Cierre hermético

En matemáticas , en el área del álgebra conmutativa , el cierre estricto es una operación definida sobre ideales de característica positiva . Fue introducida por Melvin Hochster y Craig Huneke  (1988, 1990).

Sea un anillo noetheriano conmutativo que contiene un cuerpo de característica . Por lo tanto es un número primo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle p}$

Sea un ideal de . El cierre hermético de , denotado por , es otro ideal que contiene a . El ideal se define de la siguiente manera. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{*}}$

${\displaystyle z\in I^{*}}$si y solo si existe un , donde no está contenido en ningún ideal primo mínimo de , tal que para todo . Si se reduce, entonces se pueden considerar en cambio todos los . ${\displaystyle c\in R}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle cz^{p^{e}}\in I^{[p^{e}]}}$ ${\displaystyle e\gg 0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e>0}$

Aquí se utiliza para denotar el ideal de generado por las 'ésimas potencias de elementos de , llamado la ésima potencia de Frobenius de . ${\displaystyle I^{[p^{e}]}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p^{e}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle I}$

Un ideal se llama herméticamente cerrado si . Un anillo en el que todos los ideales están herméticamente cerrados se llama débilmente -regular (para Frobenius regular). Una pregunta abierta importante previa en el cierre hermético es si la operación de cierre hermético conmuta con la localización , y por eso existe la noción adicional de -regular, que dice que todos los ideales del anillo siguen estando herméticamente cerrados en las localizaciones del anillo. ${\displaystyle I=I^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Brenner y Monsky (2010) encontraron un contraejemplo de la propiedad de localización del cierre estricto. Sin embargo, todavía queda abierta la cuestión de si todo anillo débilmente regular es regular. Es decir, si todo ideal en un anillo es estrictamente cerrado, ¿es cierto que todo ideal en toda localización de ese anillo también es estrictamente cerrado? ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Referencias

• Brenner, Holger; Monsky, Paul (2010), "El cierre estricto no conmuta con la localización", Annals of Mathematics , Segunda serie, 171 (1): 571–588, arXiv : 0710.2913 , doi :10.4007/annals.2010.171.571, ISSN  0003-486X, MR  2630050
• Hochster, Melvin; Huneke, Craig (1988), "Ideales estrechamente cerrados", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 18 (1): 45–48, doi : 10.1090/S0273-0979-1988-15592-9 , ISSN  0002-9904, MR  0919658
• Hochster, Melvin; Huneke, Craig (1990), "Cierre estricto, teoría invariante y el teorema de Briançon-Skoda", Journal of the American Mathematical Society , 3 (1): 31–116, doi :10.2307/1990984, ISSN  0894-0347, JSTOR  1990984, MR  1017784