teoría de colas

Estudio matemático de filas o colas de espera.

Las redes de colas son sistemas en los que colas individuales están conectadas mediante una red de enrutamiento. En esta imagen, los servidores están representados por círculos, las colas por una serie de rectángulos y la red de enrutamiento por flechas. En el estudio de redes de colas normalmente se intenta obtener la distribución de equilibrio de la red, aunque en muchas aplicaciones el estudio del estado transitorio es fundamental.

La teoría de las colas es el estudio matemático de las filas o colas de espera. ^[1] Se construye un modelo de colas para poder predecir la longitud de las colas y el tiempo de espera. ^[1] La teoría de colas generalmente se considera una rama de la investigación de operaciones porque los resultados se utilizan a menudo al tomar decisiones comerciales sobre los recursos necesarios para proporcionar un servicio.

La teoría de las colas tiene su origen en la investigación de Agner Krarup Erlang , quien creó modelos para describir el sistema de llamadas entrantes en la Compañía de Intercambio Telefónico de Copenhague. ^[1] Estas ideas fueron fundamentales para el campo de la ingeniería de teletráfico y desde entonces han tenido aplicaciones en telecomunicaciones , ingeniería de tráfico , informática , ^[2] gestión de proyectos y, en particular, ingeniería industrial , donde se aplican en el diseño de fábricas, tiendas y oficinas. y hospitales. ^{[3] [4]}

Ortografía

La ortografía "cola" en lugar de "cola" se encuentra típicamente en el campo de la investigación académica. De hecho, una de las revistas emblemáticas del campo es Queuing Systems .

Descripción

La teoría de colas es una de las principales áreas de estudio en la disciplina de las ciencias de la gestión . A través de la ciencia de la gestión, las empresas pueden resolver una variedad de problemas utilizando diferentes enfoques científicos y matemáticos. El análisis de colas es el análisis probabilístico de las colas de espera y, por lo tanto, los resultados, también conocidos como características operativas, son probabilísticos en lugar de deterministas. ^[5] La probabilidad de que n clientes estén en el sistema de colas, el número promedio de clientes en el sistema de colas, el número promedio de clientes en la cola de espera, el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema de colas total, el tiempo promedio gastado por un cliente en la fila de espera y, finalmente, la probabilidad de que el servidor esté ocupado o inactivo son todas las diferentes características operativas que calculan estos modelos de cola. ^[5] El objetivo general del análisis de colas es calcular estas características para el sistema actual y luego probar varias alternativas que podrían conducir a mejoras. Calcular las características operativas del sistema actual y comparar los valores con las características de los sistemas alternativos permite a los gerentes ver los pros y los contras de cada opción potencial. Estos sistemas ayudan en el proceso de toma de decisiones final mostrando formas de aumentar el ahorro, reducir el tiempo de espera, mejorar la eficiencia, etc. Los principales modelos de colas que se pueden utilizar son el sistema de línea de espera de un solo servidor y el sistema de líneas de espera de múltiples servidores. que se analizan más adelante. Estos modelos se pueden diferenciar aún más dependiendo de si los tiempos de servicio son constantes o indefinidos, la longitud de la cola es finita, la población de llamadas es finita, etc. ^[5]

Nodos de cola únicos

Una cola o un nodo de cola se puede considerar casi como una caja negra . Los trabajos (también llamados clientes o solicitudes , según el campo) llegan a la cola, posiblemente esperan algún tiempo, tardan algún tiempo en procesarse y luego salen de la cola.

Una caja negra. Los trabajos llegan y salen de la cola.

Sin embargo, el nodo de cola no es del todo una caja negra pura, ya que se necesita cierta información sobre el interior del nodo de cola. La cola tiene uno o más servidores , cada uno de los cuales puede emparejarse con un trabajo entrante. Cuando el trabajo se complete y salga, ese servidor volverá a estar libre para emparejarse con otro trabajo que llegue.

Un nodo de cola con 3 servidores. El servidor a está inactivo y, por lo tanto, se le da una llegada para procesarlo. El servidor b está actualmente ocupado y pasará algún tiempo antes de que pueda completar su trabajo. El servidor c acaba de completar el servicio de un trabajo y, por lo tanto, será el próximo en recibir un trabajo entrante.

