Coloración de dominios

Técnica para visualizar funciones complejas

Gráfico de coloración del dominio de la función f ( x ) = ⁠( x ² − 1 ) ( x − 2 − i ) ²/x2 +2 ⁺ 2yo⁠ , utilizando la función de color estructurada que se describe a continuación.

En el análisis complejo , la coloración del dominio o un gráfico de rueda de color es una técnica para visualizar funciones complejas mediante la asignación de un color a cada punto del plano complejo . Al asignar puntos en el plano complejo a diferentes colores y brillos, la coloración del dominio permite que una función desde el plano complejo hacia sí misma (cuyo gráfico normalmente requeriría cuatro dimensiones espaciales) se represente y comprenda fácilmente. Esto proporciona una idea de la fluidez de las funciones complejas y muestra extensiones geométricas naturales de funciones reales .

Motivación

El gráfico de una función real se puede dibujar en dos dimensiones porque hay dos variables representadas y . Sin embargo, los números complejos se representan mediante dos variables y, por lo tanto, mediante dos dimensiones; esto significa que representar una función compleja (más precisamente, una función de valor complejo de una variable compleja ) requiere la visualización de cuatro dimensiones. Una forma de lograrlo es con una superficie de Riemann , pero otro método es mediante la coloración del dominio. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

Historia

El término "coloración de dominio" fue acuñado por Frank Farris, posiblemente alrededor de 1998. ^{[1] [2]} Hubo muchos usos anteriores del color para visualizar funciones complejas, típicamente asignando argumento ( fase ) a tono. ^[3] Larry Crone utilizó el método a fines de la década de 1980. ^[4] Dan Kucerovsky lo utilizó en 1990. ^[5] La técnica de usar color continuo para asignar puntos del dominio al codominio o plano de imagen fue utilizada en 1999 por George Abdo y Paul Godfrey ^{[6] y} Doug Arnold utilizó cuadrículas de colores en gráficos que datan de 1997. ^[7]

Método

Gráfico HL de z , según el ejemplo de función de color simple descrito en el texto (izquierda), y gráfico de la función compleja z ³  − 1 (derecha) usando la misma función de color, mostrando los tres ceros así como los números reales negativos como rayos rosados ​​que comienzan en los ceros.

Representar una asignación compleja de cuatro dimensiones con solo dos variables no es deseable, ya que métodos como las proyecciones pueden dar como resultado una pérdida de información. Sin embargo, es posible agregar variables que mantengan el proceso de cuatro dimensiones sin requerir una visualización de cuatro dimensiones. En este caso, las dos variables agregadas son entradas visuales como el color y el brillo porque naturalmente son dos variables fáciles de procesar y distinguir por el ojo humano. Esta asignación se llama "función de color". Hay muchas funciones de color diferentes que se utilizan. Una práctica común es representar el argumento complejo , , (también conocido como "fase" o "ángulo") con un tono que sigue la rueda de colores , y la magnitud por otros medios, como el brillo o la saturación . ${\displaystyle \arg z}$

Función de color simple

El siguiente ejemplo colorea el origen en negro, 1 en verde , −1 en magenta y un punto en el infinito en blanco: donde H es tono , S es saturación y L es luminosidad . Hay varias opciones para la función . debe ser estrictamente monótona y continua . Otra propiedad deseable es que la inversa de una función sea exactamente tan clara como oscura es la función original (y viceversa). Las opciones posibles incluyen $${\displaystyle {\begin{cases}H&=\arg z+2\pi /3,\\S&=100\%,\\L&=\ell (|z|).\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \ell :[0,\infty )\to [0,1)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell (1/r)=1-\ell (r)}$

• ${\displaystyle \ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)}$y
• ${\displaystyle \ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}}$(con algún parámetro ). Con , esto corresponde a la proyección estereográfica sobre la esfera de Riemann . ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a=2}$

Una opción muy extendida que no tiene esta propiedad es la función (con algún parámetro ) que para y es muy cercana a . ${\displaystyle \ell _{3}(r)=1-a^{|r|}}$ ${\displaystyle 0<a<1}$ ${\displaystyle a=1/2}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

Este enfoque utiliza el modelo de color HSL (tono, saturación, luminosidad). La saturación siempre se establece en el máximo del 100 %. Los colores vivos del arcoíris giran de forma continua en el círculo unitario complejo, por lo que las sextas raíces de la unidad (que comienzan con 1) son: verde, cian, azul, magenta, rojo y amarillo.

Dado que el espacio de color HSL no es perceptualmente uniforme, se pueden ver rayas de brillo percibido en amarillo, cian y magenta (aunque sus valores absolutos son los mismos que los de rojo, verde y azul) y un halo alrededor de L = ⁠1/2⁠ . Los espacios de color más modernos, por ejemplo, el espacio de color Lab o CIECAM02 , corrigen esto, haciendo que las imágenes sean más precisas y menos saturadas.

Cambio de color discontinuo

Muchos gráficos de color tienen discontinuidades, donde en lugar de cambiar de manera uniforme el brillo y el color, cambian repentinamente, incluso cuando la función en sí sigue siendo uniforme. Esto se hace por diversas razones, como mostrar más detalles o resaltar ciertos aspectos de una función, como los conjuntos de niveles .

