Circuitos aleatorios cuánticos

Concepto en matemáticas cuánticas

Los circuitos aleatorios cuánticos (QRC ) son un concepto que incorpora un elemento de aleatoriedad en las operaciones y mediciones unitarias locales de un circuito cuántico . La idea es similar a la de la teoría de matrices aleatorias , que consiste en utilizar el QRC para obtener resultados casi exactos de problemas no integrables y difíciles de resolver mediante el promedio de un conjunto de resultados. Esta incorporación de aleatoriedad en los circuitos tiene muchas ventajas posibles, algunas de las cuales son (i) la validación de las computadoras cuánticas, que es el método que utilizó Google cuando afirmó la supremacía cuántica en 2019. ^[1] y (ii) la comprensión de la estructura universal de los procesos de no equilibrio y termalización en la dinámica cuántica de muchos cuerpos. ^[2]

Circuitos aleatorios cuánticos

Los componentes de algunos circuitos cuánticos generales serían qubits, puertas unitarias y mediciones. La evolución temporal de los circuitos cuánticos es discreta en el tiempo , y los estados evolucionan paso a paso en el tiempo mediante la aplicación de operadores unitarios bajo los cuales un estado puro evoluciona de acuerdo con (nótese que los operadores unitarios pueden enredar estados). Por lo tanto, la evolución temporal desde un tiempo de inicio, digamos , hasta algún tiempo vendría dada por donde para cada paso, el operador unitario está representado por un producto tensorial de puertas unitarias locales donde el índice especifica el entero reticular que conecta un par de qubits, y es el paso de tiempo. ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle U_{t}\equiv U(t;t-1)}$ $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U_{t}|\psi (t-1)\rangle }$$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle U(t;0)=U_{t}U_{t-1}\cdots U_{3}U_{2}U_{1}}$$ ${\displaystyle u_{\tau ,x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau }$

Figura 1) Este es un diagrama de circuito cuántico que muestra 8 qubits en el tiempo t=0 en el lado izquierdo pasando por algunas puertas unitarias (los cuadros blancos) a medida que pasa el tiempo para dar un estado final.

La Figura 1, muestra un diagrama de tiempo-espacio de un circuito cuántico que muestra las interacciones locales en cada paso de tiempo. En el lenguaje de la teoría de la información cuántica, el número de qubits es el ancho del circuito, y definimos su profundidad como el número de capas de puertas unitarias. Por lo tanto, para la configuración de la Figura 1, y . Otra forma de interpretar el circuito es mirarlo como una red tensorial en la que cada caja violeta es una puerta local que opera en dos qubits y la contracción total de los índices de qubits al inicio y al final en el tiempo en los enteros de la red daría la evolución temporal unitaria completa . Por lo tanto, la amplitud de propagación desde un estado inicial dado por los índices a un estado final con los índices es Por otro lado, las mediciones desenredarían los qubits. ^[3] Las mediciones utilizadas se denominan mediciones proyectivas, definidas como observaciones que dejan sin cambios los grados de libertad en un estado propio del operador medido. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle u_{\tau ,x}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U(t;0)}$ ${\displaystyle \left\{a_{1}a_{2}\cdots a_{L}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{b_{1}b_{2}\cdots b_{L}\right\}}$ $${\displaystyle \langle a_{1}a_{2}\cdots a_{L}|U(t;0)|b_{1}b_{2}\cdots b_{L}\rangle .}$$

La figura 2) muestra un diagrama de un circuito cuántico (a la izquierda) con algunas mediciones indicadas por (a), (b) y (c). El diagrama de la derecha muestra la naturaleza estocástica de las mediciones en física cuántica, en la que hay diferentes resultados posibles para cada medición.

Las mediciones en mecánica cuántica son estocásticas por naturaleza, lo que significa que los circuitos con la misma estructura exacta (cúbits y puertas) darían resultados diferentes en diferentes ejecuciones, consulte la Figura 2. Aunque esta naturaleza estocástica debe diferenciarse de la aleatoriedad. Sea el conjunto de resultados de alguna medición aleatoria, entonces diferentes mediciones en un conjunto fijo de puertas unitarias producirían registros distintos. Vea el diagrama esquemático en la Figura 2, que esboza un diagrama de árbol con cada rama representando un posible resultado de las mediciones mostradas en el circuito. Observe que cada medición da como resultado un , lo que sería algo así como un paseo aleatorio. Si nuestro sistema es solo un cúbit, entonces cada medición causa un salto en la esfera de Bloch. Sin embargo, en el caso de muchos cuerpos, la situación es complicada debido a las correlaciones entre diferentes cúbits. ^{[3] [4]} ${\displaystyle {\textbf {m}}=\left\{m_{1},m_{2},\cdots ,m_{M}\right\}}$ ${\displaystyle {\textbf {m}}}$ ${\displaystyle {\textbf {m}}}$

Aplicaciones

Validación de ordenadores cuánticos a corto plazo

Como actualmente estamos en la era cuántica de escala intermedia ruidosa (NISQ) , lo que significa que nuestras computadoras cuánticas actuales no son tolerantes a fallas y no son lo suficientemente grandes como para alcanzar la supremacía, estamos buscando tareas que tengan dos características:

• Clásicamente duro
• Dispositivos experimentalmente factibles en el corto plazo

Las tareas necesarias deben ser factibles en una computadora cuántica, pero que clásicamente consuman recursos en términos de, por ejemplo, tiempo. Por ejemplo, esta tarea podría ser un sistema que se pueda resolver en poco tiempo utilizando una computadora clásica; sin embargo, a medida que aumenta la complejidad del sistema (mayor tamaño o dimensiones), el tiempo de cálculo no aumentaría linealmente. En ese caso, una computadora clásica de última generación tomaría una cantidad de tiempo irrazonable (años); mientras tanto, se cree que una computadora cuántica brinda una reducción exponencial en el tiempo de cálculo necesario. ^[5] La investigación sobre este tema para encontrar una tarea de este tipo se centró en problemas de muestreo. Uno de los métodos teóricamente convincentes que proporcionaría dicha tarea es el muestreo de bosones , ya que muestra una fuerte evidencia teórica de la complejidad . ^[6] Sin embargo, los investigadores enfrentaron dificultades experimentales para lograr los resultados deseados utilizando este método de muestreo. ^[5] Otro método es el muestreo de circuitos aleatorios, en el que la tarea principal es muestrear la salida de un circuito cuántico aleatorio. Los resultados han demostrado que este enfoque sería más factible experimentalmente con los recientes desarrollos de qubits superconductores y tiene una fuerte evidencia teórica de la complejidad. ^[5] En la afirmación de supremacía cuántica de Google, han utilizado su procesador Sycamore , que tardó unos 200 segundos en muestrear una instancia de un circuito cuántico un millón de veces. Mientras que, por otro lado, una supercomputadora clásica de última generación tardaría 10.000 años.

No equilibrio y termalización de la dinámica cuántica de muchos cuerpos

Una de las preguntas más urgentes en la dinámica de muchos cuerpos es cómo se propaga el entrelazamiento con el tiempo, por ejemplo, a través de un enfriamiento cuántico que es un sistema inicialmente preparado que evoluciona unitariamente en el tiempo por un cambio repentino en los parámetros del hamiltoniano inicial. ^[7] La ​​respuesta a esta pregunta es una parte fundamental de la termalización y proporcionaría una herramienta numérica para simular la dinámica cuántica. Los circuitos aleatorios cuánticos servirían como un campo de juego para experimentar y comprender estos procesos. ^[2] Los resultados obtenidos con métodos QRC han demostrado que existe una estructura universal detrás del crecimiento del entrelazamiento ruidoso ^{[2] [8]}

Referencias

1. Arute, Frank; Arya, Kunal; Bacon, Dave; et al. (23 de octubre de 2019). "Supremacía cuántica utilizando un procesador superconductor programable". Nature . 574 (7779): 505–510. arXiv : 1910.11333 . Bibcode :2019Natur.574..505A. doi :10.1038/s41586-019-1666-5. PMID  31645734. S2CID  204836822.
2. Nahum, Adam; Ruhman, Jonathan; Vijay, Sagar; Haan, Jeongwan (24 de julio de 2017). "Crecimiento del entrelazamiento cuántico bajo dinámica unitaria aleatoria". Phys. Rev. X . 7 (3): 031016. arXiv : 1608.06950 . Código Bibliográfico :2017PhRvX...7c1016N. doi :10.1103/PhysRevX.7.031016. S2CID  118619617 – vía American Physical Society.
3. Fisher, Matthew; Khemani, Vedika; Nahum, Adam; Vijay, Sagar (2023). "Circuitos cuánticos aleatorios". Revisión anual de física de la materia condensada . 14 (publicado en marzo de 2023): 335–379. arXiv : 2207.14280 . Código Bibliográfico :2023ARCMP..14..335F. doi :10.1146/annurev-conmatphys-031720-030658. S2CID  251135336.
4. Liu, Yunchao; Otten, Matthew; Bassirianjahromi, Roozbeh; Jiang, Liang; Fefferman, Bill (2021). "Evaluación comparativa de computadoras cuánticas a corto plazo mediante muestreo aleatorio de circuitos". arXiv : 2105.05232 [quant-ph].
5. Bouland, Adam; Fefferman, Bill; Nirkhe, Chinmay; Vazirani, Umesh (29 de octubre de 2018). "Sobre la complejidad y verificación del muestreo aleatorio de circuitos cuánticos". Nature Physics . 15 (2): 159–163. arXiv : 1803.04402 . doi :10.1038/s41567-018-0318-2. S2CID  256706335.
6. Clifford, Peter; Clifford, Raphaël (2017). "La complejidad clásica del muestreo de bosones". Simposio ACM-SIAM sobre algoritmos discretos . arXiv : 1711.04355 . doi : 10.1137/1.9781611975031.1 . S2CID  1811093.
7. Mitra, Aditi (2018). "Dinámica de extinción cuántica". Revisión anual de física de la materia condensada . 9 : 245–259. arXiv : 1703.09740 . Código Bibliográfico :2018ARCMP...9..245M. doi :10.1146/annurev-conmatphys-031016-025451. S2CID  119430837.
8. Zhou, Tianci; Nahum, Adam (24 de septiembre de 2020). "Membrana de entrelazamiento en sistemas caóticos de muchos cuerpos". Physical Review X . 10 (3): 031066. arXiv : 1912.12311 . Código Bibliográfico :2020PhRvX..10c1066Z. doi :10.1103/PhysRevX.10.031066. S2CID  209515650 – vía American Physical Society.