Una analogía que se utiliza a menudo es la del cajero de un supermercado. (Hay otros modelos, pero éste se encuentra comúnmente en la literatura). Los clientes llegan, son procesados ​​por el cajero y se van. Cada cajero procesa un cliente a la vez y, por lo tanto, se trata de un nodo de cola con un solo servidor. Un entorno en el que un cliente saldrá inmediatamente si el cajero está ocupado cuando llegue el cliente se denomina cola sin zona de espera (o sin área de espera ). Un entorno con una zona de espera para hasta n clientes se denomina cola con un buffer de tamaño n .

Proceso de nacimiento-muerte

El comportamiento de una sola cola (también llamada nodo de cola ) se puede describir mediante un proceso de nacimiento-muerte , que describe las llegadas y salidas de la cola, junto con la cantidad de trabajos actualmente en el sistema. Si k denota el número de trabajos en el sistema (ya sea en servicio o en espera si la cola tiene un buffer de trabajos en espera), entonces una llegada aumenta k en 1 y una salida disminuye k en 1.

El sistema realiza una transición entre los valores de k mediante "nacimientos" y "muertes", que ocurren en las tasas de llegada y salida de cada trabajo . Para una cola, generalmente se considera que estas tasas no varían con el número de trabajos en la cola, por lo que se supone una tasa promedio única de llegadas/salidas por unidad de tiempo. Bajo este supuesto, este proceso tiene una tasa de llegada y una tasa de salida de . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda ={\text{avg}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{k})}$ ${\displaystyle \mu ={\text{avg}}(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})}$

Un proceso de nacimiento-muerte. Los valores en los círculos representan el estado del sistema, que evoluciona en función de las tasas de llegada λ _i y las tasas de salida μ _i .

Una cola con 1 servidor, tasa de llegada λ y tasa de salida μ

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de estado estacionario para el proceso de nacimiento y muerte, conocidas como ecuaciones de equilibrio , son las siguientes. Aquí denota la probabilidad de estado estacionario de estar en el estado n . ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \mu _{1}P_{1}=\lambda _{0}P_{0}}$

${\displaystyle \lambda _{0}P_{0}+\mu _{2}P_{2}=(\lambda _{1}+\mu _{1})P_{1}}$

${\displaystyle \lambda _{n-1}P_{n-1}+\mu _{n+1}P_{n+1}=(\lambda _{n}+\mu _{n})P_{n}}$

Las dos primeras ecuaciones implican

${\displaystyle P_{1}={\frac {\lambda _{0}}{\mu _{1}}}P_{0}}$

y

${\displaystyle P_{2}={\frac {\lambda _{1}}{\mu _{2}}}P_{1}+{\frac {1}{\mu _{2}}}(\mu _{1}P_{1}-\lambda _{0}P_{0})={\frac {\lambda _{1}}{\mu _{2}}}P_{1}={\frac {\lambda _{1}\lambda _{0}}{\mu _{2}\mu _{1}}}P_{0}}$.

Por inducción matemática,

${\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda _{n-1}\lambda _{n-2}\cdots \lambda _{0}}{\mu _{n}\mu _{n-1}\cdots \mu _{1}}}P_{0}=P_{0}\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}}$.

La condición conduce a ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=P_{0}+P_{0}\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}=1}$

${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{1+\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}}}}$

que, junto con la ecuación para , describe completamente las probabilidades de estado estacionario requeridas. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (n\geq 1)}$

notación de Kendall

Los nodos de cola única generalmente se describen usando la notación de Kendall en la forma A/S/ c donde A describe la distribución de las duraciones entre cada llegada a la cola, S la distribución de los tiempos de servicio para los trabajos y c el número de servidores en el nodo. ^{[6] [7]} Como ejemplo de notación, la cola M/M/1 es un modelo simple en el que un único servidor sirve trabajos que llegan de acuerdo con un proceso de Poisson (donde las duraciones entre llegadas se distribuyen exponencialmente ) y tienen exponencialmente tiempos de servicio distribuidos (la M denota un proceso de Markov ). En una cola M/G/1 , la G significa "general" e indica una distribución de probabilidad arbitraria para los tiempos de servicio.