Crecimiento de magnitud

Una función de color discontinua. En el gráfico, cada discontinuidad se produce cuando para números enteros n . ${\displaystyle |z|=2^{n}}$

A diferencia del argumento, que tiene un rango finito, la magnitud de un número complejo puede variar de 0 a ∞ . Por lo tanto, en funciones que tienen grandes rangos de magnitud, los cambios en la magnitud a veces pueden ser difíciles de diferenciar cuando un cambio muy grande también se representa en el gráfico. Esto se puede remediar con una función de color discontinua que muestra un patrón de brillo repetitivo para la magnitud en función de una ecuación dada. Esto permite ver fácilmente los cambios más pequeños, así como los cambios más grandes que "saltan discontinuamente" a una magnitud mayor. En el gráfico de la derecha, estas discontinuidades ocurren en círculos alrededor del centro y muestran un oscurecimiento del gráfico que luego puede comenzar a volverse más brillante nuevamente. Se ha utilizado una función de color similar para el gráfico que se encuentra en la parte superior del artículo.

Las ecuaciones que determinan las discontinuidades pueden ser lineales, como para toda magnitud entera , ecuaciones exponenciales como para toda magnitud donde n es un número entero, o cualquier otra ecuación. ${\displaystyle 2^{n}}$

Resaltando propiedades

Las discontinuidades pueden colocarse donde los resultados tienen una determinada propiedad para resaltar qué partes del gráfico tienen esa propiedad. Por ejemplo, un gráfico puede, en lugar de mostrar el color cian, saltar del verde al azul. Esto provoca una discontinuidad que es fácil de detectar y puede resaltar líneas como aquellas donde el argumento es cero. ^[8] Las discontinuidades también pueden afectar grandes porciones de un gráfico, como un gráfico donde la rueda de colores divide el gráfico en cuadrantes. De esta manera, es fácil mostrar dónde termina cada cuadrante con las relaciones con los demás. ^[9]

Limitaciones

Las personas que sufren daltonismo pueden tener problemas para interpretar dichos gráficos cuando están hechos con mapas de colores estándar . ^{[10] [11]} Este problema puede ser mejorado posiblemente creando versiones alternativas usando mapas de colores que encajen dentro del espacio de color discernible para aquellos con daltonismo. ^[12] Por ejemplo, para uso de aquellos con deuteranopía total , un mapa de colores basado en azul/gris/amarillo puede ser más legible que el mapa convencional basado en azul/verde/rojo. ^[12]

Referencias

1. Frank A. Farris, Visualización de funciones de valores complejos en el plano
2. Hans Lundmark (2004). "Visualización de funciones analíticas complejas mediante coloración de dominios". Archivado desde el original el 2006-05-02 . Consultado el 2006-05-25 .Lundmark hace referencia a la invención del término "coloración de dominio" por parte de Farris en este artículo de 2004.
3. David A. Rabenhorst (1990). "Una galería de colores de funciones complejas". Pixel: La revista de visualización científica . 1 (4). Pixel Communications: 42 y siguientes.
4. Elias Wegert (2012). Funciones complejas visuales: una introducción con retratos de fases. Springer Basel. p. 29. ISBN 9783034801799. Recuperado el 6 de enero de 2016 .
5. Kucerovsky, Dan (octubre de 1990). "Un algoritmo para la representación visual de un campo vectorial bidimensional". Acta de la conferencia de la reunión anual de la IEEE Industry Applications Society de 1990. págs. 903–909. doi :10.1109/IAS.1990.152292. ISBN 0-87942-553-9. Número de identificación del sujeto  34434375.
6. George Abdo y Paul Godfrey (1999). "Gráfico de funciones de una variable compleja: tabla de aplicaciones conformes mediante coloración continua". Archivado desde el original el 16 de marzo de 2020. Consultado el 17 de mayo de 2008 .
7. Douglas N. Arnold (2008). "Gráficos para análisis complejos" . Consultado el 17 de mayo de 2008 .
8. Mayo de 2004. http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html Consultado el 13 de diciembre de 2018.
9. Poelke, K.; Polthier, K. (septiembre de 2012). "Coloración de dominios de funciones complejas: una introducción orientada a la implementación". IEEE Computer Graphics and Applications . 32 (5): 90–97. doi :10.1109/MCG.2012.100. PMID  24806991. S2CID  19237225.
10. "Mapas de color perceptualmente uniformes de CET". peterkovesi.com . Consultado el 22 de diciembre de 2020 .
11. Farris, Frank A. (2 de junio de 2015). Creando simetría: las matemáticas ingeniosas de los patrones de papel tapiz. Princeton University Press. pp. 36–37. ISBN 978-0-691-16173-0.
12. Kovesi, Peter (2017). "Mapas de color para daltónicos, presentado en IAMG 2017" (PDF) .

Enlaces externos

• El trazador de funciones de Samuel Li
• Trazador de funciones complejas interactivo de alta calidad basado en navegador de Ricky Reusseur
• Gráficas en color de funciones complejas
• Visualización de funciones de valores complejos en el plano.
• Galería de funciones complejas
• Mapeador complejo de Alessandro Rosa
• Software de John Davis, script S-Lang para colorear dominios
• Software de coloración de dominios C y Python de código abierto
• Coloración de dominio 3D mejorada
• Método de coloración de dominios en la GPU
• Software de coloración de dominios Java (en desarrollo)
• Rutinas de MATLAB [1]
• Script de Python para GIMP de Michael J. Gruber
• Implementación de coloración de dominios con Matplotlib y MayaVi por E. Petrisor [2]
• Rutinas de MATLAB con interfaz de usuario y varios esquemas de color
• Rutinas de MATLAB para visualización 3D de funciones complejas
• Método de la rueda de colores
• Motor matemático con zoom en tiempo real
• Fractal Zoomer: software que utiliza coloración de dominio
• cplot, un paquete de coloración de dominios para Python