En matemáticas , la noción de cancelatividad (o cancelabilidad ) es una generalización de la noción de invertibilidad .
Un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación por la izquierda (o es cancelativo por la izquierda ) si para todos los b y c en M , a ∗ b = a ∗ c siempre implica que b = c .
Un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación derecha (o es cancelativo por la derecha ) si para todos los b y c en M , b ∗ a = c ∗ a siempre implica que b = c .
Un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación bilateral (o es cancelativo ) si es cancelativo tanto por la izquierda como por la derecha.
Un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación izquierda (o es cancelativo por la izquierda) si todos los a en el magma son cancelativos por la izquierda, y se aplican definiciones similares para las propiedades cancelativas derechas o cancelativas de dos lados.
En un semigrupo , un elemento invertible por la izquierda es cancelativo por la izquierda, y análogamente para los elementos derechos y bilaterales. Si a⁻¹ es el inverso izquierdo de a, entonces a ∗ b = a ∗ c implica a⁻¹ ∗ ( a ∗ b ) = a⁻¹ ∗ ( a ∗ c) lo que implica b = c por asociatividad.
Por ejemplo, cada cuasigrupo , y por tanto cada grupo , es cancelativo.
Decir que un elemento a en un magma ( M , ∗ ) es cancelativo por la izquierda, es decir que la función g : x ↦ a ∗ x es inyectiva . [1] Que la función g sea inyectiva implica que dada alguna igualdad de la forma a ∗ x = b , donde la única incógnita es x , solo hay un valor posible de x que satisface la igualdad. Más precisamente, podemos definir alguna función f , la inversa de g , tal que para todo x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . Dicho de otra manera, para todo x e y en M , si a * x = a * y , entonces x = y . [2]
De manera similar, decir que el elemento a es cancelativo por la derecha, es decir que la función h : x ↦ x ∗ a es inyectiva y que para todo x e y en M , si x * a = y * a , entonces x = y .
Los números enteros positivos (igualmente no negativos) forman un semigrupo cancelatorio bajo la adición. Los números enteros no negativos forman un monoide cancelatorio bajo la adición. Cada uno de estos es un ejemplo de un magma cancelatorio que no es un cuasigrupo.
De hecho, cualquier semigrupo o monoide libre obedece la ley cancelativa y, en general, cualquier semigrupo o monoide que se incruste en un grupo (como lo hacen claramente los ejemplos anteriores) obedecerá la ley cancelativa.
En otro orden de cosas, (un subsemigrupo de) el semigrupo multiplicativo de elementos de un anillo que no son divisores de cero (que es simplemente el conjunto de todos los elementos distintos de cero si el anillo en cuestión es un dominio , como los enteros) tiene la propiedad de cancelación. Nótese que esto sigue siendo válido incluso si el anillo en cuestión es no conmutativo y/o no unitario.
Aunque la ley de cancelación es válida para la suma, resta, multiplicación y división de números reales y complejos (con la única excepción de la multiplicación por cero y la división de cero por otro número), hay una serie de estructuras algebraicas en las que la ley de cancelación no es válida.
El producto vectorial de dos vectores no obedece a la ley de cancelación. Si a × b = a × c , entonces no se sigue que b = c incluso si a ≠ 0 ( por ejemplo, c = b + a )
La multiplicación de matrices tampoco obedece necesariamente a la ley de cancelación. Si AB = AC y A ≠ 0 , entonces se debe demostrar que la matriz A es invertible (es decir, tiene det ( A ) ≠ 0 ) antes de poder concluir que B = C . Si det( A ) = 0 , entonces B podría no ser igual a C , porque la ecuación matricial AX = B no tendrá una solución única para una matriz A no invertible .
Tenga en cuenta también que si AB = CA y A ≠ 0 y la matriz A es invertible (es decir, tiene det ( A ) ≠ 0 ), no es necesariamente cierto que B = C . La cancelación funciona solo para AB = AC y BA = CA (siempre que la matriz A sea invertible ) y no para AB = CA y BA = AC .