Análisis de ejemplo de una cola M/M/1

Considere una cola con un servidor y las siguientes características:

• ${\displaystyle \lambda }$: la tasa de llegada (el recíproco del tiempo esperado entre la llegada de cada cliente, por ejemplo, 10 clientes por segundo)
• ${\displaystyle \mu }$: el recíproco del tiempo medio de servicio (el número esperado de terminaciones de servicio consecutivas por la misma unidad de tiempo, por ejemplo, por 30 segundos)
• n : el parámetro que caracteriza el número de clientes en el sistema
• ${\displaystyle P_{n}}$: la probabilidad de que haya n clientes en el sistema en estado estable

Además, representemos el número de veces que el sistema ingresa al estado n y representemos el número de veces que el sistema sale del estado n . Entonces para todo n . Es decir, el número de veces que el sistema sale de un estado difiere como máximo en 1 del número de veces que entra en ese estado, ya que o regresará a ese estado en algún momento en el futuro ( ) o no ( ). ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert \in \{0,1\}}$ ${\displaystyle E_{n}=L_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert =1}$

Cuando el sistema llega a un estado estable, la tasa de llegada debe ser igual a la tasa de salida.

Así, las ecuaciones de equilibrio

${\displaystyle \mu P_{1}=\lambda P_{0}}$

${\displaystyle \lambda P_{0}+\mu P_{2}=(\lambda +\mu )P_{1}}$

${\displaystyle \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_{n}}$

implicar

${\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda }{\mu }}P_{n-1},\ n=1,2,\ldots }$

El hecho que lleva a la fórmula de distribución geométrica. ${\displaystyle P_{0}+P_{1}+\cdots =1}$

${\displaystyle P_{n}=(1-\rho )\rho ^{n}}$

dónde . ${\displaystyle \rho ={\frac {\lambda }{\mu }}<1}$

Cola simple de dos ecuaciones

Un sistema de colas básico común se atribuye a Erlang y es una modificación de la Ley de Little . Dada una tasa de llegada λ , una tasa de abandono σ y una tasa de salida μ , la longitud de la cola L se define como:

${\displaystyle L={\frac {\lambda -\sigma }{\mu }}}$.

Suponiendo una distribución exponencial de las tarifas, el tiempo de espera W puede definirse como la proporción de llegadas atendidas. Esto es igual a la tasa de supervivencia exponencial de aquellos que no abandonan durante el período de espera, dando:

${\displaystyle {\frac {\mu }{\lambda }}=e^{-W{\mu }}}$

La segunda ecuación comúnmente se reescribe como:

${\displaystyle W={\frac {1}{\mu }}\mathrm {ln} {\frac {\lambda }{\mu }}}$

El modelo de caja única de dos etapas es común en epidemiología . ^[8]

Historia

En 1909, Agner Krarup Erlang , un ingeniero danés que trabajaba para la Central Telefónica de Copenhague, publicó el primer artículo sobre lo que ahora se llamaría teoría de colas. ^{[9] [10] [11]} Modeló el número de llamadas telefónicas que llegan a una central mediante un proceso de Poisson y resolvió la cola M/D/1 en 1917 y el modelo de cola M/D/ k en 1920. ^[12] En Notación de Kendall:

• M significa "Markov" o "sin memoria" y significa que las llegadas se producen según un proceso de Poisson.
• D significa "determinista" y significa que los trabajos que llegan a la cola requieren una cantidad fija de servicio.
• k describe el número de servidores en el nodo de cola ( k = 1, 2, 3, ...)

Si el nodo tiene más trabajos que servidores, los trabajos se pondrán en cola y esperarán el servicio.

