Tipo de convergencia matemática en topología.
En matemáticas la convergencia compacta (o convergencia uniforme en conjuntos compactos ) es un tipo de convergencia que generaliza la idea de convergencia uniforme . Está asociado a la topología compacta-abierta .
Definición
Sea un espacio topológico y sea un espacio métrico . Una secuencia de funciones.
- ,
se dice que converge compactamente hacia alguna función si, para cada conjunto compacto ,
uniformemente como . Esto significa que para todos los compactos ,
Ejemplos
- Si y con sus topologías habituales, con , entonces converge de forma compacta a la función constante con valor 0, pero no de manera uniforme.
- Si , y , entonces converge puntualmente a la función que es cero en y uno en , pero la secuencia no converge de manera compacta.
- Una herramienta muy poderosa para mostrar la convergencia compacta es el teorema de Arzelà-Ascoli . Hay varias versiones de este teorema; en términos generales, establece que cada secuencia de aplicaciones equicontinuas y uniformemente acotadas tiene una subsecuencia que converge de forma compacta en alguna aplicación continua.
Propiedades
- Si es uniforme, entonces compacto.
- Si es un espacio compacto y compacto, entonces uniformemente.
- Si es un espacio localmente compacto , entonces compacto si y sólo si localmente uniforme.
- Si es un espacio generado de forma compacta , de forma compacta, y cada uno es continuo , entonces es continuo.
Ver también
Referencias
- R. Remmert Teoría de funciones complejas (1991 Springer) p. 95