Filtro de coseno elevado

Filtro de modelado de pulsos en modulación digital

El filtro de coseno elevado es un filtro que se utiliza con frecuencia para la conformación de pulsos en la modulación digital debido a su capacidad para minimizar la interferencia entre símbolos (ISI). Su nombre se debe al hecho de que la parte distinta de cero del espectro de frecuencia de su forma más simple ( ) es una función coseno , "elevada" hasta situarse por encima del eje (horizontal). ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle f}$

Descripción matemática

Respuesta de frecuencia de un filtro de coseno elevado con distintos factores de reducción

Respuesta al impulso de un filtro de coseno elevado con distintos factores de reducción

El filtro de coseno elevado es una implementación de un filtro Nyquist de paso bajo , es decir, uno que tiene la propiedad de simetría vestigial. Esto significa que su espectro exhibe simetría impar con respecto a , donde es el período simbólico del sistema de comunicaciones. ${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$ ${\displaystyle T}$

Su descripción en el dominio de la frecuencia es una función definida por partes , dada por:

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

o en términos de havercosenos :

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

para

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

y se caracteriza por dos valores; , el factor de caída , y , el recíproco de la velocidad de símbolo. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T}$

La respuesta al impulso de dicho filtro ^[1] viene dada por:

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

En términos de la función sinc normalizada . Aquí, se trata de la "sinc de comunicaciones" en lugar de la matemática. ${\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi x)}$

Factor de caída

El factor de reducción , , es una medida del exceso de ancho de banda del filtro, es decir, el ancho de banda ocupado más allá del ancho de banda de Nyquist de . Algunos autores utilizan . ^[2] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Si denotamos el exceso de ancho de banda como , entonces: ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}$

¿Dónde está la velocidad de símbolo? ${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$

El gráfico muestra la respuesta de amplitud a medida que varía entre 0 y 1, y el efecto correspondiente en la respuesta al impulso . Como se puede ver, el nivel de ondulación en el dominio del tiempo aumenta a medida que disminuye. Esto muestra que el exceso de ancho de banda del filtro se puede reducir, pero solo a expensas de una respuesta al impulso alargada. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

β= 0

A medida que se acerca a 0, la zona de caída se vuelve infinitesimalmente estrecha, por lo tanto: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}$

donde es la función rectangular , por lo que la respuesta al impulso se aproxima a . Por lo tanto, en este caso converge a un filtro ideal o de pared de ladrillos . ${\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}$ ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$

β= 1

Cuando , la porción distinta de cero del espectro es un coseno elevado puro, lo que conduce a la simplificación: ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

o

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

Ancho de banda

El ancho de banda de un filtro de coseno elevado se define más comúnmente como el ancho de la porción positiva de frecuencia distinta de cero de su espectro, es decir:

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

Medido con un analizador de espectro, el ancho de banda de radio B en Hz de la señal modulada es el doble del ancho de banda de banda base BW (como se explica en [1]), es decir:

${\displaystyle B=2BW=R_{S}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

Función de autocorrelación

La función de autocorrelación de la función coseno elevado es la siguiente:

${\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

El resultado de autocorrelación se puede utilizar para analizar varios resultados de compensación de muestreo cuando se analiza con autocorrelación.

Solicitud

Impulsos consecutivos de coseno elevado, que demuestran la propiedad ISI cero

Cuando se utiliza para filtrar un flujo de símbolos, un filtro Nyquist tiene la propiedad de eliminar ISI, ya que su respuesta al impulso es cero en absoluto (donde es un entero), excepto . ${\displaystyle nT}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$

Por lo tanto, si la forma de onda transmitida se muestrea correctamente en el receptor, los valores de los símbolos originales se pueden recuperar por completo.

Sin embargo, en muchos sistemas de comunicaciones prácticos, se utiliza un filtro adaptado en el receptor, debido a los efectos del ruido blanco . Para una ISI cero, la respuesta neta de los filtros de transmisión y recepción debe ser igual a : ${\displaystyle H(f)}$

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

Y por lo tanto :

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

Estos filtros se denominan filtros de raíz de coseno elevado .

El coseno elevado es un filtro de apodización comúnmente utilizado para rejillas de Bragg de fibra .

Referencias

1. Michael Zoltowski - Ecuaciones para las formas de coseno elevado y coseno elevado con raíz cuadrada
2. de:Raised-Cosine-Filter Versión alemana de Raised-Cosine-Filter

• Glover, I.; Grant, P. (2004). Comunicaciones digitales (2.ª ed.). Pearson Education Ltd. ISBN  0-13-089399-4 .
• Proakis, J. (1995). Comunicaciones digitales (3.ª ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 . 
• Tavares, LM; Tavares GN (1998) Comentarios sobre "Rendimiento de sistemas DS/SSMA asíncronos de banda limitada" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9

Enlaces externos

• Artículo técnico titulado "El cuidado y la alimentación de filtros digitales de modelado de pulsos" publicado originalmente en RF Design , escrito por Ken Gentile.