La cola M/G/1 fue resuelta por Felix Pollaczek en 1930, ^[13] una solución posteriormente reformulada en términos probabilísticos por Aleksandr Khinchine y ahora conocida como fórmula Pollaczek-Khinchine . ^{[12] [14]}

Después de la década de 1940, la teoría de colas se convirtió en un área de investigación de interés para los matemáticos. ^[14] En 1953, David George Kendall resolvió la cola GI/M/ k ^[15] e introdujo la notación moderna para colas, ahora conocida como notación de Kendall . En 1957, Pollaczek estudió el GI/G/1 utilizando una ecuación integral . ^[16] John Kingman dio una fórmula para el tiempo medio de espera en una cola G/G/1 , ahora conocida como fórmula de Kingman . ^[17]

Leonard Kleinrock trabajó en la aplicación de la teoría de colas a la conmutación de mensajes a principios de los años 1960 y a la conmutación de paquetes a principios de los años 1970. Su contribución inicial a este campo fue su tesis doctoral en el Instituto Tecnológico de Massachusetts en 1962, publicada en forma de libro en 1964. Su trabajo teórico publicado a principios de la década de 1970 apuntaló el uso de la conmutación de paquetes en ARPANET , un precursor de Internet.

El método matricial geométrico y los métodos analíticos matriciales han permitido considerar colas con distribuciones de tiempo de servicio y entre llegadas distribuidas por tipo de fase . ^[18]

Los sistemas con órbitas acopladas son una parte importante de la teoría de colas en su aplicación a redes inalámbricas y procesamiento de señales. ^[19]

La aplicación moderna de la teoría de colas se refiere, entre otras cosas, al desarrollo de productos en los que los productos (materiales) tienen una existencia espaciotemporal, en el sentido de que los productos tienen un cierto volumen y una determinada duración. ^[20]

Problemas como las métricas de rendimiento para la cola M/G/ k siguen siendo un problema abierto. ^{[12] [14]}

Disciplinas de servicio

Se pueden utilizar varias políticas de programación en los nodos de cola:

Primero en entrar primero en salir

Ejemplo de cola de primero en entrar, primero en salir (FIFO)

También llamado primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS), ^[21] este principio establece que los clientes son atendidos uno a la vez y que el cliente que ha estado esperando más tiempo es atendido primero. ^[22]

Último en entrar primero en salir

Este principio también atiende a los clientes uno a la vez, pero el cliente con el menor tiempo de espera será atendido primero. ^[22] También conocido como pila .

Compartir procesador

La capacidad de servicio se comparte equitativamente entre los clientes. ^[22]

Prioridad

Los clientes con alta prioridad son atendidos primero. ^[22] Las colas de prioridad pueden ser de dos tipos: no preventivas (donde un trabajo en servicio no puede interrumpirse) y preventivas (donde un trabajo en servicio puede ser interrumpido por un trabajo de mayor prioridad). No se pierde trabajo en ninguno de los modelos. ^[23]

El trabajo más corto primero

El siguiente trabajo a atender es el de menor tamaño. ^[24]

Trabajo preventivo más corto primero

El siguiente trabajo que se entregará es el que tiene el tamaño original más pequeño. ^[25]

Tiempo de procesamiento restante más corto

El siguiente trabajo a realizar es aquel con el menor requisito de procesamiento restante. ^[26]

Instalación de servicio

• Servidor único: los clientes hacen fila y solo hay un servidor
• Varios servidores paralelos (cola única): los clientes hacen fila y hay varios servidores
• Varios servidores paralelos (varias colas): hay muchos contadores y los clientes pueden decidir en cuál hacer cola

Servidor no confiable

Las fallas del servidor ocurren según un proceso estocástico (aleatorio) (generalmente Poisson) y van seguidas de períodos de configuración durante los cuales el servidor no está disponible. El cliente interrumpido permanece en el área de servicio hasta que se arregle el servidor. ^[27]

Comportamiento de espera del cliente

• Rechazo: los clientes deciden no unirse a la cola si es demasiado larga
• Jockeying: los clientes cambian de cola si creen que serán atendidos más rápido al hacerlo.
• Incumplimiento: los clientes abandonan la cola si han esperado demasiado para recibir el servicio.

Los clientes que llegan y no son atendidos (ya sea porque la cola no tiene buffer o porque el cliente se resiste o incumple) también se conocen como abandonos . La tasa promedio de abandonos es un parámetro importante que describe una cola.

