow \beta _{2}}$ ${\displaystyle S_{\beta \alpha }^{c}}$

Esta formulación del espacio de posiciones también se puede reformular en términos de la matriz S del espacio de momento . ^[4] Dado que su transformación de Fourier da la posición de la matriz S conectada al espacio , esto solo depende de la posición a través de los términos exponenciales. Por lo tanto, realizar una traslación uniforme en una dirección en un subconjunto de partículas cambiará efectivamente la matriz S del espacio de momento como ${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}\xrightarrow {{\boldsymbol {x}}_{i}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{i}+{\boldsymbol {a}}} e^{i{\boldsymbol {a}}\cdot (\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i})}{\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}.}$

Por invariancia traslacional , una traducción de todas las partículas no puede cambiar la matriz S , por lo tanto, debe ser proporcional a una función delta que conserve el momento para garantizar que el factor exponencial de traducción desaparezca. Si hay una función delta adicional de solo un subconjunto de momentos correspondientes a algún grupo de partículas, entonces este grupo se puede mover arbitrariamente lejos a través de una traslación sin cambiar la matriz S , lo que violaría la descomposición del grupo. Esto significa que en el espacio de momento la propiedad requiere que la matriz S solo tenga una función delta. ${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }}$ ${\displaystyle \delta (\Sigma {\boldsymbol {p}})}$

La descomposición de conglomerados también se puede formular en términos de funciones de correlación , donde para dos operadores cualesquiera y localizados en alguna región, los valores esperados de vacío se factorizan a medida que los dos operadores se separan lejanamente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}(x)}$

${\displaystyle \lim _{|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty }\langle {\mathcal {O}}_{1}({\boldsymbol {x}}){\mathcal {O}}_{2}(0)\rangle \rightarrow \langle {\mathcal {O}}_{1}\rangle \langle {\mathcal {O}}_{2}\rangle .}$

Esta formulación permite que la propiedad se aplique a teorías que carecen de una matriz S , como las teorías de campos conformes . Es en términos de estas funciones de Wightman que la propiedad suele formularse en la teoría cuántica de campos axiomática . ^[5] En algunas formulaciones, como la teoría constructiva de campos euclidiana , se introduce explícitamente como un axioma . ^[6]

Propiedades

Si una teoría se construye a partir de operadores de creación y aniquilación , entonces la propiedad de descomposición del conglomerado se cumple automáticamente. Esto se puede ver expandiendo la matriz S como una suma de diagramas de Feynman, lo que permite la identificación de elementos conectados de la matriz S con diagramas de Feynman conectados. Los vértices surgen cada vez que los operadores de creación y aniquilación se desplazan entre sí dejando atrás una función delta de impulso único. En cualquier diagrama conectado con vértices V, líneas internas I y bucles L, IL de las funciones delta entran en la fijación de momentos internos, dejando las funciones delta V-(IL) sin fijar. Una forma de la fórmula de Euler establece que cualquier gráfico con C componentes conectados disjuntos satisface C = V-I+L. Dado que los elementos de la matriz S conectados corresponden a diagramas C=1, estos solo tienen una única función delta y, por lo tanto, se mantiene la propiedad de descomposición de conglomerados, tal como se formuló anteriormente en el espacio de momento en términos de funciones delta.

La microcausalidad, la condición de localidad que requiere que las relaciones de conmutación de los operadores locales desaparezcan para separaciones espaciales , es una condición suficiente para que la matriz S satisfaga la descomposición del cúmulo. En este sentido, la descomposición de conglomerados tiene un propósito similar para la matriz S como lo hace la microcausalidad para los campos , evitando que la influencia causal se propague entre regiones que están distantes. ^[7] Sin embargo, la descomposición de conglomerados es más débil que no tener una causalidad superluminal, ya que también puede formularse para teorías clásicas. ^[8]

Un requisito clave para la descomposición de racimos es que requiere un estado de vacío único , y falla si el estado de vacío es un estado mixto . ^[9] La velocidad a la que se factorizan las funciones de correlación depende del espectro de la teoría, donde si tiene una brecha de masa , entonces hay una caída exponencial, mientras que si hay partículas sin masa presentes, entonces puede ser tan lento como . ^[10] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \langle \phi (x)\phi (0)\rangle \sim e^{-m|x|}}$ ${\displaystyle 1/|x|^{2}}$

Referencias

1. Wichmann, EH; Crichton, JH (1963). "Propiedades de descomposición de conglomerados de la matriz S". Física. Rdo . 132 (6). Sociedad Estadounidense de Física: 2788–2799. Código bibliográfico : 1963PhRv..132.2788W. doi : 10.1103/PhysRev.132.2788.
2. Weinberg, S. (1996). ¿Qué es la teoría cuántica de campos y qué pensábamos que era? . Jornada sobre Examen Histórico y Reflexiones Filosóficas sobre los Fundamentos de la Teoría Cuántica de Campos. págs. 241-251. arXiv : hep-th/9702027 .
3. Schwartz, MD (2014). "7". Teoría cuántica de campos y modelo estándar . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 96–97. ISBN 9781107034730.
4. Weinberg, S. (1995). "4". La teoría cuántica de campos: fundamentos . vol. 1. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 177–188. ISBN 9780521670531.
5. Bogolubov, NN ; Logunov, AA ; Todorov, TI (1975). Introducción a la teoría cuántica de campos axiomática . Traducido por Fulling, SA ; Popova, LG (1 ed.). Benjamín. págs. 272–282. ISBN 9780805309829.
6. Iagolnitzer, D. (1993). "3". Dispersión en las teorías cuánticas de campos. Los enfoques axiomático y constructivo . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 155-156. ISBN 9780691633282.
7. Marrón, LS (1992). "6". Teoría cuántica de campos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 311–313. doi :10.1017/CBO9780511622649. ISBN 978-0521469463.
8. Bain, J. (1998). "Weinberg sobre Qft: inducción demostrativa y subdeterminación". Síntesis . 117 (1): 7–8. doi :10.1023/A:1005025424031. JSTOR  20118095. S2CID  9049200.
9. Weinberg, S. (1995). "19". La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas . vol. 2. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 167.ISBN​ 9780521670548.
10. Streamer, RF ; Wightman, AS (2000) [1964]. "3". PCT, Spin y Estadísticas, y todo eso . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 113.ISBN​ 978-0691070629.