Redes de cola

Las redes de colas son sistemas en los que se conectan varias colas mediante el enrutamiento del cliente . Cuando un cliente recibe servicio en un nodo, puede unirse a otro nodo y hacer cola para recibir servicio, o abandonar la red.

Para redes de m nodos, el estado del sistema se puede describir mediante un vector m –dimensional ( x ₁ , x ₂ , ..., x _m ) donde x _i representa el número de clientes en cada nodo.

Las redes de colas no triviales más simples se denominan colas en tándem . ^[28] Los primeros resultados significativos en esta área fueron las redes de Jackson , ^{[29] [30]} para las cuales existe una distribución estacionaria eficiente en forma de producto y el análisis del valor medio ^[31] (que permite métricas promedio como el rendimiento y los tiempos de estancia) se puede calcular. ^[32] Si el número total de clientes en la red permanece constante, la red se llama red cerrada y se ha demostrado que también tiene una distribución estacionaria en forma de producto según el teorema de Gordon-Newell . ^[33] Este resultado se extendió a la red BCMP , ^[34] donde se muestra que una red con tiempo de servicio, regímenes y enrutamiento de clientes muy generales también exhibe una distribución estacionaria en forma de producto. La constante de normalización se puede calcular con el algoritmo de Buzen , propuesto en 1973. ^[35]

También se han investigado redes de clientes, como las redes Kelly , donde clientes de diferentes clases experimentan diferentes niveles de prioridad en diferentes nodos de servicio. ^[36] Otro tipo de red son las redes G , propuestas por primera vez por Erol Gelenbe en 1993: ^[37] estas redes no asumen distribuciones de tiempo exponenciales como la red clásica de Jackson.

Algoritmos de enrutamiento

En redes de tiempo discreto donde existe una restricción sobre qué nodos de servicio pueden estar activos en cualquier momento, el algoritmo de programación de peso máximo elige una política de servicio para brindar un rendimiento óptimo en el caso de que cada trabajo visite solo un nodo de servicio de una sola persona. ^[21] En el caso más general en el que los trabajos pueden visitar más de un nodo, el enrutamiento de contrapresión proporciona un rendimiento óptimo. Un planificador de red debe elegir un algoritmo de cola , que afecta las características de la red más grande. ^[38]

Límites de campo medio

Los modelos de campo medio consideran el comportamiento limitante de la medida empírica (proporción de colas en diferentes estados) cuando el número de colas m se acerca al infinito. El impacto de otras colas en cualquier cola determinada de la red se aproxima mediante una ecuación diferencial. El modelo determinista converge a la misma distribución estacionaria que el modelo original. ^[39]

Aproximaciones de tráfico pesado/difusión

En un sistema con altas tasas de ocupación (utilización cercana a 1), se puede utilizar una aproximación de tráfico pesado para aproximar el proceso de longitud de la cola mediante un movimiento browniano reflejado , ^[40] proceso de Ornstein-Uhlenbeck o un proceso de difusión más general . ^{[41] El número de dimensiones del proceso browniano es igual al número de nodos en cola, con la difusión restringida al} ortante no negativo .

Límites de fluidos

Los modelos de fluidos son análogos deterministas continuos de las redes de colas que se obtienen tomando el límite cuando el proceso se escala en el tiempo y el espacio, permitiendo objetos heterogéneos. Esta trayectoria escalada converge a una ecuación determinista que permite demostrar la estabilidad del sistema. Se sabe que una red de colas puede ser estable pero tener un límite de fluido inestable. ^[42]

Aplicaciones de cola

La teoría de colas encuentra una aplicación generalizada en informática y tecnología de la información. En redes, por ejemplo, las colas son parte integral de los enrutadores y conmutadores, donde los paquetes se ponen en cola para su transmisión. Al aplicar los principios de la teoría de colas, los diseñadores pueden optimizar estos sistemas, asegurando un rendimiento receptivo y una utilización eficiente de los recursos. Más allá del ámbito tecnológico, la teoría de las colas es relevante para las experiencias cotidianas. Ya sea esperando en la cola de un supermercado o del transporte público, comprender los principios de la teoría de las colas proporciona información valiosa para optimizar estos sistemas y mejorar la satisfacción del usuario. En algún momento, todos estarán involucrados en un aspecto de las colas. Lo que algunos pueden considerar un inconveniente podría ser posiblemente el método más eficaz. La teoría de colas, una disciplina arraigada en las matemáticas aplicadas y la informática, es un campo dedicado al estudio y análisis de colas o líneas de espera, y sus implicaciones en una amplia gama de aplicaciones. Este marco teórico ha demostrado ser fundamental para comprender y optimizar la eficiencia de los sistemas caracterizados por la presencia de colas. El estudio de las colas es esencial en contextos como los sistemas de tráfico, las redes informáticas, las telecomunicaciones y las operaciones de servicios. La teoría de colas profundiza en varios conceptos fundamentales, siendo centrales el proceso de llegada y el proceso de servicio. El proceso de llegada describe la manera en que las entidades se unen a la cola a lo largo del tiempo, a menudo modelado mediante procesos estocásticos como los procesos de Poisson. La eficiencia de los sistemas de colas se mide mediante métricas clave de rendimiento. Estos incluyen la longitud promedio de la cola, el tiempo de espera promedio y el rendimiento del sistema. Estas métricas brindan información sobre la funcionalidad del sistema, guiando las decisiones destinadas a mejorar el rendimiento y reducir los tiempos de espera. Referencias: Gross, D. y Harris, CM (1998). Fundamentos de la teoría de colas. John Wiley e hijos. Kleinrock, L. (1976). Sistemas de colas: Volumen I - Teoría. Wiley. Cooper, BF y Mitrani, I. (1985). Redes de colas: un enfoque fundamental. John Wiley e hijos

Ver también

• modelo ehrenfest
• unidad erlang
• Manejo de linea
• Simulación de red
• Gestión de producción de proyectos.
• Área de cola
• Retraso en la cola
• sistema de gestión de colas
• Regla general de las colas
• Detección temprana aleatoria
• Teoría de la renovación
• Rendimiento
• Programación (informática)
• Embotellamiento
• Modelo de generación de tráfico
• Red de flujo

Referencias

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Otras lecturas

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• Zukerman, Moshe (2013). Introducción a la teoría de colas y modelos estocásticos de teletráfico (PDF) . arXiv : 1307.2968 .
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• Gelenbe, Erol; Isi Mitrani (2010). Análisis y Síntesis de Sistemas Informáticos. Científico mundial 2ª edición. ISBN 978-1-908978-42-4.
• Newell, Gordron F. (1 de junio de 1971). Aplicaciones de la teoría de colas . Chapman y Hall.
• Leonard Kleinrock, Flujo de información en grandes redes de comunicación, (MIT, Cambridge, 31 de mayo de 1961) Propuesta para un doctorado. Tesis
• Leonard Kleinrock. Flujo de información en grandes redes de comunicación (Informe de progreso trimestral de RLE, julio de 1961)
• Leonard Kleinrock. Redes de comunicación: retraso y flujo de mensajes estocásticos (McGraw-Hill, Nueva York, 1964)
• Kleinrock, Leonard (2 de enero de 1975). Sistemas de colas: Volumen I - Teoría . Nueva York: Wiley Interscience. págs.417. ISBN 978-0-471-49110-1.
• Kleinrock, Leonard (22 de abril de 1976). Sistemas de colas: Volumen II - Aplicaciones informáticas. Nueva York: Wiley Interscience. págs.576. ISBN 978-0-471-49111-8.
• Lazowska, Edward D.; Juan Zahorján; G. Scott Graham; Kenneth C. Sevcik (1984). Rendimiento cuantitativo del sistema: análisis de sistemas informáticos utilizando modelos de redes de colas. Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-746975-8.
• Jon Kleinberg; Éva Tardos (30 de junio de 2013). Diseño de algoritmos. Pearson. ISBN 978-1-292-02394-6.

enlaces externos

• Tutorial y calculadoras de teoría de colas de Teknomo
• Curso de teoría de colas de Virtamo
• Página de teoría de colas de Myron Hlynka
• LINE: un motor de propósito general para resolver modelos de colas